貝葉斯方法在大跨度斜拉橋模態(tài)參數(shù)識別中的應(yīng)用研究

楊朝勇，茅建校，王 浩，張一鳴

（東南大學(xué)混凝土與預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點實驗室，江蘇南京 211189）

引言

模態(tài)參數(shù)是開展橋梁振動控制、狀態(tài)評估和損傷診斷的重要依據(jù)，在橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測中發(fā)揮著關(guān)鍵作用［1］。在運營結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識別中，由于材料的離散性、模型誤差以及測試噪聲等原因，分析結(jié)果不可避免地具有不確定性［2］。大跨度橋梁屬于典型的低頻密集模態(tài)結(jié)構(gòu)，相比于一般結(jié)構(gòu)更加難以準(zhǔn)確地獲取其模態(tài)參數(shù)［3］。尤其是沿海地區(qū)的大跨度橋梁，時常受到臺風(fēng)等極端天氣襲擊，其動力性能面臨的不確定因素更加顯著［4］。因此，為了給大跨度橋梁健康監(jiān)測提供穩(wěn)定可靠的分析依據(jù)，有效評估模態(tài)識別結(jié)果的不確定性至關(guān)重要［5］。

貝葉斯方法是近些年興起的一種不確定性分析技術(shù)。該方法認(rèn)為識別結(jié)果的不確定性與模態(tài)參數(shù)在給定的振動數(shù)據(jù)和假設(shè)模型下的條件概率密度函數(shù)（PDF）有關(guān)［1］，因此可以根據(jù)概率模型中的最大概率值（MPV）與協(xié)方差矩陣進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別與不確定性量化。目前，在貝葉斯理論框架下已經(jīng)發(fā)展出了多種模態(tài)參數(shù)識別方法［6-8］。其中，Au［9］提出的快速貝葉斯快速傅里葉變換（FBFFT）法受到了廣泛的關(guān)注。該方法簡化了模態(tài)參數(shù)似然函數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，避免了目標(biāo)函數(shù)維度過高導(dǎo)致求解困難的問題。此外，F(xiàn)BFFT 法在分離模態(tài)［10］和密集模態(tài)［11］下均能取得良好的識別結(jié)果，能夠適用于各種土木工程結(jié)構(gòu)的動力特性分析［12-13］。

根據(jù)目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化求解MPV 是貝葉斯模態(tài)參數(shù)識別方法的關(guān)鍵，確保該過程的穩(wěn)定性和計算效率至關(guān)重要。遺傳算法是一種不依賴目標(biāo)函數(shù)梯度信息的啟發(fā)式智能優(yōu)化算法，能夠很好地適應(yīng)高維度、多參數(shù)的優(yōu)化問題［14］。應(yīng)用遺傳算法求解最優(yōu)模態(tài)參數(shù)，可有效地提升模態(tài)參數(shù)識別的穩(wěn)定性與可靠性［15］。但相比于牛頓迭代法、梯度下降法等傳統(tǒng)優(yōu)化算法，遺傳算法對計算機算力要求較高［16］。因此，要將遺傳算法與貝葉斯方法結(jié)合，仍需針對兩者特點研究相應(yīng)的加速策略，以滿足大跨度橋梁運營模態(tài)分析對計算效率的要求。

鑒于上述問題，本文結(jié)合FBFFT 法和遺傳算法發(fā)展了一種考慮不確定性的大跨度橋梁模態(tài)參數(shù)識別方法。該方法在FBFFT 法中引入遺傳算法搜尋最優(yōu)參數(shù)，并基于高信噪比假設(shè)［17］建立漸進(jìn)估計區(qū)間，以進(jìn)一步提升橋梁模態(tài)參數(shù)識別與不確定性量化的效率與可靠性。本文首先利用一個6 自由度懸臂梁模型驗證上述方法的識別精度與效率；然后以蘇通大橋為例開展大跨度斜拉橋的模態(tài)參數(shù)識別與不確定性評估，并在此基礎(chǔ)上分析頻帶寬度系數(shù)對識別結(jié)果的影響以及模態(tài)參數(shù)PDF 的分布特征。

