指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的解題教學(xué)研究
——以2022年南京一模解析幾何試題的多角度探究為例

江蘇 王安寓

(作者單位：江蘇省南京市六合區(qū)實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué))

高三數(shù)學(xué)教學(xué)中最常見的就是解題教學(xué)，特別是對(duì)高考和?？荚囶}的解題研究.在實(shí)施高三數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中，我們要落實(shí)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，鍛煉學(xué)生的應(yīng)變能力，提升學(xué)生的解題能力.《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的數(shù)學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生思考與交流，形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).如何在高三數(shù)學(xué)教學(xué)課堂上落實(shí)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，筆者以2022南京鹽城一模的第21題第(2)問為例，做一點(diǎn)嘗試，以期拋磚引玉.

一、試題呈現(xiàn)與分析

(1)求雙曲線C的方程；

(2)設(shè)動(dòng)直線l與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，已知AP⊥AQ，設(shè)點(diǎn)A到動(dòng)直線l的距離為d，求d的最大值.

分析：本題設(shè)置兩小問，第(1)問是第(2)問的基礎(chǔ).第(1)問是待定系數(shù)法求雙曲線方程；第(2)問是在垂直關(guān)系A(chǔ)P⊥AQ的條件下求點(diǎn)A到直線PQ的最大值.求解第(2)問，需要轉(zhuǎn)化AP⊥AQ，研究動(dòng)直線PQ中不動(dòng)的因素——本質(zhì)是直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)問題.此類問題一直是解析幾何中的高頻考點(diǎn)，求解時(shí)需要學(xué)生具有較強(qiáng)的數(shù)數(shù)運(yùn)算能力和圖形識(shí)別能力，更需要能夠進(jìn)行合理猜想和推理論證的邏輯思維能力.

(1)題設(shè)條件有兩個(gè)：雙曲線的虛軸長(zhǎng)、準(zhǔn)線間的距離，直接根據(jù)相關(guān)定義列方程組求解；

(2)題設(shè)條件有三個(gè)：①雙曲線方程及其右頂點(diǎn)A——由雙曲線方程確定；②動(dòng)直線l與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)——揭示P，Q的身份(直線與雙曲線的交點(diǎn))；③AP⊥AQ——可聯(lián)想直角、斜率之積為-1、向量數(shù)量積為0等，合理轉(zhuǎn)化垂直關(guān)系是解題的關(guān)鍵，同時(shí)揭示出P，Q的另一重身份(也在直線AP，AQ上).三個(gè)條件中的核心是垂直關(guān)系、P與Q的身份認(rèn)證的運(yùn)用.

待求是定點(diǎn)A到動(dòng)直線PQ的距離的最大值——可聯(lián)想點(diǎn)到直線的距離公式，直角三角形斜邊上的高等等.要解決兩個(gè)問題：①A到直線PQ的距離與某個(gè)(些)變量的關(guān)系式；②d的最大值如何求.

評(píng)注：題目1是模仿2021年新高考解析幾何解答題而命制的.題目1考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，涉及雙曲線的性質(zhì)、垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化、動(dòng)直線的定點(diǎn)、定點(diǎn)到動(dòng)直線的距離最值四個(gè)主要問題.題目1低起點(diǎn)，入口多，方法靈活，能很好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，涉及待定系數(shù)、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求等方法，同時(shí)這類問題也具有很好的區(qū)分度，有一定的難度.

二、解法探究

題目1第(1)問根據(jù)題意建立方程組求解，解得雙曲線方程為x2-2y2=1,過(guò)程略.

本文主要研究題目1第(2)問的求解.

求解題目1第(2)問的關(guān)鍵是運(yùn)算順序的選取和垂直關(guān)系的解讀與應(yīng)用.

由于點(diǎn)P，Q有三重身份：P是直線AP,PQ與雙曲線的交點(diǎn)；Q也有三重身份：Q是直線AQ,PQ與雙曲線的交點(diǎn).先選擇哪兩個(gè)曲線研究交點(diǎn)，就是運(yùn)算順序的選擇問題.以點(diǎn)P為例，如選擇直線AP與雙曲線相交得到P的坐標(biāo)，是一種運(yùn)算順序的選擇；如選擇直線PQ與雙曲線相交得到P的坐標(biāo)，也是一種運(yùn)算順序的選擇；再如選擇直線AP與PQ相交得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，仍然是一種運(yùn)算順序的選擇.

