構(gòu)建解題模型落實(shí)化學(xué)核心素養(yǎng)
——以水溶液中離子平衡的數(shù)學(xué)函數(shù)模型為例

河北 馬俊斌

(作者單位：唐山市第二中學(xué))

“證據(jù)推理與模型認(rèn)知”是化學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分，中學(xué)化學(xué)學(xué)科的認(rèn)知模型從內(nèi)容和形式上可分為結(jié)構(gòu)模型、數(shù)學(xué)模型、概念模型、過(guò)程模型、復(fù)雜模型等。在真實(shí)情境中建構(gòu)模型、運(yùn)用模型是落實(shí)“證據(jù)推理與模型認(rèn)知”素養(yǎng)的最基本途徑。模型與建模是科學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵要素，也是科學(xué)學(xué)習(xí)中必不可少的認(rèn)知能力。

解析法又稱為分析法，它是應(yīng)用解析式去求解數(shù)學(xué)模型的方法。數(shù)學(xué)中用解析式表示函數(shù)或任意數(shù)學(xué)對(duì)象的方法叫解析法。

化學(xué)中的很多認(rèn)知模型都離不開(kāi)解析思想，尤其是平衡關(guān)系式中的一些數(shù)量關(guān)系，科學(xué)的推理分析，結(jié)合用解析的思想、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型可以巧妙地化解其中抽象的認(rèn)知難點(diǎn)，進(jìn)一步抽絲剝繭，在解題中突破各種疑難問(wèn)題，筆者從幾個(gè)經(jīng)典問(wèn)題進(jìn)行模型構(gòu)建，并結(jié)合熱點(diǎn)高考問(wèn)題展開(kāi)論述，不當(dāng)之處，還望指正。

一、弱電解質(zhì)溶液中的相關(guān)計(jì)算

【模型構(gòu)建】

1.對(duì)數(shù)圖像模型

以弱電解質(zhì)CH3COOH的電離平衡為例，已知Ka(CH3COOH)=1.75×10-5≈1.0×10-4.75，結(jié)合其電離平衡常數(shù)表達(dá)式：

對(duì)其進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算可得

將其抽象為一次函數(shù)，可得斜率為1、縱截距為4.75的直線，如圖1所示：

圖1

將其略作數(shù)學(xué)變化可得：

將其抽象為一次函數(shù)可得斜率為-1，截距為4.75的直線，如圖2所示：

圖2

若簡(jiǎn)化為任意一元弱酸HX，均可得其一次函數(shù)解析關(guān)系及圖像如圖3及圖4所示，且其截距均為其pK的數(shù)值{pK=-lg[Ka(HX)]}。

圖3

圖4

同理，對(duì)任意二元弱酸H2X進(jìn)行解析可得：

圖5

圖6

對(duì)于三元弱酸，讀者可依據(jù)以上過(guò)程，推導(dǎo)其過(guò)程及圖像。

通過(guò)對(duì)一元、二元弱酸圖像的解析，可構(gòu)建如下解析模型：弱電解質(zhì)電離平衡常數(shù)的pK值即對(duì)數(shù)圖像中pH軸上的截距，且二元弱酸滿足pKa1

2.物質(zhì)的量分?jǐn)?shù)模型

同樣以弱電解質(zhì)CH3COOH的電離平衡為例，已知Ka(CH3COOH)=1.75×10-5≈1.0×10-4.75，現(xiàn)構(gòu)建如下滴定模型：向10 mL 0.1 mol·L-1的CH3COOH溶液中逐滴滴加等濃度的NaOH溶液，溶液中CH3COOH及CH3COO-的物質(zhì)的量分?jǐn)?shù)(δ)與pH的相關(guān)關(guān)系如圖7所示：

