面向橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)的壓縮感知?jiǎng)恿憫?yīng)信號(hào)重構(gòu)

張笑華，肖興勇，方圣恩

（福州大學(xué)土木工程學(xué)院，福建福州 350108）

引言

橋梁結(jié)構(gòu)是運(yùn)輸業(yè)的重要交通通道，隨著其服役期的增長(zhǎng)，在各種荷載及自然災(zāi)害作用下，不可避免地出現(xiàn)結(jié)構(gòu)損傷與性能退化，嚴(yán)重時(shí)甚至產(chǎn)生結(jié)構(gòu)破壞導(dǎo)致災(zāi)難性事故發(fā)生。因此，在這些結(jié)構(gòu)上建立橋梁健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)，進(jìn)行服役期間的安全監(jiān)測(cè)，為橋梁管理者實(shí)時(shí)掌握橋梁的健康狀況，具有重要的意義。

橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)是結(jié)構(gòu)工作期間，在環(huán)境激勵(lì)下，通過傳感器系統(tǒng)對(duì)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)進(jìn)行實(shí)時(shí)采集，再利用數(shù)據(jù)傳輸系統(tǒng)輸送動(dòng)力響應(yīng)信號(hào)至中央處理器進(jìn)行存儲(chǔ)和數(shù)據(jù)處理分析，提取對(duì)結(jié)構(gòu)損傷比較敏感的特征信息，進(jìn)而運(yùn)用各種損傷診斷技術(shù)，評(píng)估橋梁結(jié)構(gòu)目前的健康狀況，分析其剩余壽命［1］。由此可見，結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)的基礎(chǔ)和依據(jù)。傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)信號(hào)采集需要遵循Nyquist 采樣定理，即采樣頻率需大于原始信號(hào)最大頻次的兩倍以上，以避免信號(hào)恢復(fù)過程中的損耗。由于監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)性，按Nyquist 采樣定理采集的數(shù)據(jù)往往是海量的，從而增加了數(shù)據(jù)傳輸和存儲(chǔ)的成本，而且海量的數(shù)據(jù)給結(jié)構(gòu)參數(shù)的識(shí)別帶來(lái)很大的困難。近些年，Donoho 和Candés 提出了壓縮感知（Compressed Sensing）理論［2-3］，數(shù)據(jù)的采樣可不遵循Nyquist 采樣定理，為信號(hào)采集和分析帶來(lái)了全新的思路。其核心思想是只要信號(hào)具備可壓縮性和稀疏性或者在某個(gè)變換域有稀疏性，則可以用一個(gè)與變換基不相關(guān)的觀測(cè)矩陣將該信號(hào)投影到一個(gè)低維空間上，然后通過求解非凸優(yōu)化問題用這些少量的投影數(shù)據(jù)重構(gòu)出原始信號(hào)［4］。壓縮感知理論與傳統(tǒng)的Nyquist 采樣定理相比，優(yōu)勢(shì)在于它可以實(shí)現(xiàn)用少量的采樣數(shù)據(jù)恢復(fù)較為準(zhǔn)確的原始信號(hào)。國(guó)內(nèi)外針對(duì)壓縮感知理論開展了大量的研究，應(yīng)用領(lǐng)域涉及圖像重構(gòu)［5］、圖像優(yōu)化［6］、光學(xué)成像［7］、數(shù)據(jù)通信［8］、無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)［9］、結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別［10］等。

