關(guān)于薄利多銷問(wèn)題的建模分析

韋碧鵬，黎會(huì)蘭，蒙 仁

（1.柳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣西 柳州 545006；2.北部灣大學(xué)，廣西 欽州 535011）

0 引言

為了增加商品的銷量，通過(guò)降低商品的價(jià)格來(lái)增加利潤(rùn)的方式簡(jiǎn)稱為“薄利多銷”。在現(xiàn)實(shí)生活中，很多商家都是通過(guò)這種策略來(lái)擴(kuò)大銷售的。根據(jù)彈性分析理念，如果商品價(jià)格下降，那么富有彈性商品的需求量將會(huì)增加，其增加的幅度將會(huì)大于商品價(jià)格下降的幅度，從而使得所產(chǎn)生的利潤(rùn)增加，“薄利多銷”的方式在實(shí)際生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中已經(jīng)被廣泛應(yīng)用。本文以2019年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽E題為例，對(duì)“薄利多銷”所產(chǎn)生的問(wèn)題進(jìn)行分析和研究。

問(wèn)題一：?jiǎn)栴}中給出了商場(chǎng)2016年11月30日到2019年1月2日（以下簡(jiǎn)稱“促銷時(shí)間”）的銷售流水?dāng)?shù)據(jù)，計(jì)算其每天的營(yíng)業(yè)額和利潤(rùn)率（注意：由于復(fù)雜因素的影響，所得到非打折商品成本價(jià)的數(shù)據(jù)是不完備的，一般情況下，零售商的利潤(rùn)率為20%～40%)。

問(wèn)題二：根據(jù)對(duì)題目的理解，建立合適的指標(biāo)和商場(chǎng)打折力度的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)商場(chǎng)促銷時(shí)間每天的打折力度進(jìn)行計(jì)算。

問(wèn)題三：運(yùn)用題目所給數(shù)據(jù)，分析打折力度與銷售額、利潤(rùn)率之間的關(guān)系。

問(wèn)題四：在問(wèn)題三的基礎(chǔ)上，根據(jù)商品的大類進(jìn)行區(qū)分，分析打折力度與銷售額、利潤(rùn)率之間的關(guān)系。

1 問(wèn)題一模型的建立與求解

1.1 原始數(shù)據(jù)的預(yù)處理

問(wèn)題一要計(jì)算出商場(chǎng)每天的營(yíng)業(yè)額和利潤(rùn)率，首先要建立數(shù)據(jù)匹配的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用SQL Server2014軟件[1]把促銷時(shí)間的商品銷售流水記錄表進(jìn)行整合，得到銷售流水記錄原始表，共1221855條數(shù)據(jù)。通過(guò)觀察銷售流水記錄表，發(fā)現(xiàn)銷售流水記錄原始表不屬于完備的數(shù)據(jù)，存在著不完備的數(shù)據(jù)現(xiàn)象。一方面，銷售記錄原始表中存在著顧客未完成的訂單數(shù)據(jù)（96664條數(shù)據(jù)），這些數(shù)據(jù)對(duì)于問(wèn)題的處理沒有任何意義，因此，需要對(duì)未完成訂單數(shù)據(jù)進(jìn)行剔除。另一方面，銷售流水記錄原始表中存在著大量的商品成本價(jià)格缺失，缺失數(shù)據(jù)占總數(shù)據(jù)的64.1%。舍棄這些數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)果的準(zhǔn)確性將造成較大影響。經(jīng)過(guò)對(duì)問(wèn)題和數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，本研究將對(duì)成本缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行修復(fù)，其中數(shù)據(jù)缺失情況分為以下三種：?jiǎn)渭唐蜂N售記錄中從未出現(xiàn)過(guò)成本價(jià)；單件商品銷售記錄中出現(xiàn)過(guò)成本價(jià)，但仍存在成本價(jià)缺失；單件商品銷售記錄中沒有成本價(jià)缺失。