同時(shí)，在選擇運(yùn)算順序時(shí)，還要考慮如何解讀垂直關(guān)系A(chǔ)P⊥AQ，不同的解讀必然對(duì)應(yīng)不同的應(yīng)用方式，會(huì)形成不同的求解方法和求解過(guò)程.垂直關(guān)系A(chǔ)P⊥AQ至少有三種解讀：∠PAQ=90°——可放入直角三角形；斜率之積為-1——可設(shè)直線方程可建立坐標(biāo)間關(guān)系；向量數(shù)量積為0——可建立坐標(biāo)間關(guān)系.

2.1 直角解讀

垂直轉(zhuǎn)化為直角，也是自然的想法之一.將直角放入三角形，恰好構(gòu)成直角三角形，結(jié)合待求，構(gòu)成超和諧的畫面——直角三角形斜邊上的高.

分析一：由垂直關(guān)系A(chǔ)P⊥AQ，聯(lián)想到∠PAQ=90°，恰好與待求有很好的契合——直角三角形斜邊上的高就是A到PQ的距離.為求直角三角形斜邊上的高，就必須求出兩條直角邊長(zhǎng)，而兩條直角邊互相垂直，可由垂直關(guān)系設(shè)出直線AP，AQ的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，再用弦長(zhǎng)公式即可得AP，AQ的長(zhǎng)度.

由勾股定理得

綜上，A到PQ的距離d的最大值為2.

評(píng)注：解法一是著眼整體——將線段PQ放入Rt△APQ中，研究直角頂點(diǎn)A到斜邊的高的最值.解法一中條件與待求是高度契合的.在解法一中，垂直關(guān)系應(yīng)用了兩次：一次是直角，一次是垂直的兩條直線斜率之積為-1.思維邏輯段可以分為三大段：準(zhǔn)備階段——設(shè)直線方程，聯(lián)立雙曲線方程解得P，Q的橫坐標(biāo)；求長(zhǎng)度階段——由弦長(zhǎng)公式算出AP，AQ的長(zhǎng)度，由勾股定理算出PQ長(zhǎng)度，由等面積法算出A到斜邊PQ的高d；求最值階段——用基本不等式研究函數(shù)d的最大值.求坐標(biāo)是整個(gè)過(guò)程的基礎(chǔ)，求長(zhǎng)度是整個(gè)求解過(guò)程的核心，求最值是整個(gè)過(guò)程的目的.

解法一的思維邏輯段如下：

解法一的運(yùn)算順序是先運(yùn)用垂直關(guān)系(AP⊥AQ)，再用方程(直線AP，AQ方程與雙曲線方程)，然后算長(zhǎng)度，由等面積法得目標(biāo)函數(shù)d，最后運(yùn)用基本不等式求最值.

分析二：如果考慮直線的傾斜角，那么垂直也可以轉(zhuǎn)化為90°應(yīng)用.此時(shí)可聯(lián)想直線的參數(shù)方程.

由勾股定理得

綜上，A到PQ的距離d的最大值為2.

評(píng)注：解法二與解法一類似，都是著眼整體，邏輯思維段仍分三段，只是在求長(zhǎng)度時(shí)所用的方式不同，且直角運(yùn)用了兩次(放入直角三角形和研究?jī)蓷l直線的傾斜角)；解法二是運(yùn)用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義得到長(zhǎng)度，稍優(yōu)于解法一，同時(shí)，將求d的最值的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角變換和三角函數(shù)的最值，沒有運(yùn)用基本不等式，降低了運(yùn)算量，殊途同歸.

另外，解法二所得結(jié)果與解法一所得結(jié)果是一樣的，可以相互轉(zhuǎn)化.在解法一的結(jié)果中只需將k=tanα代入整理即可得解法二的結(jié)果；反之，將解法二的結(jié)果中的弦化切即可得解法一的結(jié)果.事實(shí)上，直線的參數(shù)方程與普通方程之間是互化的.

2.2 斜率之積

垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率之積為-1，由此設(shè)出直線AP，AQ的方程，應(yīng)用雙曲線的方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)，應(yīng)用兩點(diǎn)式可得直線PQ的方程，再應(yīng)用點(diǎn)線距求得目標(biāo)函數(shù)，也是行之有效的方法.

分析三：由點(diǎn)到直線的距離想到求出PQ的方程，而解法一中是可以求得P，Q坐標(biāo)的，從而可用兩點(diǎn)式得到直線PQ的方程.之后的思路就自然了——點(diǎn)到直線的距離公式求得目標(biāo)函數(shù)，再研究目標(biāo)函數(shù)的特點(diǎn)選擇相應(yīng)的方法求最值.