1 基于貝葉斯-遺傳算法的模態(tài)參數(shù)識別方法

1.1 FBFFT 法

具有n個通道的一組實測加速度信號可以表示為系統(tǒng)真實響應(yīng)與預(yù)測誤差的和，即：

式中xj=｛x1j，x2j，…，xnj｝表示實測信號；yj=｛y1j，y2j，…，ynj｝表示受模態(tài)參數(shù)θ影響的實際振動信號，其中θ包含頻率f、阻尼比ζ、模態(tài)力功率譜密度Sl、預(yù)測誤差功率譜密度Se以及振型向量Φ；ej=｛e1j，e2j，…，enj｝表示預(yù)測誤差；j=1，…，N，N為樣本數(shù)量。xj的傅里葉變換可表示為：

式中Rk與Gk分別表示Xk的實部與虛部；Δt是采樣時間間隔；Xk實質(zhì)是對xj的快速傅里葉變換（FFT）進(jìn)行倍縮放，因此Xk又被稱為縮放FFT（Scaled FFT，SFFT）。

Rk與Gk構(gòu)成的隨機向量k=2，…，Nq，Nq=int（N/2）+1｝服從零均值多元高斯分布，且各頻率點間相互獨立［6］。因此，θ的似然函數(shù)可表示為：

式中Ck為Yk的協(xié)方差矩陣，可表示為：

式中 I2n為2n×2n階的單位矩陣；βk=f/fk，fk表示Yk對應(yīng)的頻率。

根據(jù)貝葉斯定理，θ關(guān)于Yk的后驗PDF，p（θ|｛Yk｝）與p（｛Yk｝|θ）之間滿足如下關(guān)系：

式中p（θ）是關(guān)于θ的先驗PDF，一般視為常數(shù)。

忽略常數(shù)項，上式可進(jìn)一步用對數(shù)似然函數(shù)表示為：

模態(tài)參數(shù)的MPV 可通過求解式（8）的對數(shù)似然函數(shù)的最小值確定。

1.2 遺傳算法與漸進(jìn)估計區(qū)間

遺傳算法以目標(biāo)值的適應(yīng)度作為個體優(yōu)劣性的評價指標(biāo)，并按一定概率隨機執(zhí)行個體的選擇、交叉與變異，從而在不斷迭代更新的種群中搜尋最優(yōu)參數(shù)。該方法具有突出的全局尋優(yōu)能力與穩(wěn)定性，能夠很好地處理高維空間參數(shù)優(yōu)化問題。因此，本文將遺傳算法引入FBFFT 法中開展對數(shù)似然函數(shù)優(yōu)化，以確保模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果的準(zhǔn)確性。

參數(shù)優(yōu)化過程的收斂速度對模態(tài)參數(shù)識別至關(guān)重要。遺傳算法雖然具有較好的魯棒性，但相比于梯度下降法、牛頓迭代法等傳統(tǒng)優(yōu)化算法該方法計算效率較低［18］。因此，為了克服遺傳算法收斂速度上的不足，本文引入高信噪比假設(shè)建立漸進(jìn)估計區(qū)間。把遺傳算法參數(shù)搜索范圍約束到最優(yōu)值附近，從而加快模態(tài)參數(shù)識別效率。

根據(jù)文獻(xiàn)［10］，當(dāng)結(jié)構(gòu)振動信號的信噪比很高時，振型向量Φ可由矩陣A0的最大特征值λ0對應(yīng)的特征向量漸進(jìn)估計：

預(yù)測誤差與模態(tài)力功率譜密度可按下式估計：

式中Nf表示提取出的SFFT 樣本數(shù)量。

當(dāng)對數(shù)似然函數(shù)L（θ）關(guān)于｛Φ，Se，Sl｝最小化后可進(jìn)一步被簡化為如下形式：

由于環(huán)境等因素，橋梁結(jié)構(gòu)振動監(jiān)測數(shù)據(jù)中往往混有大量噪聲，難以滿足高信噪比條件。本文雖然利用高信噪比假設(shè)約束了遺傳算法的參數(shù)搜索空間，但由于優(yōu)化模型中并未考慮高信噪比假設(shè)，最終結(jié)果中并不包含任何漸進(jìn)估計成分。因此，該方法能夠用于大跨度橋梁健康監(jiān)測數(shù)據(jù)的分析。