針對(duì)以上三種情況，研究使用SQL Server2014軟件將從未出現(xiàn)過(guò)成本價(jià)的數(shù)據(jù)、出現(xiàn)過(guò)成本價(jià)但仍存在成本價(jià)缺失、沒有成本價(jià)缺失的數(shù)據(jù)分別取出，得到從未出現(xiàn)成本價(jià)表、出現(xiàn)成本價(jià)表、未缺失成本價(jià)表，接著對(duì)從未出現(xiàn)成本價(jià)表、出現(xiàn)成本價(jià)表進(jìn)行以下處理[2-3]。

對(duì)出現(xiàn)過(guò)成本價(jià)的商品以成本價(jià)為目標(biāo)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行去重，得到商品出現(xiàn)過(guò)成本價(jià)的信息，再根據(jù)成本價(jià)信息求出利潤(rùn)率的均值，以利潤(rùn)率均值為標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算并填充相同商品中成本為空的數(shù)據(jù)。

對(duì)從未出現(xiàn)過(guò)成本價(jià)的數(shù)據(jù)，將以相同的門店價(jià)利潤(rùn)率為指標(biāo)，對(duì)未出現(xiàn)過(guò)成本價(jià)的數(shù)據(jù)進(jìn)行成本價(jià)計(jì)算并填充；對(duì)存在的有效打折商品，按促銷開始時(shí)間和結(jié)束時(shí)間為條件，商品編號(hào)為表示與銷售記錄表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行匹配，發(fā)現(xiàn)還存在有113條數(shù)據(jù)成本價(jià)為空，即可用折扣信息表在促銷時(shí)間內(nèi)對(duì)應(yīng)的商品成本價(jià)填充，且將門店價(jià)、銷售價(jià)及成本價(jià)之間不合理的數(shù)據(jù)進(jìn)行剔除（如成本價(jià)〉門店價(jià)）。

1.2 商場(chǎng)營(yíng)業(yè)額和利潤(rùn)率的模型與求解

使用SQL Server2014軟件將處理后的從未出現(xiàn)成本價(jià)表、出現(xiàn)成本價(jià)表以及未缺失成本價(jià)表進(jìn)行整合，最終得到完整銷售記錄表，總共1125132條數(shù)據(jù)，接著為計(jì)算出商場(chǎng)每天的營(yíng)業(yè)額和利潤(rùn)率建立營(yíng)業(yè)額和利潤(rùn)率相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，分別如下。

營(yíng)業(yè)額數(shù)學(xué)模型：

利潤(rùn)率數(shù)學(xué)模型：

根據(jù)模型（1）和模型（2），運(yùn)用SQL Server2014軟件進(jìn)行計(jì)算，得到每日營(yíng)業(yè)額表和每日利潤(rùn)率表，見表1所示。

表1 商品每日營(yíng)業(yè)額表和每日利潤(rùn)率表

2 問(wèn)題二模型的建立與求解

針對(duì)問(wèn)題二，要計(jì)算商場(chǎng)促銷時(shí)間每天的打折力度[4-5]，首先需要建立單件商品打折力度的數(shù)學(xué)模型，具體如下。

單件商品打折力度數(shù)學(xué)模型：

由于商場(chǎng)每天銷售的商品種類繁多，因此，要計(jì)算出商場(chǎng)每天的打折力度，有以下幾種方法：第一，計(jì)算出總的商品銷售額和總的商品門面價(jià)格，運(yùn)用模型（3）進(jìn)行求解，從而得出每天商場(chǎng)的折扣率；第二，運(yùn)用模型（3）把每天商場(chǎng)銷售每種商品的折扣率都計(jì)算出來(lái)，然后對(duì)其求平均值；第三，考慮商品的屬性不一樣和顧客的偏向問(wèn)題，采用線性加權(quán)的方法，建立多個(gè)商品打折力度的數(shù)學(xué)模型，接著運(yùn)用問(wèn)題一原始數(shù)據(jù)預(yù)處理所得到的完整銷售記錄表，從而得出每天商品的打折力度。

以上第一、第二種方法沒有考慮到商品的屬性不一樣和顧客的偏向問(wèn)題，因此，采用線性加權(quán)的方法，建立多個(gè)商品打折力度的數(shù)學(xué)模型，具體如下。