即kx+2(k2-1)y-3k=0，

即k=±1時(shí)，等號(hào)成立.

綜上，A到PQ的距離d的最大值為2.

與解法一比較，解法三的運(yùn)算量稍有增加.運(yùn)算過(guò)程中有兩個(gè)難點(diǎn)：①kPQ的化簡(jiǎn)；②PQ方程的化簡(jiǎn).

解法三的思維邏輯段如下：

解法三的運(yùn)算順序是先運(yùn)用垂直關(guān)系(AP⊥AQ)，再用方程(直線AP，AQ方程與雙曲線方程)，然后算直線PQ方程，由點(diǎn)到直線的距離公式得目標(biāo)函數(shù)d，最后運(yùn)用基本不等式求最值.與解法一的區(qū)別在于求長(zhǎng)度段的方式不同，所選擇的工具不同.

分析四：觀察解法三中的直線PQ的方程kx+2(k2-1)y-3k=0，易發(fā)現(xiàn)PQ恒過(guò)定點(diǎn)T(3，0).這個(gè)定點(diǎn)對(duì)求A到直線PQ的最大值有幫助嗎？由圖形可一目了然.

所以直線PQ恒過(guò)點(diǎn)T(3，0).

從而A到直線PQ的距離d的最大值為AT=2.

評(píng)注：解法四比解法三少了一個(gè)運(yùn)算難點(diǎn)——對(duì)直線PQ的方程不再化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)而求y=0時(shí)x的值.這是神奇的想法.如果沒有解法三，能想到研究直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)嗎？能想到令y=0算x嗎？相當(dāng)于思考：如何由題設(shè)條件想到直線PQ恒過(guò)的定點(diǎn)在x軸上.從何處思考呢？對(duì)稱性！雙曲線是關(guān)于x軸對(duì)稱的，定點(diǎn)A在x軸上，而AP⊥AQ，當(dāng)P，Q動(dòng)時(shí)也存在關(guān)于x軸對(duì)稱的情形，故PQ所過(guò)的定點(diǎn)必在x軸上.這就為“令y=0”找到了合適的理由，從而減少運(yùn)算量.

解法四的思維邏輯段如下：

解法四的思維邏輯段仍分為三段：準(zhǔn)備階段：設(shè)直線方程、聯(lián)立解得點(diǎn)P，Q坐標(biāo)；求定點(diǎn)階段：兩點(diǎn)式或點(diǎn)斜式求PQ方程，研究方程特點(diǎn)得PQ恒過(guò)定點(diǎn)；求最值階段：形+兩點(diǎn)間距離公式.與前三種解法對(duì)比，運(yùn)算量又有所降低.

解法四的運(yùn)算順序是先垂直再方程，大體上與前三種解法的運(yùn)算順序相同.

2.3 轉(zhuǎn)數(shù)量積

由解法四我們得到動(dòng)直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)，這為我們求解題目1打開了思維的空間.定點(diǎn)到動(dòng)直線的距離最值問題，主要是研究清楚動(dòng)直線的特點(diǎn)——?jiǎng)又胁粍?dòng)的因素，即找到x項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)的關(guān)系，考查其不變的成份.

分析五：前幾種方法都是將垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率之積為-1，通過(guò)斜率之積巧設(shè)直線AP，AQ方程，同時(shí)，直線PQ方程稍顯復(fù)雜.我們能否應(yīng)用向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化垂直關(guān)系？能否直接將直線PQ的方程簡(jiǎn)單化？直接設(shè)出直線PQ的方程，再由AP⊥AQ簡(jiǎn)化PQ方程，再用點(diǎn)線距或直線特點(diǎn)(過(guò)定點(diǎn))求解d的最值.

解法五(數(shù)量積)：①若動(dòng)直線l的斜率不存在，

②若動(dòng)直線l的斜率存在，則可設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線l：y=kx+t，

由y=kx+t可知(x1-1)(x2-1)+(kx1+t)(kx2+t)=0，

化簡(jiǎn)可得 (1+k2)x1x2+(kt-1)(x1+x2)+t2+1=0，

若k+t=0，則直線經(jīng)過(guò)右頂點(diǎn)A，P，Q不存在，舍去；

故3k+t=0，即直線PQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn)T(3，0)，

則d≤AT=2.

綜上，d的最大值為2.

