橋梁耦合極值應(yīng)力的貝葉斯動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)

戈 壁，王佐才，2，辛 宇，3，李 舒，丁雅杰，孫曉彤

（1.合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，安徽合肥 230009；2.土木工程防災(zāi)減災(zāi)安徽省工程技術(shù)研究中心，安徽合肥 230009；3.安徽省基礎(chǔ)設(shè)施安全檢測(cè)與監(jiān)測(cè)工程實(shí)驗(yàn)室，安徽合肥 230009；4.清華大學(xué)合肥公共安全研究院，安徽合肥 230601）

引言

隨著橋梁健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)在實(shí)際工程中的普及，系統(tǒng)能夠?qū)崟r(shí)監(jiān)測(cè)橋梁結(jié)構(gòu)在服役期內(nèi)的響應(yīng)及變形［1-3］。其中，在環(huán)境及荷載作用下結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生的應(yīng)力反映了結(jié)構(gòu)局部的受力狀態(tài)，同時(shí)也是結(jié)構(gòu)安全運(yùn)營(yíng)狀態(tài)的重要指標(biāo)之一。因此，應(yīng)力監(jiān)測(cè)在橋梁健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中具有十分重要的地位。應(yīng)力監(jiān)測(cè)可分為監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的收集和應(yīng)用兩個(gè)部分。經(jīng)過(guò)幾十年的研發(fā)，數(shù)據(jù)收集技術(shù)都已相對(duì)成熟［4-6］。目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究主要集中在基于歷史監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的應(yīng)用方面，并在橋梁結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別［7-9］、荷載效應(yīng)分析建模［10］、模態(tài)參數(shù)識(shí)別［11］等方面取得了一定的成果。然而，在基于橋梁極值應(yīng)力監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)安全性能評(píng)估與預(yù)測(cè)方面還有待發(fā)展。橋梁極值應(yīng)力蘊(yùn)含著結(jié)構(gòu)安全性能的重要信息，對(duì)極值應(yīng)力進(jìn)行分析以及動(dòng)態(tài)預(yù)估，不但能夠動(dòng)態(tài)、直觀地反映在役橋梁運(yùn)營(yíng)狀況下的極值應(yīng)力狀態(tài)，為橋梁結(jié)構(gòu)的維護(hù)與養(yǎng)護(hù)提供重要依據(jù)，而且能夠?yàn)闃蛄旱膭?dòng)態(tài)安全性能評(píng)估提供理論依據(jù)。因此，如何合理地利用海量歷史監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的動(dòng)態(tài)預(yù)估是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)目前亟需解決的關(guān)鍵問(wèn)題。