1.3 后驗不確定性

在足夠大的數(shù)據(jù)量下，后驗PDF 可用一個等價于L（θ）二階導(dǎo)數(shù)的高斯PDF 漸進(jìn)估計［17］。特別地，將L（θ）在處二階泰勒展開有：

由式（13）可知，L（θ）的Hessian 矩陣等于協(xié)方差矩陣C的逆矩陣。研究表明［9］，L（θ）在振型向量Φ的方向上導(dǎo)數(shù)為零，Hessian 矩陣必然存在對應(yīng)特征向量是［0 0 0 0ΦT］的零特征值。因此，Hessian矩陣不可逆。

假設(shè)｛λ1，λ2，λ3，…，λn+4｝是Hessian 矩陣的特征向量｛v1，v2，v3，…，vn+4｝所對應(yīng)的特征值。令λ1=0，忽略該零特征值項。根據(jù)Hessian 矩陣的實對稱矩陣特性，Hessian 矩陣的逆矩陣，即后驗協(xié)方差矩陣可由下式計算：

得到協(xié)方差矩陣后，模態(tài)參數(shù)的不確定性可由對應(yīng)的變異系數(shù)（c.o.v=標(biāo)準(zhǔn)差/MPV）量化。此外，振型的不確定性可用下式表示：

ρ被稱為期望模態(tài)置信準(zhǔn)則（MAC）［19］，ρ越接近于1，振型的不確定性越低；γ表示協(xié)方差矩陣中關(guān)于振型向量的n階方陣的特征值（忽略i=1 對應(yīng)的零特征值項）。

1.4 計算流程

為便于表達(dá)，將所使用的方法統(tǒng)稱為貝葉斯-遺傳算法。首先對加速度信號進(jìn)行SFFT 變換，然后以頻譜峰值為中心按f0（1±0.01κ）的寬度選擇樣本數(shù)據(jù)。f0表示頻譜峰值對應(yīng)的頻率，可按功率譜密度（PSD）譜或奇異值（SV）譜峰值確定；κ為頻帶寬度系數(shù)。在獲得樣本數(shù)據(jù)后，便可利用貝葉斯-遺傳算法識別各模態(tài)參數(shù)并量化其不確定性。主要的計算流程如圖1所示，其中貝葉斯-遺傳算法優(yōu)化模型的種群個體數(shù)為50，交叉與變異概率分別為0.7與0.01。

圖1 計算流程圖Fig.1 Flowchart of calculation

2 數(shù)值算例

本節(jié)采用6 自由度懸臂梁模型驗證貝葉斯-遺傳算法的識別精度與效率，如圖2所示。該模型所有質(zhì)點的質(zhì)量均為1000 t，質(zhì)點間的豎向剪切剛度為750×103kN/m，且各階模態(tài)阻尼比均為0.05。懸臂梁模型前三階模態(tài)的自振頻率理論值分別為1.05，3.09 和4.95 Hz，本節(jié)對此三階模態(tài)進(jìn)行參數(shù)識別。以高斯白噪聲為激勵計算懸臂梁模型的加速度響應(yīng)，采樣頻率為50 Hz。在每個質(zhì)點處采集到65536 個加速度數(shù)據(jù)，并在其中添加均方根為無噪聲模擬數(shù)據(jù)20%的高斯白噪聲模擬預(yù)測誤差。

圖2 6 自由度懸臂梁Fig.2 Cantilever beam with 6-DOF

懸臂梁模型的模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果與對應(yīng)的理論值如表1 與圖3所示。此處還采用頻域分解（FDD）法進(jìn)行了振型識別，以對比兩種方法的識別精度。由表1 與圖3 可知，F(xiàn)BFFT 法識別的各模態(tài)參數(shù)與理論值十分接近，僅存在微小的誤差。由FBFFT法識別的振型與理論振型吻合良好，且各階振型的ρ都近似于1，振型不確定性較小。FDD 法識別出的振型同樣具有較高精度，但相比之下，F(xiàn)BFFT 法識別振型的MAC 值比FDD 法識別振型的MAC 值更接近于1，F(xiàn)BFFT 法精度更高。

表1 數(shù)值模型參數(shù)識別結(jié)果Tab.1 Model parameters identified results of numerical model