解法五的思維邏輯段如下：

研究滿足AP⊥AQ的動(dòng)直線PQ的不動(dòng)的問題，實(shí)質(zhì)上是研究直線系的定點(diǎn)問題.直線系的定點(diǎn)問題，反映的是數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性，求解此類問題，可以直接推理求出定點(diǎn)，也可以從特殊位置、圖形特征入手推理論證，先猜后證.

分析六：改進(jìn)解法五，能避開討論，即用斜率的倒數(shù)式方程設(shè)直線PQ的方程.由圖形知PQ的斜率必不為0，故可設(shè)直線PQ的方程為x=ny+m.

解法六(點(diǎn)倒式)：顯然直線PQ的斜率不為0，故可設(shè)PQ：x=ny+m.

設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

x1x2=(ny1+m)(ny2+m)

=n2y1y2+mn(y1+y2)+m2

化簡(jiǎn)可得m2-4m+3=0，即(m-1)(m-3)=0.

若m=1，則直線經(jīng)過(guò)右頂點(diǎn)A，P，Q不存在，舍去；

故m=3，PQ：x=ny+3，即直線PQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn)T(3，0)，則d≤AT=2.

綜上，d的最大值為2.

評(píng)注：解法六雖比解法五稍好，少了討論直線PQ的斜率不存在的情況，但整體的運(yùn)算量仍比解法一大些.其邏輯順序基本同于解法五.思維邏輯段也基本同于解法五.

解法五與解法六都是運(yùn)用的設(shè)而不求的巧妙方法，避開了煩瑣的分式和根式運(yùn)算.

2.4 解題智慧

我們注意到P，Q有三重身份，在前面的各種方法中，都選擇了雙曲線優(yōu)先參與運(yùn)算，我們也可以先考慮用兩條直線的交點(diǎn)確定P，Q，再代入雙曲線方程.這是由運(yùn)算順序的選取得到的新解法，算是開發(fā)出了解題智慧.

分析七：從運(yùn)算順序上思考，我們可以選擇雙曲線與直線聯(lián)立得到P，Q的坐標(biāo)，反過(guò)來(lái)，我們也可以考慮選擇兩條直線的交點(diǎn)，得P，Q，而最后再考慮雙曲線的方程.

顯然直線PQ的斜率不為0，故可設(shè)PQ：x=ny+m.

因?yàn)镻，Q在雙曲線x2-2y2=1上，

評(píng)注：分析運(yùn)算順序，我們開發(fā)出了解題智慧，找到了別樣的新解法.解法七中P，Q的坐標(biāo)運(yùn)算較前幾種方法好求解，是優(yōu)點(diǎn).難點(diǎn)是將P，Q坐標(biāo)代入雙曲線方程后的化簡(jiǎn)，巧的是二者的和恰好消去了n，k，獨(dú)得m的方程.其思維邏輯段如下：

分析八：前面的七種方法都是首選直線，我們可以考慮選擇雙曲線，用雙曲線的參數(shù)方程設(shè)P，Q坐標(biāo)，再用垂直關(guān)系研究直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)的問題.

故直線PQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn)T(3，0)，則d≤AT=2.

綜上，d的最大值為2.

評(píng)注：對(duì)于如何應(yīng)用雙曲線方程，相對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)可能是難點(diǎn).解法一至解法七中大都采用將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立的手段，而解法八是拋開直線直接研究雙曲線方程.我們還應(yīng)該看到，解法八應(yīng)用了和差化積和積化和差公式，所以解法八雖然思維清晰，但有其難度.

綜觀以上八種方法，我們可以感受解析幾何這座美麗的殿堂，充滿神奇的魅力，它指引我們努力攀登，構(gòu)建一個(gè)個(gè)云梯，領(lǐng)略解析幾何的美.

三、解題反思

3.1 求解過(guò)程反思

題目1的八種解法思路其實(shí)就是解析幾何中提升學(xué)生運(yùn)算能力、簡(jiǎn)化運(yùn)算的一種行之有效的嘗試.通過(guò)對(duì)題目1的解法探究歷程可以看出：運(yùn)算順序的選取、直線方程形式的選擇、垂直關(guān)系的解讀、圓錐曲線對(duì)稱性的應(yīng)用、特殊位置的利用等等，都是解析幾何的重點(diǎn)知識(shí)和重要數(shù)學(xué)思想.特別是解法七中的運(yùn)算設(shè)計(jì)(先由兩條直線AP(AQ)，PQ算交點(diǎn)，再代入雙曲線方程)，是很多考生不易想到的，也是平時(shí)練的較少的，但卻是考生能算的一種好方法.