目前，基于實(shí)際監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)預(yù)估已經(jīng)有了一些研究。例如，馮海月等［12］基于廣義Pareto 分布提出了一種改進(jìn)的獨(dú)立風(fēng)暴法，可較好地預(yù)測(cè)車(chē)輛荷載效應(yīng)。陽(yáng)霞等［13-14］改進(jìn)了廣義Pareto 分布模型的閾值選取方法，并可利用實(shí)際監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)建立具有一定規(guī)律的概率統(tǒng)計(jì)模型。研究表明改進(jìn)后的概率統(tǒng)計(jì)模型能夠更好地?cái)M合出由車(chē)輛荷載引起的橋梁應(yīng)變右尾分布，結(jié)合極值統(tǒng)計(jì)理論能夠?qū)蛄菏Ｓ喾燮趦?nèi)的應(yīng)變極值進(jìn)行估計(jì)。Fan 等［15］提出可利用極值應(yīng)力監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)以及高斯混合粒子濾波器實(shí)現(xiàn)橋梁極值應(yīng)力的動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)。但是，由于極值應(yīng)力是多種荷載效應(yīng)的耦合，直接對(duì)耦合監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合以及動(dòng)態(tài)預(yù)估，其效果并不理想。近年來(lái)，由于貝葉斯動(dòng)態(tài)模型可結(jié)合監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的客觀信息和主觀信息，能夠?qū)蛄簶O值應(yīng)力進(jìn)行有效預(yù)測(cè)，使該方法得到了長(zhǎng)足的發(fā)展［16-17］。Ni 等認(rèn)為在役橋梁由于承受了多種荷載才導(dǎo)致應(yīng)變/應(yīng)力響應(yīng)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的多模態(tài)性。為了更好地預(yù)測(cè)耦合極值應(yīng)力，分別提出了一種具有較強(qiáng)非平穩(wěn)動(dòng)態(tài)過(guò)程建模能力的貝葉斯動(dòng)態(tài)線性模型［18］和一種參數(shù)貝葉斯混合模型［19］。通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證，改進(jìn)后的模型對(duì)極值應(yīng)力的預(yù)測(cè)精度具有一定程度地提高。Liu等［20］考慮到監(jiān)測(cè)得到的耦合極值應(yīng)力是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)與平穩(wěn)數(shù)據(jù)的耦合，提出了一種利用局部多項(xiàng)式理論建立的貝葉斯動(dòng)態(tài)線性趨勢(shì)模型。該模型能有效地減小監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中非平穩(wěn)趨勢(shì)項(xiàng)對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響，并隨著預(yù)測(cè)模型參數(shù)的更新，橋梁耦合極值應(yīng)力的預(yù)測(cè)結(jié)果越來(lái)越合理。樊學(xué)平等［21］則將橋梁耦合極值應(yīng)力簡(jiǎn)單分為具有趨勢(shì)性的溫度荷載效應(yīng)和具有隨機(jī)性的車(chē)輛荷載效應(yīng)并提出了基于解耦極值應(yīng)力的動(dòng)態(tài)耦合線性模型。模型首先使用簡(jiǎn)單的移動(dòng)平均法數(shù)據(jù)解耦，再分別建立貝葉斯動(dòng)態(tài)耦合線性模型并進(jìn)行極值應(yīng)力預(yù)測(cè)分析。樊學(xué)平等［22］認(rèn)為由于監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)具有動(dòng)態(tài)性、隨機(jī)性以及周期性等特點(diǎn)，因此可利用Fourier 函數(shù)對(duì)初始應(yīng)力狀態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，進(jìn)而運(yùn)用Fourier 動(dòng)態(tài)線性模型并對(duì)橋梁極值應(yīng)力進(jìn)行預(yù)測(cè)。從上述研究可以看出，基于貝葉斯方法的動(dòng)態(tài)模型能夠?qū)蛄簶O值應(yīng)力進(jìn)行動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，并且利用解耦極值應(yīng)力數(shù)據(jù)，可使預(yù)測(cè)模型精度進(jìn)一步提升。

由于橋梁耦合極值應(yīng)力主要受到溫度荷載效應(yīng)、車(chē)輛荷載效應(yīng)和風(fēng)荷載效應(yīng)等的影響，因此橋梁極值應(yīng)力監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的解耦方法通常按照所受荷載類別進(jìn)行解耦并分類，這就使得解耦數(shù)據(jù)仍可能是多階模態(tài)響應(yīng)的耦合。這樣，利用解耦數(shù)據(jù)建立的貝葉斯動(dòng)態(tài)模型依然存在著模型相對(duì)復(fù)雜，不能很好地體現(xiàn)橋梁極值應(yīng)力周期性、隨機(jī)性等數(shù)據(jù)特點(diǎn)的問(wèn)題。為了解決上述問(wèn)題，本文引入了Hilbert 信號(hào)分解以及解調(diào)技術(shù)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行解耦。該方法不但能夠?qū)哂忻芗B(tài)與頻率疊混的非平穩(wěn)結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行有效分解，而且能夠很好地保存信號(hào)幅度、頻率和相位的信息［23-25］。同時(shí)，在得到單分量極值應(yīng)力數(shù)據(jù)后，即可利用Hilbert 信號(hào)解調(diào)技術(shù)，回歸得到狀態(tài)變量函數(shù)的參數(shù)，建立單分量極值應(yīng)力數(shù)據(jù)的Hilbert 動(dòng)態(tài)線性模型（Hilbert Dynamic Linear Model，HDLM）。隨后，利用貝葉斯方法對(duì)模型進(jìn)行概率遞推，實(shí)現(xiàn)單分量極值應(yīng)力的動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)。將各階單分量極值應(yīng)力預(yù)測(cè)值進(jìn)行相加即可得到橋梁耦合極值應(yīng)力的動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)值。最后，利用在役橋梁一年的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)本文所提方法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 橋梁耦合極值應(yīng)力的動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)