圖3 懸臂梁振型識別結(jié)果對比Fig.3 Comparison of mode shapes identified result

為驗證漸進(jìn)估計區(qū)間對提升模態(tài)參數(shù)識別效率的有效性，利用不同方法對一階模態(tài)對數(shù)似然函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，計算迭代過程如圖4所示。其中大區(qū)間搜索遺傳算法不使用漸進(jìn)估計區(qū)間，而是在包含了可能模態(tài)參數(shù)值的大區(qū)間內(nèi)搜尋最優(yōu)值。該區(qū)間根據(jù)經(jīng)驗確定，本節(jié)頻率區(qū)間設(shè)為［0.8f0，1.2f0］，阻尼比區(qū)間設(shè)為［0.5%，7.5%］，模態(tài)力功率譜密度與預(yù)測誤差譜密度區(qū)間均設(shè)為［0，0.5 m2/（s4·Hz）］。Nelder-Mead 法是一種能夠很好地適應(yīng)多參數(shù)優(yōu)化問題的局部尋優(yōu)算法，在適當(dāng)?shù)某踔迪戮哂芯雀摺⒂嬎憧斓奶攸c。該方法在FBFFT 法中的迭代初值可參見文獻(xiàn)［10］。

由圖4 可知，在漸進(jìn)估計區(qū)間尋優(yōu)的遺傳算法能夠很快收斂，而Nelder-Mead 法的迭代次數(shù)略多于漸進(jìn)估計區(qū)間搜索遺傳算法。相較于漸進(jìn)估計區(qū)間搜索遺傳算法與Nelder-Mead 法，大區(qū)間搜索遺傳算法計算速度明顯變慢，需要更多迭代次數(shù)。在迭代次數(shù)達(dá)到100 時，漸進(jìn)估計區(qū)間搜索遺傳算法與Nelder-Mead 法早已收斂，但大區(qū)間搜索遺傳算法仍未到達(dá)最優(yōu)值。因此，高信噪比漸進(jìn)估計區(qū)間能夠有效提升模態(tài)參數(shù)識別效率，并避免遺傳算法陷入局部最優(yōu)解。需說明的是，此處僅考慮了單個模態(tài)下的參數(shù)優(yōu)化，各方法計算耗時均較短。因此，本節(jié)沒有進(jìn)行詳細(xì)的計算時長對比。

圖4 不同優(yōu)化方法迭代過程Fig.4 Iterative process of different optimization methods

3 大跨度斜拉橋模態(tài)參數(shù)識別

蘇通大橋主跨長度1088 m，是世界首座千米級斜拉橋。該橋建立了全面的健康監(jiān)測系統(tǒng)，其中主梁加速度傳感器的布置如圖5所示。每個傳感器布置截面均包含左右幅兩個豎向加速度傳感器，采樣頻率為20 Hz。本節(jié)采用安裝于主跨的5 對加速度傳感器（ACC-3#～ACC-7#）的監(jiān)測數(shù)據(jù)開展蘇通大橋運營模態(tài)分析，每個通道的樣本數(shù)量為72000。

圖5 蘇通大橋主梁加速度傳感器布置（單位：m）Fig.5 Layout of accelerometer on main beam of Sutong Bridge（Unit：m）

樣本數(shù)據(jù)的PSD 譜與SV 譜如圖6所示，其中，圖6（a）中不同顏色曲線表示不同通道輸出的加速度數(shù)據(jù)PSD，圖6（b）中不同顏色曲線表示加速度數(shù)據(jù)PSD 矩陣的不同階特征值，為節(jié)省篇幅，本節(jié)僅對該圖中標(biāo)記的4 階豎彎模態(tài)進(jìn)行識別。取頻帶寬度系數(shù)κ=10，蘇通大橋的模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果如表2與圖7所示。由對應(yīng)的結(jié)果可知，阻尼比與模態(tài)力功率譜密度不確定性較高，而頻率與振型的不確定性相對較低。大跨度橋梁承受的車載、風(fēng)載等激勵在足夠長的時間段內(nèi)往往會表現(xiàn)出明顯的非平穩(wěn)性，無法滿足高斯白噪聲假設(shè)［20］。此外，橋梁結(jié)構(gòu)阻尼比在不同的外部環(huán)境、荷載條件下存在顯著的變異性，難以準(zhǔn)確識別［21］。可能正是上述原因?qū)е铝四B(tài)力功率譜和阻尼比的不確定性偏大。