圖7

若簡(jiǎn)化為任意一元弱酸HX，均可得如圖8所示的相似圖像，且當(dāng)δ(HX)=δ(X-)時(shí)，pH=pKa。

圖8

同理，對(duì)任意二元弱酸H2X進(jìn)行解析，可知隨著NaOH的加入，均有如下變化關(guān)系：

所以隨著pH的增大，δ(H2X)逐漸減小，δ(HX-)先增大后減小，然后δ(X2-)開(kāi)始逐漸增大，當(dāng)δ(HX-)達(dá)到最大值時(shí)，即峰頂值，溶液成分恰好為NaHX，當(dāng)δ(H2X)=δ(HX-)時(shí)，pH=pKa1，當(dāng)δ(HX-)=δ(X2-)時(shí)，pH=pKa2，如圖9所示：曲線①為H2X隨pH的變化關(guān)系、②為HX-隨pH的變化關(guān)系、③為X2-隨pH的變化關(guān)系，且a點(diǎn)處δ(H2X)=δ(HX-)、pH=pKa1，b點(diǎn)處δ(HX-)=δ(X2-)、pH=pKa2。

圖9

即可得如下結(jié)論：

①pHc(HX-)>c(X2-)

④pH≥pKa2時(shí)，c(X2-)≥c(HX-)

同理可得三元弱酸模型，不再進(jìn)行推導(dǎo)。

【模型運(yùn)用】

【例1】(2021·遼寧省學(xué)業(yè)水平選擇性考試·15) 用0.100 0 mol·L-1鹽酸滴定20.00 mL Na2A溶液，溶液中H2A、HA-、A2-的分布分?jǐn)?shù)(δ)隨pH變化曲線及滴定曲線如圖10。

圖10

下列說(shuō)法正確的是

( )

A.H2A的Ka1為10-10.25

B.c點(diǎn)：c(HA-)>c(A2-)>c(H2A)

C.第一次突變，可選酚酞作指示劑

D.c(Na2A)=0.200 0 mol·L-1

【參考答案】C

【解析】用鹽酸滴定Na2A溶液，隨著HCl溶液的滴加，有如下變化：

且所給圖像將分布分?jǐn)?shù)(δ)隨pH變化曲線與滴定曲線融合，在此，可以將曲線拆分出如圖11所示的熟悉的物質(zhì)的量分?jǐn)?shù)圖像：

圖11

結(jié)合圖像解析模型，可判斷Ka1=c(H+)=10-6.38，A項(xiàng)錯(cuò)誤；c點(diǎn)處c(HA-)>c(H2A)>c(A2-)，B項(xiàng)錯(cuò)誤；由圖像可知，第一次突變?cè)赽點(diǎn)，pH為8.32，溶液呈堿性，可選酚酞作指示劑，C項(xiàng)正確；當(dāng)鹽酸加入40.00 mL，全部生成H2A，所以c(Na2A)=0.100 0 mol·L-1，D項(xiàng)錯(cuò)誤。

【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握物質(zhì)的量分?jǐn)?shù)圖像中的基本解析模型，將所給圖像合理解析變形，可有效解決此題的A、B兩項(xiàng)；再結(jié)合滴定的基本知識(shí)，可高效解題。

【例2】(2017·全國(guó)卷Ⅰ·13)常溫下將NaOH溶液滴加到己二酸(H2X)溶液中，混合溶液的pH與離子濃度變化的關(guān)系如圖12所示。下列敘述錯(cuò)誤的是

圖12

( )

A.Ka2(H2X)的數(shù)量級(jí)為10-6

C.NaHX溶液中c(H+)>c(OH-)

D.當(dāng)混合溶液呈中性時(shí)，c(Na+)>c(HX-)>c(X2-)>c(OH-)=c(H+)

【參考答案】D

【解析】己二酸H2X為二元弱酸，對(duì)圖像進(jìn)行解析(如圖13)。

圖13

圖14

【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握二元對(duì)數(shù)圖像中的基本解析模型，可迅速區(qū)分曲線并判斷K值，提升解題速度，另外物質(zhì)的量分?jǐn)?shù)圖像的解析模型輔助更加強(qiáng)有力地解決了此題中的難點(diǎn)。

二、沉淀溶解平衡中的相關(guān)計(jì)算

【模型構(gòu)建】

對(duì)其進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算可得lg[Ksp(AgCl)]=lgc(Ag+)+lgc(Cl-)=-9.75