橋梁健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)在長(zhǎng)期運(yùn)營(yíng)期間可以監(jiān)測(cè)大量的應(yīng)力信息，而結(jié)構(gòu)的應(yīng)力響應(yīng)則反映了諸多荷載（如溫度荷載，車(chē)輛荷載，風(fēng)荷載等）作用下結(jié)構(gòu)的內(nèi)部特征。因此，橋梁結(jié)構(gòu)的應(yīng)力響應(yīng)具有復(fù)雜的耦合性。為了更好地動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)橋梁耦合極值應(yīng)力，本文首先建立了單分量極值應(yīng)力的HDLM，進(jìn)而提出了BHDLM。其中，HDLM 由監(jiān)測(cè)方程與狀態(tài)方程組成，狀態(tài)變量表示了監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，而狀態(tài)方程則描述了狀態(tài)變量如何隨時(shí)間變化，監(jiān)測(cè)方程描述了監(jiān)測(cè)變量與狀態(tài)變量之間的關(guān)系。其中，預(yù)測(cè)模型的主要流程如圖1所示。

從圖1 流程圖中可以看出，在數(shù)據(jù)解耦過(guò)程中，定義時(shí)間區(qū)間（t-1，t］內(nèi)，監(jiān)測(cè)的最大應(yīng)力為橋梁耦合極值應(yīng)力Yt，并將監(jiān)測(cè)得到的極值應(yīng)力數(shù)據(jù)視為一個(gè)時(shí)間序列。在得到Y(jié)t后，首先利用了Hilbert信號(hào)分解技術(shù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行解耦［23-26］，得到有限多個(gè)具有單一頻率成分的單分量極值應(yīng)力數(shù)據(jù)yi，t。隨后，基于Hilbert 平方解調(diào)算法（Hilbert Square Demodulation，HSD）回歸得到各階單分量極值應(yīng)力數(shù)據(jù)yi，t的HDLM。一旦建立了單分量極值應(yīng)力的HDLM，即可通過(guò)貝葉斯方法對(duì)模型中的參數(shù)實(shí)現(xiàn)概率遞推，實(shí)現(xiàn)對(duì)極值應(yīng)力的動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，進(jìn)而可得到橋梁耦合極值應(yīng)力的動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)結(jié)果。

圖1 橋梁耦合極值應(yīng)力預(yù)測(cè)模型流程圖Fig.1 The flowchart of the prediction model for bridge coupled extreme stress

2 單分量極值應(yīng)力的HDLM 及參數(shù)確定

2.1 橋梁極值應(yīng)力解耦

直接利用耦合極值應(yīng)力進(jìn)行建模與預(yù)測(cè)，不但增加了極值應(yīng)力以及預(yù)測(cè)模型的復(fù)雜性，而且不利于應(yīng)力預(yù)測(cè)的精度［20-21］。因此，為了減小監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的復(fù)雜性，滿足建立預(yù)測(cè)模型的需要，對(duì)極值應(yīng)力進(jìn)行解耦應(yīng)是HDLM 建模過(guò)程中的必要步驟。

在以往的研究中，橋梁耦合極值應(yīng)力被認(rèn)為是多種荷載效應(yīng)的耦合，因此解耦過(guò)程中通常按荷載效應(yīng)類型進(jìn)行分類。一般利用簡(jiǎn)單移動(dòng)平均、二次移動(dòng)平均等擬合算法，即可得到結(jié)構(gòu)監(jiān)測(cè)應(yīng)力的趨勢(shì)項(xiàng)。趨勢(shì)項(xiàng)的均值可看作結(jié)構(gòu)自重荷載效應(yīng)，而除去均值的趨勢(shì)項(xiàng)因其具有較為明顯的周期性，可認(rèn)為是環(huán)境溫度作用下的荷載效應(yīng)。監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)與趨勢(shì)項(xiàng)的差值則被認(rèn)為與車(chē)輛荷載效應(yīng)和風(fēng)荷載效應(yīng)相關(guān)?？梢钥闯錾鲜鼋怦钸^(guò)程雖然步驟簡(jiǎn)單、便于實(shí)現(xiàn)，但過(guò)程中存在著經(jīng)驗(yàn)成分，因此解耦過(guò)程并不十分充分。

根據(jù)模態(tài)疊加理論，結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)可表示為各階模態(tài)貢獻(xiàn)之和。如果只考慮結(jié)構(gòu)某一方向的正應(yīng)變，則應(yīng)變與位移之間存在如下關(guān)系式：

