一種紗線張力滑模模糊控制方法

王培良，葉秋陽，胡開亮，沈 剛

（湖州師范學院 工學院，浙江 湖州 313000）

0 引 言

紗線張力控制技術是紡織生產(chǎn)工藝流程中的重要環(huán)節(jié)，直接影響紗線的質量與生產(chǎn)效率。紗線張力的控制性能會直接影響紗線的成品質量。若紗線張力過小，則紗線容易松弛，導致脫圈，降低工作效率；若紗線張力過大，則紗線容易斷裂，增加斷頭率［1］。因此，為了提高紗線質量，就要求紗線張力控制系統(tǒng)具有快速的動態(tài)響應速度和穩(wěn)定的控制性能［2］。

針對紗線張力控制研究，許家忠等提出模糊控制結合變速積分PID控制的方法，提高了系統(tǒng)對參數(shù)變化的適應性［3］；趙學觀等提出模糊自適應PID控制方法，使系統(tǒng)具有更好的動態(tài)穩(wěn)定性和跟蹤性能［4］；劉樂等提出了基于Hamilton理論的無張力計控制策略，保證了閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性［5］；康超等提出神經(jīng)網(wǎng)絡動態(tài)控制方法，對系統(tǒng)起到動態(tài)優(yōu)化作用［6］；張楠等提出了基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡的自適應PID技術控制紗線張力，提高了系統(tǒng)的響應速度與魯棒性［7］。

滑?？刂剖且环N變結構控制，具有魯棒性強，對模型依賴性低，對參數(shù)變化及擾動不敏感以及物理實現(xiàn)簡單等特點［8］。模糊控制是一種以模糊集合論、模糊語言變量及模糊邏輯推理為基礎的計算機控制［9］，具有容錯能力強，魯棒性強和無需精確數(shù)學模型等特點。

本文針對紗線張力控制系統(tǒng)的非線性和實時性以及傳統(tǒng)滑?？刂拼嬖诘亩墩穹荡蠛挖吔俣嚷葐栴}，結合模糊控制和滑?？刂频膬?yōu)點，提出了一種基于改進多冪次趨近律的滑模模糊控制方法。該方法的輸入可以是滑模面，有利于減少傳統(tǒng)模糊控制的靜差；模糊推理輸出能柔化控制作用，削減傳統(tǒng)滑?？刂频亩墩瘢?0］。本文以無刷直流電機作為張力控制的執(zhí)行機構，建立了紗線張力控制系統(tǒng)數(shù)學模型，改進了多冪次趨近律，設計了基于該趨近律的模糊滑模張力控制器。在MATLAB/Simulink環(huán)境中進行了仿真實驗，證明了該方法的有效性。

1 控制系統(tǒng)數(shù)學建模

紗線張力控制系統(tǒng)結構如圖1 所示。此系統(tǒng)由速度傳感器、控制器、張力傳感器、收卷機構和放卷機構5 部分組成。收、放卷機構分別由收、放卷電機和收、放卷輥組成。收、放卷電機分別拖動收、放卷輥，并分別與收、放卷輥直接相連。V2、V1分別為收、放卷輥線速度，l為收、放卷輥之間的紗線長度。當收、放卷輥之間存在速度差時，紗線內部就會產(chǎn)生張力。當V2大于V1過多時，會導致紗線張力過大，造成紗線斷裂；反之，會導致紗線張力過小，造成紗線脫圈。如果可以將收、放卷輥之間的速度差控制在一定范圍內，則能保證紗線張力穩(wěn)定［11］。

圖1 紗線張力控制系統(tǒng)Fig.1 Yarn tension control system

無刷直流電動機（BLDCM）具有調速快速、運行穩(wěn)定、精度高等特點［12］。因此，將無刷直流電動機作為張力控制系統(tǒng)的執(zhí)行機構。簡化BLDCM 的數(shù)學模型，則其三相繞組的電壓平衡方程［13］為

式中：ua、ub、uc分別為定子繞組相電壓；r為相電阻；ia、ib、ic分別為定子繞組相電流；ea、eb、ec分別為定子繞組電動勢；L為每相繞組的自感；M為每兩相繞組間互感；D為微分算子。