土木工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)時(shí)程在頻域、小波域和在其他變換域上具有近似稀疏的特性，符合壓縮感知理論對(duì)信號(hào)的特性要求。壓縮感知理論為解決結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)海量數(shù)據(jù)問題提供了新的途徑。Mascarenas 等［11］通過傳感器獲得的測(cè)量值對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，發(fā)現(xiàn)實(shí)際工程的動(dòng)力響應(yīng)在稀疏變換基內(nèi)的稀疏性較差，當(dāng)測(cè)量值較大時(shí)才能實(shí)現(xiàn)高精度重構(gòu)。Ji 等［12］則是通過對(duì)LF-21 航空防銹鋁板進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別試驗(yàn)，表明在無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)中，出現(xiàn)數(shù)據(jù)丟失也能用壓縮感知的方法來(lái)重構(gòu)響應(yīng)信號(hào)，且能實(shí)現(xiàn)損傷的準(zhǔn)確識(shí)別。Bao 等［13］提出了基于機(jī)器學(xué)習(xí)的壓縮感知數(shù)據(jù)重構(gòu)方法，將求解過程化為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的有監(jiān)督學(xué)習(xí)任務(wù)，并通過數(shù)值算例和一座懸索橋的實(shí)測(cè)無(wú)線數(shù)據(jù)驗(yàn)證該方法的有效性。O’Connor等［9］將壓縮感知用在無(wú)線傳感器中進(jìn)行長(zhǎng)期監(jiān)測(cè)，表明使用壓縮感知能實(shí)現(xiàn)功耗和數(shù)據(jù)傳輸?shù)臏p少；Jiang 等［14］將超聲層析成像技術(shù)與壓縮感知理論相融合，通過對(duì)鋼管板的結(jié)構(gòu)損傷監(jiān)測(cè)表明該技術(shù)比傳統(tǒng)的超聲層析成像技術(shù)更為高效。康杰等［15］提出了基于Polar 插值改進(jìn)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)信號(hào)壓縮采樣正交匹配追蹤恢復(fù)算法，解決了離散傅里葉原子的頻率與信號(hào)實(shí)際頻率不匹配的問題，提高了信號(hào)重構(gòu)的精度。吳賢國(guó)等［16］提出了基于傳感器網(wǎng)絡(luò)的壓縮感知重構(gòu)算法，解決了運(yùn)營(yíng)隧道健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中多節(jié)點(diǎn)傳感器網(wǎng)絡(luò)下高頻采樣帶來(lái)的大數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和傳輸問題，當(dāng)壓縮比為60%以上時(shí)，重構(gòu)信號(hào)誤差在20%以下。這些研究成果表明壓縮感知理論可以運(yùn)用在動(dòng)力響應(yīng)信號(hào)重構(gòu)和結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別上，但這些研究主要集中在重構(gòu)算法上。而壓縮感知信號(hào)重構(gòu)的精度不僅與重構(gòu)算法有關(guān)，還依賴于稀疏基和觀測(cè)矩陣的選擇。

本文引入壓縮感知理論，降低橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的采集量，針對(duì)橋梁環(huán)境振動(dòng)測(cè)量信號(hào)具有稀疏性差和噪聲干擾大的特點(diǎn)，優(yōu)化觀測(cè)矩陣，增加觀測(cè)矩陣和稀疏基的不相關(guān)性，改善動(dòng)力響應(yīng)信號(hào)壓縮感知重構(gòu)的精度，解決橋梁結(jié)構(gòu)健康實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)海量數(shù)據(jù)造成存儲(chǔ)和傳輸成本高的問題。

1 壓縮感知基本理論

壓縮感知理論的核心思想是只要信號(hào)具備可壓縮性和稀疏性或者在某個(gè)變換域有稀疏性，則可以用一個(gè)與變換基不相關(guān)的觀測(cè)矩陣將該信號(hào)投影到一個(gè)低維空間上，然后通過求解非凸優(yōu)化問題用這些少量的投影數(shù)據(jù)重構(gòu)出原始信號(hào)。具體的基本理論闡述如下。

一維離散時(shí)域信號(hào)x∈Rn，根據(jù)信號(hào)稀疏分解理論，在n×n的標(biāo)準(zhǔn)正交基Ψ=[ψ1，ψ2，…，ψn]下可以表達(dá)為：