圖6 樣本數(shù)據(jù)功率譜密度與奇異值譜Fig.6 Power spectral density and singular value spectrum

表2 模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果Tab.2 Identified modal parameters

圖7 振型識別結(jié)果Fig.7 Identified mode shapes

頻率與阻尼比是橋梁結(jié)構(gòu)重要的動力特性，也是模態(tài)參數(shù)識別中首要考慮的對象。因此，為分析頻帶寬度系數(shù)κ對模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果的影響，本節(jié)計算了不同κ值對應(yīng)的頻率、阻尼比及其變異系數(shù)，如圖8 和9所示。圖中頻率、阻尼比的參考值來源于文獻(xiàn)［4］。由圖8 和9 可知，隨著κ的增大，識別結(jié)果與參考值的差異逐漸增大。第四階頻率與第三、四階阻尼比受κ的影響最為明顯，當(dāng)κ大于12 后，識別值明顯偏離參考值?？傮w上，c.o.v 隨著κ的增大逐漸減小。但當(dāng)κ增大到一定程度后，c.o.v 也可能表現(xiàn)出增大的趨勢。上述結(jié)果表明，在一定范圍內(nèi)增大κ值有利于降低模態(tài)參數(shù)的不確定性，但當(dāng)κ超過該范圍后識別誤差將逐漸增大，c.o.v 的變化也可能出現(xiàn)異常。

圖8 模態(tài)參數(shù)MPV 隨頻帶寬度系數(shù)的變化趨勢Fig.8 Effect of bandwidth factor on MPV of modal parameters

圖9 模態(tài)參數(shù)c.o.v 隨頻帶寬度系數(shù)的變化趨勢Fig.9 Effect of bandwidth factor on c.o.v of modal parameters

上述現(xiàn)象發(fā)生的原因主要包含兩方面［22］：一方面隨著κ的增大，樣本數(shù)據(jù)量增大，樣本能夠提供更多的模態(tài)信息，有利于降低識別結(jié)果的不確定性；另一方面隨著κ的增大樣本中可能包含的其他模態(tài)信息也越多，模態(tài)分布越密集、頻譜響應(yīng)越微弱該現(xiàn)象就越突出（如第四階模態(tài)），進(jìn)而導(dǎo)致識別結(jié)果出現(xiàn)較大的誤差。因此，在選擇κ時應(yīng)充分考慮頻譜分布情況，并避免選擇過大的κ值。從圖8 和9看，κ在5 到10 之間時，既能確保模態(tài)參數(shù)的MPV具有較小的誤差，又能讓變異系數(shù)不至于過大且分布穩(wěn)定［19］。

圖10 展示了一階模態(tài)各參數(shù)后驗PDF 的分布情況，其中實線表示以各參數(shù)的MPV 為期望、Hessian 矩陣的逆矩陣為協(xié)方差矩陣擬合的高斯PDF，而虛線是式（7）所示的似然函數(shù)在各參數(shù)方向上的抽樣。由圖中可知，高斯PDF 與模態(tài)參數(shù)的概率分布吻合良好，表明在不確定性量化時利用高斯PDF代替參數(shù)的后驗PDF 計算協(xié)方差矩陣是合理可行的［8］。

圖10 模態(tài)參數(shù)后驗概率密度函數(shù)Fig.10 Posterior PDF of modal parameters

4 結(jié)論

（1）將FBFFT 法與遺傳算法結(jié)合，并利用漸進(jìn)估計區(qū)間約束參數(shù)搜索范圍，能夠高效準(zhǔn)確地識別大跨度斜拉橋的各階模態(tài)參數(shù)。

（2）模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果中，阻尼比與模態(tài)力功率譜密度表現(xiàn)出較大的不確定性，而頻率與振型的不確定性相對較小。

（3）選擇頻帶寬度系數(shù)時應(yīng)適當(dāng)考慮頻譜分布特征，并將其限制在5 與10 之間以確保識別誤差與不確定性的平衡。

（4）通過似然函數(shù)抽樣建立的模態(tài)參數(shù)后驗PDF 與高斯?jié)u進(jìn)結(jié)果高度吻合，符合模態(tài)參數(shù)的后驗PDF 可用高斯PDF 代替的假設(shè)。