為了便于滑模控制器的設計，對式（1）加以簡化。將整個電機當作一個整體，則BLDCM的電壓平衡方程［13］為

式中：u為電機端電壓；i為相電流；r為相電阻；ke為反電勢系數(shù)；w為電機角速度。

BLDCM的轉矩平衡方程［13］為

式中：Te為電磁轉矩，Te=kti，kt為轉矩系數(shù)；TL為負載轉矩；J為轉動慣量；B為阻尼系數(shù)。

由式（2）、（3）以及文獻［14］，可得電機端電壓的表達式為

紗線在卷繞過程中，受力發(fā)生形變，紗線的應力表達式為

式中：σ為應力；E為彈性模量；ε為應變。

假設紗線的初始長度為l，形變后的長度為l0，則紗線的應變表達式［15］為

式中：V2為收卷輥線速度；V1為放卷輥線速度。

將紗線的彈性變形視為線性彈性變形，且忽略紗線形變前后密度與橫截面積的變化，根據(jù)胡克定律，可得張力的表達式為

式中：F為紗線張力；A為紗線橫截面積。假設放線速度V1恒定不變，在張力發(fā)生波動時，通過控制收線速度V2調節(jié)紗線張力，使其恢復到設定值［16］。

結合文獻［17-18］，紗線張力控制過程如圖2所示。

圖2 紗線張力控制過程Fig.2 Yarn tension control process

根據(jù)式（4）和式（7），定義紗線張力控制系統(tǒng)數(shù)學模型的狀態(tài)方程，即

式中：g=l/(AER)；h=d+cV1/R，R為收卷輥半徑。

2 滑模模糊控制器設計

滑?？刂瓢ㄏ到y(tǒng)從任意初始狀態(tài)趨向滑模面的趨近運動和在滑模面上向平衡點運動的滑模運動2個階段［19］。

2.1 滑模面

定義張力誤差e為

式中：x1d為張力設定值。

根據(jù)紗線張力控制系統(tǒng)的數(shù)學模型，設計滑模面s，即

式中：s為滑模函數(shù)；c1、c2、c3均為滑模面的設計參數(shù)，且c1、c2、c3＞0。

2.2 趨近律

在滑模趨近運動過程中，采用趨近律的方法可以保證系統(tǒng)趨近運動的動態(tài)品質［20］。在文獻［21］的基礎上，將多冪次趨近律改進為

式中：k1、k2、k3、k4、α、β為趨近項系數(shù)；f(s)為邊界層函數(shù)；Φ為函數(shù)f(s) 的邊界層厚度；k1＞0 ，k2＞0 ，k3＞0 ，k4＞0 ，0＜α ＜1，1＜β，Φ ＞0。γ的取值采用模糊控制自適應調節(jié)，其表達式為

式中：γ0為γ的初始值；Δγ為模糊控制輸出量。

在所提出的趨近律中，冪次項系數(shù)γ的大小會影響系統(tǒng)的收斂速度和抖振幅值。如果將γ設為定值，將很難適應張力控制系統(tǒng)的非線性、實時性及突發(fā)擾動。鑒于此，為實現(xiàn)對張力控制系統(tǒng)的最優(yōu)滑模控制，設計一種模糊控制方法，根據(jù)實際情況來自適應調節(jié)參數(shù)γ。

2.3 滑模模糊控制器

滑模模糊控制器結構如圖3 所示?；Ｄ：刂破鳛閮奢斎胍惠敵?，以滑模面s以及其變化率s?作為輸入變量，以Δγ作為輸出變量。通過模糊規(guī)則，實時調節(jié)趨近律參數(shù)Δγ，以適應不同時刻的控制需求。

圖3 滑模模糊控制器Fig.3 Sliding mode fuzzy controller

Δγ參數(shù)調節(jié)的模糊規(guī)則見表1，該模糊規(guī)則滿足滑?？刂频目蛇_性條件s·s?＜0。當s、s?均為PB/NB時，要求Δγ為PB/NB，使系統(tǒng)以較大的速度降低s·s?的值；當s·s?＜0 時，系統(tǒng)滿足可達性條件，有收斂于滑模面的趨勢，則要求Δγ為ZE［10］。

表1 Δγ 參數(shù)調節(jié)的模糊規(guī)則表Tab.1 Fuzzy rule table of parameter Δγ adjustment

模糊輸入s隸屬度函數(shù)如圖4 所示，模糊輸入s?隸屬度函數(shù)與模糊輸入s隸屬度函數(shù)相同；模糊輸出Δγ隸屬度函數(shù)如圖5所示。采用加權平均法對模糊輸出Δγ進行逆模糊化。

圖4 模糊輸入s 隸屬度函數(shù)Fig.4 Membership function of Fuzzy input s

圖5 模糊輸出Δγ 隸屬度函數(shù)Fig.5 Membership function of fuzzy input Δγ

根據(jù)式（8）、（10）和（11），設計滑模模糊控制器的控制律，即

2.4 趨近律穩(wěn)定性證明

通過李雅普諾夫穩(wěn)定性定理證明趨近律的穩(wěn)定性。選擇李雅普諾夫函數(shù)為

根據(jù)式（14）～（16），可得V≥0 且V?≤0 。當且僅當s=0 時，V=V?=0。根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，可得所提出的趨近律滿足穩(wěn)定性條件，系統(tǒng)能在趨近律的作用下在有限時間內從任意初始狀態(tài)到達滑模面。