式中α為信號(hào)x在Ψ基下的K稀疏表示，x中非零元素的個(gè)數(shù)最多為K，且K≤n。稀疏基是應(yīng)用壓縮感知理論的前提。常用的稀疏基有傅里葉變換基、余弦變換基和小波變換基等。傅里葉變化基構(gòu)造簡(jiǎn)單，稀疏化信號(hào)過程復(fù)雜度低，因此后續(xù)的實(shí)例分析中選擇傅里葉變化基。

使用觀測(cè)矩陣Φ∈Rm×n（m?n）對(duì)原始信號(hào)x進(jìn)行觀測(cè)，即將x投影到Φ上，得到觀測(cè)信號(hào)y∈Rm為：

將式（1）代入式（2）：

式中D∈Rm×n為感知矩陣。式（2）中若知道y和D就可以求解α，再通過式（1）的稀疏反算即可重構(gòu)原始信號(hào)x。由于m?n，式（2）是欠定方程組，沒有確定解，重構(gòu)原始信號(hào)x是一個(gè)病態(tài)的逆向問題。在壓縮感知理論里，信號(hào)x是可壓縮的和稀疏的或者在某個(gè)變換域具有稀疏性或近似稀疏性，且觀測(cè)矩陣Φ滿足約束等距性條件（Restricted Isometry Property，RIP），則式（2）的求解可以轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)1 范數(shù)的優(yōu)化問題［17］：

式中為估計(jì)的K稀疏表示。

求解式（4）的算法有基于L1 的正則化算法［18］和貪婪迭代算法［19］?；贚1 的正則化算法的信號(hào)重構(gòu)精度較好，但需要大量的觀測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算耗時(shí)長(zhǎng)?；谪澙返枷氲乃惴ㄖ貥?gòu)復(fù)雜度低，對(duì)于中小維度的重構(gòu)問題運(yùn)算速度快?；谪澙返枷氲某Ｓ盟惴ㄓ衅ヅ渥粉櫵惴ǎ?0］、正交匹配追蹤算法［21］、分段正交匹配追蹤算法［19］等。正交匹配追蹤算法具有收斂速度快、算法簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，因此，文中的重構(gòu)優(yōu)化算法選用正交匹配追蹤算法。

2 觀測(cè)矩陣的優(yōu)化

實(shí)現(xiàn)壓縮感知的關(guān)鍵要素之一是觀測(cè)矩陣Φ需滿足RIP 條件。已有文獻(xiàn)證明RIP 的等價(jià)條件是觀測(cè)矩陣與稀疏基不相關(guān)［22］，定義相關(guān)系數(shù)：

目前，已有學(xué)者通過優(yōu)化觀測(cè)矩陣，盡量提高Φ和Ψ的不相關(guān)性，以改善壓縮感知信號(hào)重構(gòu)的精度［23-24］。Cao 等［25］利用代數(shù)和組合方法提出了三種確定性結(jié)構(gòu)的觀測(cè)矩陣，具有低相關(guān)性的優(yōu)點(diǎn)，性能優(yōu)于高斯隨機(jī)矩陣。彭玉樓等［26］對(duì)隨機(jī)觀測(cè)矩陣進(jìn)行奇異值分解，通過均值算法修改矩陣的特征值，達(dá)到提高重構(gòu)精度的目的。Xu 等［27］以互相干性最小為目標(biāo)，基于等角緊框架設(shè)計(jì)，采用交替極小化方法，優(yōu)化投影矩陣。王海艷等［28］提出了K-L 變換觀測(cè)矩陣優(yōu)化算法，減小觀測(cè)矩陣與稀疏基之間的相關(guān)性，提高信號(hào)重構(gòu)的精度。汪博峰等［29］利用循環(huán)位移構(gòu)造一個(gè)類似托普利茲結(jié)構(gòu)矩陣，以優(yōu)化觀測(cè)矩陣在低頻段的采樣，達(dá)到降低Φ和Ψ的相關(guān)性的目的。這種優(yōu)化觀測(cè)矩陣的方法具有簡(jiǎn)單易用的優(yōu)點(diǎn)。但橋梁結(jié)構(gòu)環(huán)境激勵(lì)下的動(dòng)力響應(yīng)信號(hào)不可避免地受到噪聲干擾，在變換域里無(wú)法完全稀疏，且結(jié)構(gòu)信號(hào)在非低頻段仍具有一定能量，若直接用該類似托普利茲結(jié)構(gòu)矩陣優(yōu)化觀測(cè)矩陣，重構(gòu)誤差較大。因此文中利用移動(dòng)窗技術(shù)，改進(jìn)了文獻(xiàn)［29］提出的優(yōu)化觀測(cè)矩陣方法。改進(jìn)的觀測(cè)矩陣優(yōu)化方法適用于土木工程結(jié)構(gòu)非完全稀疏性的動(dòng)力響應(yīng)信號(hào)壓縮感知重構(gòu)。