對(duì)解題的研究，不能只停留在求出了這道題，還要多反思：如何想到的？還能改進(jìn)嗎？還有其他解法嗎？換個(gè)角度看看，還有什么發(fā)現(xiàn)？應(yīng)該將“題解”作為研究對(duì)象，思考清楚自己的思考?xì)v程、改進(jìn)歷程、變化過(guò)程，從中感悟數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)之美.

3.2 教學(xué)反思

解析幾何試題往往承載著考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象核心素養(yǎng).教師在講解一道典型的解析幾何試題時(shí)，要關(guān)注如何提升學(xué)生的運(yùn)算能力(含簡(jiǎn)化運(yùn)算)，如何培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，如何將形融入到解題的思維過(guò)程中.題目1的解法探究就是一種嘗試，它真正體現(xiàn)了一題多用、一題多悟，實(shí)現(xiàn)了在解題過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、創(chuàng)新思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo).因此，在高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中要注重好題的選取和解法的探究，同時(shí)，也要引發(fā)學(xué)生做好解題的反思.

3.3 結(jié)論反思

題目1中，點(diǎn)A到直線PQ的距離取得最大值時(shí)依賴的是直線PQ恒過(guò)的定點(diǎn)，因此，可以將題目1改寫為

【題目2】已知雙曲線C：x2-2y2=1的右頂點(diǎn)為A，過(guò)A的直線與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，若AP⊥AQ，則直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)T(3，0).

我們思考：定點(diǎn)中的3是什么？是不是所有的雙曲線都有這類性質(zhì)？“AP⊥AQ”是“直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)T(3，0)”的充要條件嗎？

我們可以再舉例探究，然后提出猜想.

3.4 題目推廣與拓展

由特殊雙曲線加以檢驗(yàn)，得到

證明：采用題目1之解法七來(lái)證.易知A(a，0).

顯然直線PQ的斜率不為0，故可設(shè)PQ：x=ny+m.

若m=a，則直線經(jīng)過(guò)右頂點(diǎn)A，P，Q不存在，舍去；

注：題目1的別的方法也是可以的.

其逆命題仍然成立.

可模仿題目1之解法六來(lái)證.

有(n2b2-a2)y2+2b2mny+(m2-a2)b2=0，

設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

x1x2=(ny1+m)(ny2+m)

=n2y1y2+mn(y1+y2)+m2

注：本題亦可采用題目1之解法七來(lái)證明.

將題目3的結(jié)論推廣到橢圓和拋物線，得到

模仿題目3證明即可.

【題目6】已知拋物線C：y2=2px(p>0)，O為其頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P，Q(不同于O)在拋物線C上，并且滿足OP⊥OQ，則直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)T(2p，0).

注：題目5題目6中的結(jié)論都是充要條件.

改變A的位置，我們得到

模仿題目3即可證明.

再推廣到雙曲線與拋物線，結(jié)論仍成立.

于是，我們將題目1中蘊(yùn)含的直線過(guò)定點(diǎn)問題推廣到圓錐曲線上，得到

【題目8】在圓錐曲線上任取一個(gè)定點(diǎn)A，過(guò)該點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線，與該圓錐曲線交于另兩點(diǎn)P，Q，則這兩點(diǎn)確定的直線PQ必過(guò)一定點(diǎn).

四、結(jié)束語(yǔ)

波利亞告訴我們：沒有任何一道題目是徹底完成了的，總還會(huì)有些事情可以做；在經(jīng)過(guò)充分研究和洞察后，我們可以將任何解題方法加以改進(jìn)，我們總可以深化對(duì)答案的理解.因此，我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中不能只停留在解出一道題的層面，要反思解題過(guò)程以及解題過(guò)程中遇到的困難，解題過(guò)程中各種想法是一朵思維的火花，善于抓住思維火花，也許你會(huì)離美麗的數(shù)學(xué)殿堂更進(jìn)一步.高三數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)都有可能提供一個(gè)對(duì)某數(shù)學(xué)問題進(jìn)行深刻認(rèn)知、深刻研究和深度思考的機(jī)會(huì)，通過(guò)對(duì)每一次解題活動(dòng)的反思，都會(huì)產(chǎn)生新的思維碰撞新的思維火花，它會(huì)指引你找到更好更美的數(shù)學(xué)方法.