3 仿真實驗

為驗證文中方法的有效性，以MATLAB/Simulink 軟件作為仿真工具，分別采用指數(shù)趨近律（趨近律z1）、多冪次趨近律（趨近律z2）、文獻［21］所示趨近律（趨近律z3）和文中所提出的趨近律（趨近律z4）設計控制律進行仿真對比，滑模面均采用式（10）的形式。為了便于表述，分別標記為控制方法1、2、3和4。

1）趨近律z1

2）趨近律z2

均為趨近律設計參數(shù)。

3）趨近律z3式中：ka、kb、kc、kd、λ1、λ2、λ3、λ4均為趨近律設計參數(shù)。

4）趨近律z4

紗線張力控制系統(tǒng)仿真參數(shù)［13］中，相電阻r=1.32 Ω，相電感L為2.8×10－3H，阻尼系數(shù)B=6.59×10－6N·m，轉動慣量J=1.57×10－5kg·m2，反電勢系數(shù)ke=0.067 kg/m2，轉矩系數(shù)kt=0.073 N·m/A，負載轉矩TL=0.4 N·m，彈性模量E=1.74×1010Pa，紗線橫截面積A= 3.14×10－8m2，紗線初始長度l=0.1 m。各趨近律設計參數(shù)如表2所示。

表2 各趨近律設計參數(shù)Tab.2 Parameters of each approach law

圖6、7分別是不同控制方法下s、s?變化曲線。

圖6 不同控制方法下s的變化Fig.6 The change of s under different control methods

由圖6和圖7可知：各個控制方法下的系統(tǒng)到達滑模面的時間分別為0.922、0.906、0.610 和0.440 s；控制方法4下系統(tǒng)的收斂時間最短，相對于其他控制方法時間上相對縮短了52.3%、51.4%和27.9%。控制方法2和控制方法1下的系統(tǒng)在一定范圍內滑動，產(chǎn)生了抖振現(xiàn)象。控制方法3 和控制方法4 下的系統(tǒng)到達滑模面后，基本沒有產(chǎn)生抖振現(xiàn)象，控制方法4降低抖振更為有效。

圖7 不同控制方法下s?的變化Fig.7 The change of s?under different control methods

圖8 是模糊控制器輸出變量Δγ變化曲線。分析圖8 可知：Δγ隨著時間先下降至－1.96 后快速上升至1.96，最后下降至穩(wěn)定狀態(tài)。當系統(tǒng)未到達滑模面之前，模糊控制器輸出Δγ根據(jù)s以及s?自適應調整，用以提高收斂速度；當系統(tǒng)到達滑模面時，模糊控制器輸出Δγ趨于穩(wěn)定，用以降低滑模運動的抖振。

圖8 模糊控制器輸出變量ΔγFig.8 The change curve of output Δγ of fuzzy controller

圖9、圖10 分別是不同控制方法下的控制器輸出信號u、紗線張力F響應變化曲線。分析圖9 可知：4種控制方法下的控制器輸出到達穩(wěn)定狀態(tài)的時間分別為2.047、1.919、1.817 和1.416 s?？刂品椒?所需的時間最短，率先趨于穩(wěn)定狀態(tài)，相對其他3 種方法時間上分別縮短了30.8%、26.2%和22.1%?？刂品椒?和2下的控制器輸出信號趨于穩(wěn)定時，存在一定范圍內波動。

圖9 不同控制方法下的控制器輸出信號uFig.9 The change curve of output signal u under different control methods

分析圖10 可知：4 種控制方法下的紗線張力輸出值到達張力設定值的時間分別為2.337、2.198、2.094 和1.575 s，控制方法4 相對其他3 種方法時間上分別縮短了32.6%、28.3%和24.8%；紗線張力響應較快，紗線張力輸出值率先達到了張力設定值。在0～0.4 s 期間，控制方法4 的紗線張力低于方法2。但是，在此期間，Δγ的自適應整定不斷地提升控制方法4 的收斂速度；0.4 s 之后，控制方法4 的紗線張力超過了控制方法2，直至進入穩(wěn)定狀態(tài)。

圖10 不同控制方法下的紗線張力F 響應Fig.10 The change curve of yarn tension F response under different control methods

仿真結果證明了所提出方法的有效性，不僅提高了收斂速度，還降低了抖振。紗線張力控制系統(tǒng)的張力輸出響應速度和控制器輸出信號穩(wěn)定性得到了提高。

4 結 語

針對傳統(tǒng)滑模控制收斂速度慢、抖振導致的紗線張力控制系統(tǒng)輸出響應速度慢、控制器輸出波動大的問題，提出一種基于改進多冪次趨近律的滑模模糊控制方法。通過對紗線張力控制系統(tǒng)的數(shù)學建模以及仿真，驗證了該方法的可行性與有效性。基于該方法的紗線張力控制系統(tǒng)不僅能有效降低系統(tǒng)抖振，還能提高收斂速度；能快速響應指令輸入，且提升了輸出信號的穩(wěn)定性，具有較好的控制性能。