首先構(gòu)造一個(gè)與觀測(cè)矩陣Φ維數(shù)相同的矩陣U∈Rm×n，U矩陣所有元素均為1。再構(gòu)造一個(gè)i×j的構(gòu)造矩陣K，其結(jié)構(gòu)如下：

矩陣中a和b是一對(duì)互質(zhì)的參數(shù)，能夠保證構(gòu)造矩陣K中的任意兩列不相關(guān)；另外要求j≤i≤m以降低列向量之間的相關(guān)性?？闪頸=j=m，然后用矩陣K替換矩陣U中的前m列元素得到矩陣U1，再將U1與觀測(cè)矩陣Φ點(diǎn)乘得到新的觀測(cè)矩陣Φ1。跟原始觀測(cè)矩陣Φ相比，Φ1矩陣第1 至m列的系數(shù)增大，優(yōu)化了該部分的采樣，同時(shí)增加列向量之間的不相關(guān)性。這種觀測(cè)矩陣優(yōu)化方法適用于要采樣的特征值主要集中在前半部分的信號(hào)，即能量集中在低頻部分，例如一些圖像信號(hào)。而橋梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)信號(hào)在非低頻段仍具有一定能量，直接用該方法優(yōu)化觀測(cè)矩陣再用于原始信號(hào)重構(gòu)，會(huì)導(dǎo)致誤差很大。

因此，文中利用移動(dòng)窗技術(shù)改進(jìn)該觀測(cè)矩陣優(yōu)化方法。將窗長(zhǎng)設(shè)置為m，將K矩陣按照窗長(zhǎng)移動(dòng)依次替換U矩陣中對(duì)應(yīng)的列，再優(yōu)化觀測(cè)矩陣并用于后續(xù)的原始信號(hào)重構(gòu)，每次迭代結(jié)束后留下窗對(duì)應(yīng)的重構(gòu)信號(hào)。當(dāng)然，計(jì)算過程中由于使用了移動(dòng)窗技術(shù)，導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間有所增加。

3 基于壓縮感知的動(dòng)力響應(yīng)信號(hào)重構(gòu)算法步驟

基于壓縮感知的動(dòng)力響應(yīng)信號(hào)重構(gòu)算法步驟總結(jié)如下：

步驟1：確定稀疏基Ψ、初始觀測(cè)矩陣Φ，以及觀測(cè)信號(hào)y，令xrec=[]；

步驟2：構(gòu)造一個(gè)矩陣Um×n，所有元素皆為1；

步驟3：確定一對(duì)互質(zhì)的參數(shù)a和b，然后構(gòu)造矩陣K；

步驟4：矩陣K按照窗長(zhǎng)移動(dòng)第i次（i=0，1，2…，round(n/m）+1），替換U矩陣中第1+i×m到m×（i+1）列得到新矩陣U1，將U1與觀測(cè)矩陣Φ點(diǎn)乘得到新的觀測(cè)矩陣Φ1；