其中T打折力度表示每天商場(chǎng)的打折力度，Mi表示第i種商品的門面價(jià)格，Xi表示第i種商品的銷售價(jià)格，Wi表示第i種商品的顧客偏好（即權(quán)重）。

結(jié)合模型（3），可以把模型（4）變?yōu)椋?/p>

為計(jì)算出每天的打折力度，根據(jù)顧客的偏好，本研究以顧客購(gòu)買第i種商品的數(shù)量與當(dāng)天商品銷售總數(shù)量之比作為第i種商品的權(quán)重值，基于此，模型（5）可改進(jìn)如下：

其中，Si表示第i種商品的銷售數(shù)量，S表示當(dāng)天商品銷售的總數(shù)量。

運(yùn)用問(wèn)題一原始數(shù)據(jù)預(yù)處理所得到的完整銷售記錄表，結(jié)合模型（6），可以得出商場(chǎng)促銷時(shí)間每天的打折力度，具體如表2所示。

表2 每天商場(chǎng)的打折力度

3 問(wèn)題三模型的建立與求解

針對(duì)問(wèn)題三，分析打折力度與其他兩個(gè)因素銷售額與利潤(rùn)率的關(guān)系，以便從數(shù)據(jù)中挖掘出其隱含的信息。按照每天商品和單件商品兩個(gè)角度進(jìn)行分析，對(duì)打折力度、銷售額以及利潤(rùn)率之間的關(guān)系進(jìn)行相關(guān)性分析和線性回歸擬合，最后運(yùn)用隨機(jī)數(shù)據(jù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型驗(yàn)證所得模型的正確性。

3.1 每天商品角度分析

通過(guò)運(yùn)用SQL serve2014軟件計(jì)算并篩選每天打折力度、每天商品銷售額、每天利潤(rùn)率的數(shù)據(jù)，得到每天打折信息表（736條數(shù)據(jù)）。將每天打折信息表導(dǎo)入SPSS軟件，使用皮爾遜相關(guān)系數(shù)[6]進(jìn)行分析，得到如下結(jié)果。

皮爾遜相關(guān)系數(shù)：

表3 每天商品打折力度、銷售額以及利潤(rùn)率的相關(guān)性

從表3可知，每天商品的打折力度與商品利潤(rùn)率的皮爾遜相關(guān)性值為-0.685，它們具有負(fù)相關(guān)性，每天商品的打折力度與商品銷售額的皮爾遜相關(guān)性值為0.431，它們存在著一定的關(guān)聯(lián)。通過(guò)觀察每天商品的打折力度、商品利潤(rùn)率以及商品銷售額的顯著性關(guān)系，發(fā)現(xiàn)它們之間存在著非常顯著的關(guān)系?；诖耍狙芯窟\(yùn)用回歸分析法建立相應(yīng)的回歸分析模型[7]，具體如下。

將每天打折信息表導(dǎo)入SPSS軟件中，運(yùn)用回歸分析中的逐步回歸分析法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到每天商品的打折力度、商品利潤(rùn)率以及商品銷售額的關(guān)系模型：

為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性，隨機(jī)抽取50條樣本數(shù)據(jù)對(duì)模型（7）進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果如圖1所示。

圖1 模型（7）預(yù)測(cè)值與真實(shí)值數(shù)據(jù)對(duì)比

通過(guò)圖1檢驗(yàn)結(jié)果可知，研究建立的模型（7）通過(guò)了檢驗(yàn)，即模型（7）能夠表示每天商品的打折力度、商品利潤(rùn)率以及商品銷售額的關(guān)系。

為進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性，研究運(yùn)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)每天商品信息作進(jìn)一步分析，使用python3.7編程語(yǔ)言調(diào)用tensorflow2.0建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，將每天打折信息表導(dǎo)入后，以銷售額、利潤(rùn)率作為自變量，打折力度作為因變量，建立多元線性回歸模型。初始化兩個(gè)權(quán)重：model.add(layers.Dense(1,input_dim=2))，接著使用adam優(yōu)化算法與均方差編譯模型：model.compile(optimizer='adam',loss='mse')，將模型配置好后即可對(duì)模型進(jìn)行數(shù)據(jù)訓(xùn)練。將每天打折信息表代入模型訓(xùn)練（model.fit(x,y,epochs=1000)），訓(xùn)練次數(shù)為1000。訓(xùn)練結(jié)束后發(fā)現(xiàn)模型的損失函數(shù)沒有得到飽和的趨勢(shì)，但是，已經(jīng)被降到了很低的值，隨機(jī)代入一條數(shù)據(jù)進(jìn)行檢測(cè)。