式中ε為正應(yīng)變；φi為第i階的位移模態(tài)振型；qi為模態(tài)坐標(biāo)。而應(yīng)力與應(yīng)變?cè)谝欢ǖ谋壤龢O限范圍內(nèi)可視為線性關(guān)系。則Yt同樣可以表示為具有n個(gè)有效頻率ωi（i=1，2，…，n）成分耦合的實(shí)數(shù)時(shí)間序列。為了能夠充分解耦，得到具有單一頻率成分的單分量極值應(yīng)力數(shù)據(jù)。本文提出利用Hilbert 信號(hào)分解算法對(duì)橋梁耦合極值應(yīng)力進(jìn)行分解［23-26］。一旦確定了Yt中的頻率，即可利用Hilbert 變換的信號(hào)分解算法對(duì)Yt進(jìn)行解耦，分解成n個(gè)具有單一頻率的單分量成分yi，t（i=1，2，…，n）。則極值應(yīng)力Yt可進(jìn)一步表示為：

2.2 單分量極值應(yīng)力解調(diào)

在利用Hilbert 信號(hào)分解算法將橋梁耦合極值應(yīng)力Yt分解為有限多個(gè)單分量極值應(yīng)力yi，t后，可進(jìn)一步利用HSD 算法對(duì)yi，t進(jìn)行解調(diào)，回歸得到狀態(tài)變量θi，t的函數(shù)。HSD 算法是一種針對(duì)具有單一頻率成分?jǐn)?shù)據(jù)的解調(diào)算法，其原理可簡(jiǎn)單概述如下［27］：

假設(shè)單分量極值應(yīng)力數(shù)據(jù)yi，t的回歸函數(shù)θi，t可簡(jiǎn)化為：

式中Ai，Bi，Di，ωγ，i以及ωi均為回歸系數(shù)。首先，構(gòu)建yi，t的解析信號(hào)Zi，t：

式中 H［·］為Hilbert 變換算子。則回歸函數(shù)θi，t中的li，t可表示為：

聯(lián)立公式（3）和（5），可進(jìn)一步得到hi，t：

其中，為了減小單分量極值應(yīng)力數(shù)據(jù)中噪聲以及解調(diào)誤差對(duì)回歸函數(shù)θi，t的影響，可對(duì)公式（5）和（6）作進(jìn)一步優(yōu)化［27］。則回歸系數(shù)Ai可認(rèn)為是解調(diào)結(jié)果li，t的均值。li，t中的相位函數(shù)ωγ，it+Di可通過(guò)下式得到：

其中，系數(shù)ωγ，i可通過(guò)對(duì)相位函數(shù)求導(dǎo)得到，進(jìn)而可回歸得到Di。結(jié)合公式（5）和（7），回歸系數(shù)Bi可表示為：

而hi，t中的相位函數(shù)ωit可表示為：

再對(duì)相位函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)可得到回歸系數(shù)ωi。

2.3 單分量極值應(yīng)力的HDLM

根據(jù)公式（3）～（9），可得到各階yi，t的單分量極值應(yīng)力回歸函數(shù)θi，t。則θi，t+1的表達(dá)式可由下式得到：

式中g(shù)（·）表示非線性函數(shù)?？梢钥闯觯瑺顟B(tài)變量隨時(shí)間呈非線性關(guān)系。利用公式（10）可得到的歷史監(jiān)測(cè)應(yīng)力數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)非線性模型。然而，由于貝葉斯方法更適用于線性模型，因此在得到動(dòng)態(tài)非線性模型后往往需要進(jìn)行線性化處理［28］。本文利用Taylor 級(jí)數(shù)展開(kāi)技術(shù)，將g（θi，t）在初始狀態(tài)數(shù)據(jù)的期望值M1，t附近處展開(kāi)，即可得到公式（10）對(duì)應(yīng)的線性函數(shù)：

其中，初始狀態(tài)數(shù)據(jù)可利用Hilbert 信號(hào)分解算法得到，則初始狀態(tài)數(shù)據(jù)期望值M1，t可由數(shù)據(jù)的均值近似得到；為已知項(xiàng)，且與θi，t無(wú)關(guān)；о（θi，t-M1，t）為g（θt）在M1，t處展開(kāi)的高階項(xiàng)。公式（11）可進(jìn)一步改寫(xiě)為：