步驟5：將優(yōu)化后的觀測(cè)矩陣代入公式（4），用正交匹配追蹤算法計(jì)算公式（4），得到α^；

步驟6：按下式重構(gòu)原始信號(hào)，留用第1+i×m到m×（i+1）時(shí)刻信號(hào)替換xrec中的第1+i×m到m×（i+1）列

步驟7：重復(fù)步驟4，直到迭代次數(shù)為round(n/m）+1 次，得到原始信號(hào)xrec。

4 實(shí)例分析

4.1 吉安大橋簡(jiǎn)介及試驗(yàn)概況

采用吉安大橋的現(xiàn)場(chǎng)環(huán)境振動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證基于壓縮感知的橋梁動(dòng)力響應(yīng)重構(gòu)的可行性和有效性。該環(huán)境振動(dòng)測(cè)試采集了加速度響應(yīng)，但文中提出的壓縮感知?jiǎng)恿憫?yīng)重構(gòu)方法適用于其他類型的動(dòng)力響應(yīng)壓縮感知重構(gòu)，只要該動(dòng)力響應(yīng)時(shí)程信號(hào)具有或者在其他變換域上具有稀疏或者近似稀疏的特性。

吉安大橋位于江西省吉安市，是鋼管混凝土中承式拱橋，如圖1所示。橋全長(zhǎng)536 m，跨徑為36 m+138 m+188 m+138 m+36 m，橋面總寬28 m。橋面的豎向振動(dòng)測(cè)試試驗(yàn)測(cè)點(diǎn)一共有176 個(gè)，傳感器的布置如圖2所示，橋面兩側(cè)各88 個(gè)傳感器，分別位于橋吊桿和立柱處的上下游橋面上。傳感器采用中國(guó)地震局工程力學(xué)研究所生產(chǎn)的941-B 型伺服加速度傳感器。傳感器測(cè)得的環(huán)境振動(dòng)加速度信號(hào)通過放大器放大并濾波，再由32 通道東方科卡數(shù)據(jù)采集儀采集，同時(shí)將采集到的數(shù)據(jù)記錄在電腦硬盤上，采樣頻率為200 Hz。該橋的一階豎向頻率為0.623 Hz，一階扭轉(zhuǎn)頻率為1.039 Hz，二階豎向頻率為1.057 Hz［30］。

圖1 吉安大橋Fig.1 Ji′an Bridge

圖2 豎向加速度傳感器測(cè)點(diǎn)布置平面圖（單位：m）Fig.2 Vertical accelerometers placement（Unit：m）

4.2 信號(hào)重構(gòu)及數(shù)據(jù)分析

以中跨上側(cè)測(cè)點(diǎn)U81 采集的信號(hào)為例，用文中提出的方法進(jìn)行響應(yīng)壓縮重構(gòu)。信號(hào)壓縮比定義為：

式中M為壓縮信號(hào)的長(zhǎng)度，用數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)來(lái)表示，N代表原始信號(hào)的長(zhǎng)度。

重構(gòu)算法采用正交匹配追蹤法，稀疏基為傅里葉正交變換基。初始觀測(cè)矩陣選取隨機(jī)高斯矩陣。定義重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)的相對(duì)誤差ξ來(lái)衡量重構(gòu)信號(hào)精度：