圖2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)隨機(jī)一條數(shù)據(jù)檢測(cè)結(jié)果

由上圖中可知，預(yù)測(cè)的打折力度為0.09276434，對(duì)模型作進(jìn)一步檢測(cè)，隨機(jī)取10條數(shù)據(jù)，得出以下情況。

表4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)商品打折力度的預(yù)測(cè)值

從上表中，得到模型的預(yù)測(cè)值和真實(shí)值較為接近，即從另外的角度驗(yàn)證了模型（7）的正確性。

3.2 單件商品角度分析

與上述方法相同，運(yùn)用SQL serve2014軟件將每件商品的打折力度、商品銷售額以及商品利潤(rùn)率的數(shù)據(jù)求出，將數(shù)據(jù)導(dǎo)入SPSS軟件中，對(duì)單件商品的打折力度、商品銷售額以及商品利潤(rùn)率進(jìn)行相關(guān)性分析，得到如下結(jié)果。

圖3 單件商品打折力度、銷售額以及利潤(rùn)率的相關(guān)性

從圖3可知，單件商品的打折力度與單件商品利潤(rùn)率的皮爾遜值為-0.328，它們的關(guān)系呈負(fù)相關(guān)。單件商品的打折力度與單件商品銷售額的皮爾遜值為0.016，其顯著性大于0.01，顯著性不強(qiáng)，基于此，研究對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行矩陣散點(diǎn)圖分析，得到如下結(jié)果。

圖4 單件商品打折力度、銷售額以及利潤(rùn)率的矩陣散點(diǎn)圖

首先，運(yùn)用SQL Server2014軟件對(duì)完整銷售記錄表的商品信息表以類目的形式進(jìn)行匹配，從而得到各類目下的銷售記錄表。接著，從一級(jí)類目、二級(jí)類目和三級(jí)類目的角度分別對(duì)打折力度與銷售額、利潤(rùn)率進(jìn)行相關(guān)性分析，建立對(duì)應(yīng)的關(guān)系模型。

研究先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，使用SQL Server2014軟件求出每件商品的利潤(rùn)率、打折力度、銷售額，得到每件商品打折信息表（共7325條數(shù)據(jù)）。接著，將商品打折信息表和商品的信息類目進(jìn)行數(shù)據(jù)匹配，發(fā)現(xiàn)一些數(shù)據(jù)與商品的信息類目表數(shù)據(jù)無(wú)法匹配，即商品打折信息表中的一些商品信息查詢不到。為得到完整的數(shù)據(jù)表，將舍去這些數(shù)據(jù)，最終得到以類目進(jìn)行分類的數(shù)據(jù)（共6570條數(shù)據(jù)）。

從一級(jí)類目的角度分析商品打折力度、商品銷售額以及商品利潤(rùn)率的關(guān)系，將一級(jí)商品類目數(shù)據(jù)表導(dǎo)入SPSS軟件中，使用SPSS軟件的相關(guān)性分析功能，對(duì)商品打折力度、商品銷售額以及商品利潤(rùn)率進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)它們之間的相關(guān)關(guān)系不強(qiáng)。運(yùn)用回歸模型檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)它們之間的顯著性指標(biāo)過(guò)高，因此，得不到一個(gè)好的線性規(guī)劃模型。

從二級(jí)類目的角度對(duì)其作相關(guān)性分析，發(fā)現(xiàn)商品打折力度與商品利潤(rùn)率的皮爾遜值為-0.519，具有負(fù)相關(guān)性。然而，商品打折力度與商品銷售額沒有相關(guān)關(guān)系，因此，運(yùn)用SPSS對(duì)二級(jí)類目下的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸擬合，得到二級(jí)類目下的線性回歸模型：