式中θi，t+1-θi，t為狀態(tài)數(shù)據(jù)的一階差分；βi，t=g（M1，t）-G1·M1，t+（G1-1）θi，t。通過(guò)公式（11）和（12）可以看出，狀態(tài)t+1 時(shí)刻的狀態(tài)變量θi，t+1不僅和前一時(shí)刻的θi，t有關(guān)，也可能與狀態(tài)數(shù)據(jù)的一階差分變量βi，t有關(guān)?？紤]βi，t只與前一時(shí)刻的一階差分變量βi，t-1有關(guān)，并忽略公式（11）和（12）中的高階項(xiàng)，橋梁?jiǎn)畏至繕O值應(yīng)力的Hilbert 動(dòng)態(tài)線性狀態(tài)方程可表示為：

模型誤差方差Wt+1無(wú)法直接從狀態(tài)數(shù)據(jù)中得到，可根據(jù)初始狀態(tài)數(shù)據(jù)的方差Ct近似計(jì)算得到［21］：

式中δ為折扣因子，取值范圍為0.95～0.98。折扣因子δ對(duì)預(yù)測(cè)精度影響很大，選擇合適的δ能夠使貝葉斯動(dòng)態(tài)線性模型的預(yù)測(cè)精度快速收斂［15］。狀態(tài)變量以及狀態(tài)一階差分量的方差矩陣Ct可表示為：

其中，方差矩陣中對(duì)角元素C1，t，C2，t可分別通過(guò)計(jì)算初始狀態(tài)數(shù)據(jù)以及初始狀態(tài)一階差分?jǐn)?shù)據(jù)的方差獲得。θi，t與βi，t的協(xié)方差C3，t可由下式近似得到：

式中M2，t為初始狀態(tài)數(shù)據(jù)一階差分結(jié)果的期望值，可由數(shù)據(jù)的均值近似得到。

利用監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)以及狀態(tài)變量θi，t+1，可得到單分量極值應(yīng)力的Hilbert 動(dòng)態(tài)線性模型中的監(jiān)測(cè)方程。假設(shè)監(jiān)測(cè)值與狀態(tài)變量呈線性關(guān)系，并考慮監(jiān)測(cè)誤差的影響，監(jiān)測(cè)方程可表示為：

式中yi，t+1為t+1 時(shí)刻單分量極值應(yīng)力監(jiān)測(cè)值；vt+1為監(jiān)測(cè)誤差并假設(shè)監(jiān)測(cè)誤差服從期望為0，方差為Vt+1的正態(tài)分布。根據(jù)公式（17）可知，對(duì)單分量極值應(yīng)力yi，t與狀態(tài)數(shù)據(jù)θi，t之間的差值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，可近似得到監(jiān)測(cè)誤差的方差Vt+1。

結(jié)合公式（11），（15）和（16），t時(shí)刻以及t時(shí)刻之前初始狀態(tài)信息的后驗(yàn)概率分布可整理為：

式中θi，t為狀態(tài)變量向量；為狀態(tài)變量和狀態(tài)一階差分量的期望向量；Dt表示t以及t時(shí)刻之前監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的信息集合，包括t時(shí)刻的監(jiān)測(cè)數(shù)值yi，t，t-1 以及t-1 時(shí)刻之前的Mt-1和Ct-1。

3 HDLM 的貝葉斯概率遞推

在建立單分量極值應(yīng)力的HDLM 之后，結(jié)合貝葉斯方法可得到BHDLM。根據(jù)t時(shí)刻狀態(tài)變量θi，t的后驗(yàn)分布可對(duì)t+1 時(shí)刻的極值應(yīng)力yi，t+1進(jìn)行預(yù)測(cè)。再利用貝葉斯方法以及實(shí)際監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)模型中t+1 時(shí)刻的狀態(tài)變量后驗(yàn)分布θi，t+1概率進(jìn)行修正，使得下一時(shí)刻的預(yù)測(cè)結(jié)果更加合理。這樣，隨著模型中的參數(shù)不斷更新，BHDLM 即可實(shí)現(xiàn)對(duì)單分量極值應(yīng)力的動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)并且精度不斷提高。模型的概率遞推過(guò)程如圖2所示。