ξ越小，表明重構(gòu)的精度越高。

首先a/b分別選取3/2，19/17，51/47 和101/97四組數(shù)值，研究互質(zhì)參數(shù)a/b取值不同時(shí)對(duì)壓縮感知響應(yīng)重構(gòu)精度的影響。同時(shí)也分別用10%，20%，30%，40%，50%和60%六種壓縮比進(jìn)行信號(hào)壓縮得到觀測(cè)信號(hào)。對(duì)于每組a/b數(shù)值，分別用這6種壓縮比的觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行原始信號(hào)重構(gòu)。信號(hào)重構(gòu)相對(duì)誤差如圖3所示。相同壓縮比時(shí)，重構(gòu)相對(duì)誤差隨著a/b取值的增大而減小，尤其是在低壓縮比的情況下，這種情況更加明顯，但當(dāng)a/b值大到一定程度時(shí)，繼續(xù)增加a/b值，重構(gòu)誤差減少有限，反而增加計(jì)算負(fù)擔(dān)。隨著壓縮比的不斷增加，四個(gè)情況的a/b取值對(duì)重構(gòu)誤差的影響趨于一致，表明在壓縮比較大時(shí)，a/b取值對(duì)重構(gòu)誤差的影響不大。原因是低壓縮比下，信號(hào)特征值丟失較多，較大的a/b能夠增加觀測(cè)矩陣與稀疏基的不相關(guān)性，較為明顯地改善原始信號(hào)重構(gòu)的精度，而高壓縮比下，這種改善不明顯。此外，從圖中還可以看出，壓縮比從10%增大至20%，重構(gòu)誤差會(huì)出現(xiàn)顯著降低，這是因?yàn)閴嚎s比為10%時(shí)，壓縮后的數(shù)據(jù)量過少。文獻(xiàn)［26］指出壓縮信號(hào)的長(zhǎng)度M，稀疏度k，和原始信號(hào)長(zhǎng)度N三者之間的關(guān)系需滿足M≥k×lg（N/k），才能較高精度地重構(gòu)原始信號(hào)。稀疏度取值56，當(dāng)壓縮比為10%時(shí)，觀測(cè)信號(hào)的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度小于k×lg（N/k），而壓縮比為20%時(shí)，壓縮后的數(shù)據(jù)量已經(jīng)能滿足該條件。

圖3 互質(zhì)參數(shù)a 和b 取值不同時(shí)信號(hào)重構(gòu)誤差對(duì)比Fig.3 Comparison of reconstruction error in different a/b

以a/b取值51/47 為例，圖4 展示了不同壓縮比下原始信號(hào)、未優(yōu)化觀測(cè)矩陣重構(gòu)信號(hào)和優(yōu)化觀測(cè)矩陣重構(gòu)信號(hào)的時(shí)程對(duì)比。表1 則對(duì)比了觀測(cè)矩陣優(yōu)化前后的信號(hào)重構(gòu)相對(duì)誤差。從圖4 和表1 可見，當(dāng)壓縮比在20%以上時(shí)，重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)均吻合良好；且在不同信號(hào)壓縮比下，優(yōu)化觀測(cè)矩陣重構(gòu)的信號(hào)精度高于初始觀測(cè)矩陣重構(gòu)的信號(hào)，這種優(yōu)勢(shì)在低壓縮比情況下更加明顯。

圖4 響應(yīng)信號(hào)時(shí)程對(duì)比（隨機(jī)高斯矩陣）Fig.4 Comparison of responses time history （random Gaussian matrix）

表1 觀測(cè)矩陣優(yōu)化前后的重構(gòu)誤差Tab.1 Reconstruction errors before and after measurement matrix optimization

為了測(cè)試算法穩(wěn)定性，信號(hào)重構(gòu)計(jì)算了100 次，得到隨機(jī)高斯矩陣優(yōu)化前后的信號(hào)重構(gòu)誤差標(biāo)準(zhǔn)差，如表2所示。利用優(yōu)化觀測(cè)矩陣進(jìn)行壓縮感知信號(hào)重構(gòu)的計(jì)算結(jié)果更加穩(wěn)定。

表2 重構(gòu)誤差標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)比Tab.2 Comparison of standard deviation of reconstruction errors