化簡(jiǎn)得-lgc(Ag+)+[-lgc(Cl-)]=9.75

將其抽象為一次函數(shù)可得斜率為-1、截距為9.75的直線，如圖15及圖16所示：

圖15

圖16

若簡(jiǎn)化為任意一元沉淀MA，有

Ksp(MA)=c(M+)·c(A-)，

對(duì)其進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算可得：

-lgc(M+)+[-lgc(A-)]=pKsp

將其解析為一次函數(shù)可得斜率為-1、截距與pKsp數(shù)值相等的直線，如圖17及圖18所示：

圖17

圖18

且由于濃度隨坐標(biāo)軸的變化，在直線下方，一定有沉淀析出，在直線上方，則為澄清溶液。除此之外，物質(zhì)的Ksp越小，對(duì)應(yīng)圖像的截距越大。

同理，多元沉淀可自行推導(dǎo)。

【模型運(yùn)用】

圖19

( )

A.曲線①代表BaCO3的沉淀溶解曲線

B.該溫度下BaSO4的Ksp(BaSO4)值為1.0×10-10

C.加適量BaCl2固體可使溶液由a點(diǎn)變到b點(diǎn)

【參考答案】B

圖20

【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握沉淀溶解平衡對(duì)數(shù)圖像的解析模型，可迅速區(qū)分曲線并判斷K值，提升解題速度，為解決后續(xù)選項(xiàng)奠定基礎(chǔ)。

【例4】(2021·全國(guó)乙卷·13)HA是一元弱酸，難溶鹽MA的飽和溶液中c(M+)隨c(H+)而變化，M+不發(fā)生水解。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，298 K時(shí)c2(M+)—c(H+)為線性關(guān)系，如圖21中實(shí)線所示。

圖21

下列敘述錯(cuò)誤的是

( )

A.溶液pH=4時(shí)，c(M+)<3.0×10-4mol·L-1

B.MA的溶度積Ksp(MA)=5.0×10-8

C.溶液pH=7時(shí)，c(M+)+c(H+)=c(A-)+c(OH-)

D.HA的電離常數(shù)Ka(HA)≈2.0×10-4

【參考答案】C

圖22

【點(diǎn)評(píng)】此題難度很大，科學(xué)的過(guò)程分析是解決本題的關(guān)鍵，而這也更加印證了證據(jù)推理與模型認(rèn)知之間的統(tǒng)一關(guān)系，科學(xué)的推理分析才能為進(jìn)一步的模型解析構(gòu)建基礎(chǔ)和平臺(tái)。在科學(xué)的過(guò)程分析之后，解析模型的構(gòu)建同時(shí)也需要有扎實(shí)的必備知識(shí)及學(xué)科能力為支撐，得出解析模型之后，幾個(gè)選項(xiàng)便迎刃而解。

科學(xué)的模型構(gòu)建可以使抽象的事物具體化，復(fù)雜的事物簡(jiǎn)單化。構(gòu)建模型的過(guò)程本身就是完善證據(jù)推理，通過(guò)模型構(gòu)建、模型運(yùn)用、解決問(wèn)題，形成有序的思維模型，也正是落實(shí)核心素養(yǎng)的過(guò)程。數(shù)學(xué)中的一些基本思維、基本模型，都是解決問(wèn)題的有效方法，尤其是化學(xué)反應(yīng)原理中的運(yùn)算模型，合理的利用解析法進(jìn)行學(xué)科融合，構(gòu)建有效的認(rèn)知模型，不僅在解題中事半功倍，更加可以加深對(duì)學(xué)科知識(shí)的認(rèn)識(shí)理解。落實(shí)核心素養(yǎng)，不僅要求師生對(duì)化學(xué)學(xué)科知識(shí)有科學(xué)合理的認(rèn)知，更要求對(duì)數(shù)學(xué)模型不斷學(xué)習(xí)，以促進(jìn)化學(xué)認(rèn)知模型的認(rèn)知與構(gòu)建，更好的落實(shí)化學(xué)核心素養(yǎng)。