從三級(jí)類目的角度分析，與二級(jí)類目的角度分析結(jié)論類似。發(fā)現(xiàn)商品打折力度與商品利潤(rùn)率的皮爾遜值為-0.313，具有負(fù)相關(guān)性。然而，商品打折力度與商品銷售額沒有相關(guān)關(guān)系，因此，運(yùn)用SPSS對(duì)三級(jí)類目下的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸擬合，得到三級(jí)類目下的線性回歸模型：

從矩陣散點(diǎn)圖可以看出，單件商品打折力度、銷售額以及利潤(rùn)率的關(guān)系都沒有呈現(xiàn)出明顯的線性關(guān)系。

4 問(wèn)題四模型的建立與求解

在問(wèn)題三的基礎(chǔ)上，根據(jù)商品的大類進(jìn)行區(qū)分，分析打折力度與銷售額、利潤(rùn)率之間的關(guān)系。

將二級(jí)類目下的模型、三級(jí)類目下的模型以及模型7進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)商品類目下線性回歸模型的銷售額顯著性普遍偏高。隨機(jī)抽取50條數(shù)據(jù)，將三個(gè)模型代入進(jìn)行驗(yàn)證，將結(jié)果進(jìn)行線性圖繪制。

從上圖中可知，二級(jí)類目下的模型與原模型的折線圖幅度波動(dòng)較為接近，二級(jí)類目和三級(jí)類目間的數(shù)據(jù)十分接近，因此，得出每天的商品打折力度對(duì)二級(jí)類目下商品的打折力度影響不大的結(jié)論。

5 模型的分析、推廣及改進(jìn)

5.1 模型分析

薄利多銷模型的建立，有助于全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽工作的開展，對(duì)參賽學(xué)校和學(xué)生提高競(jìng)賽水平具有一定的參考意義，為學(xué)生掌握大數(shù)據(jù)分析技術(shù)奠定了必要的基礎(chǔ)。薄利多銷模型的建立和分析，操作性強(qiáng)，便于實(shí)現(xiàn)，在大數(shù)據(jù)時(shí)代應(yīng)用價(jià)值高，對(duì)傳統(tǒng)實(shí)體店的運(yùn)營(yíng)具有一定的指導(dǎo)意義。

5.2 模型推廣

該模型以大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽為背景，問(wèn)題為實(shí)際問(wèn)題，根據(jù)商場(chǎng)的銷售流水記錄、折扣信息表以及商品信息表，分別建立了薄利多銷的銷售額、利潤(rùn)率以及打折力度的數(shù)學(xué)模型，分析它們之間的關(guān)系。模型可推廣到各大商場(chǎng)和電商平臺(tái)中，例如大潤(rùn)發(fā)實(shí)體店、天貓、淘寶、京東等。

5.3 模型改進(jìn)

第一，在問(wèn)題三中，檢驗(yàn)所建立的模型正確性時(shí)，隨機(jī)運(yùn)用少量的數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，雖然得到的結(jié)果比較好，但是，建議運(yùn)用大量的數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)效果更好；第二，分析商品打折力度、商品銷售額以及商品利潤(rùn)率之間的關(guān)系，如果能從時(shí)間的角度進(jìn)一步分析不同時(shí)段商品打折力度、商品銷售額以及商品利潤(rùn)率的關(guān)系，其所得結(jié)果和應(yīng)用價(jià)值將會(huì)更好。

6 結(jié)語(yǔ)

薄利多銷是商家擴(kuò)大銷售的一種策略。為了研究薄利多銷的數(shù)學(xué)模型，本文結(jié)合2019年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽E題進(jìn)行研究，詳細(xì)地對(duì)商場(chǎng)薄利多銷的銷售流水記錄進(jìn)行分析和建模，分別得到了營(yíng)業(yè)額和利潤(rùn)率、商品打折力度、銷售額及利潤(rùn)率的數(shù)學(xué)模型，且通過(guò)數(shù)據(jù)比較和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法驗(yàn)證提出模型的正確性和有效性，從而為商家促銷提供數(shù)據(jù)依據(jù)。