以a/b取值51/47，以及壓縮比20%和40%為例，圖5 展示了觀測(cè)矩陣優(yōu)化前后的重構(gòu)信號(hào)以及原始信號(hào)的傅里葉譜。從圖中可見，觀測(cè)矩陣經(jīng)過優(yōu)化后，壓縮比不論是20%還是40%，均能很好地識(shí)別到結(jié)構(gòu)的一階豎向頻率0.623 Hz、一階扭轉(zhuǎn)頻率1.039 Hz 和二階豎向頻率1.057 Hz，跟原始信號(hào)的頻譜吻合良好，頻譜出現(xiàn)的其他幾個(gè)峰值均能準(zhǔn)確對(duì)應(yīng)。相比之下，觀測(cè)矩陣未經(jīng)優(yōu)化，重構(gòu)信號(hào)的頻譜出現(xiàn)較多峰值的誤判；當(dāng)壓縮比為20%時(shí)，未能識(shí)別到一階豎向頻率、一階扭轉(zhuǎn)頻率和二階豎向頻率；當(dāng)壓縮比為40%時(shí)，識(shí)別精度雖有改善，能捕捉到一階扭轉(zhuǎn)頻率和二階豎向頻率，但一階豎向頻率的識(shí)別存在誤差。

圖5 傅里葉譜（隨機(jī)高斯矩陣）Fig.5 Fourier spectrum（random Gaussian matrix）

a/b取值51/47，觀測(cè)矩陣分別改用伯努利矩陣和稀疏隨機(jī)矩陣，驗(yàn)證優(yōu)化觀測(cè)矩陣方法的適用性。圖6 為使用這兩種觀測(cè)矩陣，優(yōu)化后和未優(yōu)化進(jìn)行壓縮感知信號(hào)重構(gòu)的相對(duì)誤差對(duì)比。從圖中可見，不論觀測(cè)矩陣是伯努利矩陣還是稀疏隨機(jī)矩陣，觀測(cè)矩陣經(jīng)過優(yōu)化后，信號(hào)重構(gòu)的精度均高于未優(yōu)化的重構(gòu)結(jié)果，且壓縮比大于20%后，重構(gòu)相對(duì)誤差在0.1 以下，結(jié)論與前面觀測(cè)矩陣采用隨機(jī)高斯矩陣一致。

圖6 不同觀測(cè)矩陣優(yōu)化前后的重構(gòu)誤差Fig.6 Reconstruction errors of different measurement matrix

5 結(jié)論

本文引入壓縮感知理論，降低橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的采集量，針對(duì)橋梁環(huán)境振動(dòng)測(cè)量信號(hào)具有稀疏性差和噪聲干擾大的特點(diǎn)，優(yōu)化觀測(cè)矩陣，增加觀測(cè)矩陣和稀疏基的不相關(guān)性，改善動(dòng)力響應(yīng)信號(hào)壓縮感知重構(gòu)的精度，解決橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)采集海量數(shù)據(jù)帶來(lái)數(shù)據(jù)傳輸和存儲(chǔ)成本大的問題，用少量的采樣數(shù)據(jù)恢復(fù)較為準(zhǔn)確的原始信號(hào)。論文的主要工作和結(jié)論總結(jié)如下：

（1）構(gòu)造了一個(gè)列向量不相關(guān)的優(yōu)化矩陣，采用移動(dòng)窗技術(shù)優(yōu)化觀測(cè)矩陣，并用于后續(xù)的壓縮感知信號(hào)重構(gòu)；

（2）采用吉安大橋的現(xiàn)場(chǎng)環(huán)境振動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證基于壓縮感知的橋梁動(dòng)力響應(yīng)信號(hào)重構(gòu)的可行性和有效性。研究結(jié)果表明壓縮感知重構(gòu)信號(hào)不論在時(shí)域還是頻域均能與原始信號(hào)吻合良好；

（3）利用優(yōu)化觀測(cè)矩陣重構(gòu)的信號(hào)精度高于初始觀測(cè)矩陣重構(gòu)的信號(hào)，尤其是在低壓縮比情況下；

（4）觀測(cè)矩陣優(yōu)化方法可以適用于隨機(jī)高斯矩陣，伯努利矩陣和稀疏隨機(jī)矩陣，具有較大的適用范圍。