具有對流項的（2，p）-Laplace方程非負解的存在性

張 沐，黃永艷

（山西大學 數(shù)學科學學院，山西 太原 030006）

1 引言與主要結(jié)果

本文主要研究（2，p）-Laplace方程

方程（1）是由Laplace 算子和p-Laplace 算子構(gòu)成的橢圓型方程，在諸多數(shù)學物理模型中有著廣泛的應用，如生物數(shù)學、量子物理學和等離子體物理學等學科［1-5］。 近幾年來，利用變分方法，（2，p）-Laplace 方程已經(jīng)有了許多解的存在性和多重性結(jié)果［6-16］。但是，由于對流項的存在，方程不具有變分結(jié)構(gòu)，所以不能使用通常的變分方法。

文獻［17］利用上下解方法和偽單調(diào)算子理論，證明了帶有對流項的Laplace方程弱解的存在性;文獻［18］利用比較原則和強極大值原理，證明了帶有對流項的p-Laplace 方程正解的存在性。在文獻［19］中，作者利用不動點指數(shù)理論和錐理論，研究下列帶有基爾霍夫項的橢圓方程解的存在性：

受此啟發(fā)，本文將這一方法推廣到（2，p）-Laplace 方程，得到了方程（1）非負解的存在性。首先給出下列條件：

假設(shè)1?d＞0,α,γ∈(0,p-1),β ＞[p*/(1+α)]′，以及m∈Lβ(Ω,(0,∞))，有

f(x,t,y)≤m(x)tα+d|y|γ,x∈Ω,y∈RN,t∈R+

式中：p*=Np/(N-p)是p的臨界Sobolev 指數(shù)；r′=r/(r-1)是r的共軛指數(shù)。

本文的主要結(jié)論如下：

2 預備知識

引理1算子A具有下列性質(zhì)［16］：

（i）A是一個連續(xù)、有界的算子；

3 主要結(jié)果的證明

E是實Banach 空間，K是E中某非空凸閉集，并且滿足：

（i）?λ≥0，有λK?K;

（ii）K?(-K)={0}

那么稱K是E中的一個錐。

在E中的元素間引入半序：u≤ν，如果ν-u∈K。

設(shè)D是E中某有界開集，設(shè)F:Dˉ?K→K全連續(xù)且?u∈K??D，都有u≠F(u)，則F在D上關(guān)于K的不動點指數(shù)i(F,D,K)具有Leray-Schauder度的所有性質(zhì)。

下面是文獻［20］中的一個重要結(jié)論：

定理1的證明:當R ＞0 充分大時，

u≠tP(u),t∈[0,1],u≥0,||u||=R