圖2 BHDLM 的概率遞推過(guò)程Fig.2 The probability recursive process of BHDLM

BHDLM 遞推過(guò)程中參數(shù)更新如下所示［19-22，27］：

（1）t+1 時(shí)刻的狀態(tài)變量先驗(yàn)概率密度分布

結(jié)合公式（18）給出了狀態(tài)變量θi，t在t時(shí)刻的后驗(yàn)概率密度分布。根據(jù)狀態(tài)方程可得到t+1 時(shí)刻的θi，t+1和βi，t+1先驗(yàn)概率密度分布，表示為：

簡(jiǎn)化可得：

式中

其中，R1，t+1=C1，t+2C3，t+C2，t+W1，t+1，R2，t+1=C2，t+W2，t+1，R3，t+1=C3，t+C2，t+W3，t+1。

（2）t+1 時(shí)刻監(jiān)測(cè)變量的一步向前預(yù)測(cè)概率密度分布P（yi，t+1|Dt）

結(jié)合狀態(tài)變量的先驗(yàn)概率P（θi，t+1|Dt）以及監(jiān)測(cè)方程，即可得到監(jiān)測(cè)變量一步向前預(yù)測(cè)概率密度：

簡(jiǎn)化可得監(jiān)測(cè)變量概率密度：

式中 預(yù)測(cè)值ft+1=at+1（1，1）；預(yù)測(cè)方差Qt+1=Rt+1（1，1）+Vt+1。而預(yù)測(cè)方差的倒數(shù)則為BHDLM的預(yù)測(cè)精度［21］。

（3）t+1 時(shí)刻的狀態(tài)變量后驗(yàn)概率

密度分布P（θt+1|Dt+1）

當(dāng)已知t+1 時(shí)刻的監(jiān)測(cè)值Yt+1后，結(jié)合公式（20）和（22）以及貝葉斯方法，t+1 時(shí)刻的狀態(tài)變量θt+1后驗(yàn)概率密度分布可表示為：

簡(jiǎn)化可得：

式中 期望向量Mt+1中M1，t+1=at+1（1，1）+A1，t+1·et+1，M2，t+1=at+1（1，2）+A2，t+1·et+1，其中，適應(yīng)性系數(shù)A1，t+1=Rt+1（1，1）/Qt+1，A2，t+1=Rt+1（1，2）/Qt+1，一步預(yù)測(cè)誤差et+1=yi，t+1-ft+1；方差矩陣Ct+1中C1，t+1=A1，t+1·Vt+1，C2，t+1=Rt+1（2，2）-A2，t+1·Rt+1（1，2），C3，t+1=A2，t+1·Vt+1。

4 實(shí)橋分析

派河大橋主橋上部結(jié)構(gòu)為飛燕式鋼箱拱橋，跨徑組合為54 m+130 m+54 m。拱圈和鋼梁采用Q345D 鋼材，彈性模量為206 GPa。為了全面監(jiān)測(cè)橋梁在運(yùn)營(yíng)期間的極值應(yīng)力應(yīng)變，全橋共選取5 個(gè)關(guān)鍵截面布置了32 個(gè)應(yīng)變傳感器，應(yīng)變監(jiān)測(cè)截面布置圖如圖3所示。其中，鋼縱梁的應(yīng)變傳感器安裝在鋼縱梁內(nèi)部，每個(gè)截面安裝4 個(gè)傳感器。為了了解拱腳處鋼縱梁的應(yīng)力狀態(tài)，定義每小時(shí)監(jiān)測(cè)最大應(yīng)力為橋梁耦合極值應(yīng)力Yt，并提取了12#墩附近2-2 截面Sx9～Sx12 監(jiān)測(cè)點(diǎn)一年（共8571 h）的歷史監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)。其中，2-2 截面鋼縱梁應(yīng)力監(jiān)測(cè)點(diǎn)布置如圖4所示。

圖3 應(yīng)力監(jiān)測(cè)截面布置圖（單位：mm）Fig.3 The layout diagram of stress monitored section（Unit：mm）

4.1 基于BHDLM 的橋梁耦合極值應(yīng)力分析

為了驗(yàn)證本文所提方法的有效性，現(xiàn)選取Sx12測(cè)點(diǎn)歷史監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中前3000 h 作為建模數(shù)據(jù)，建立各階單分量極值應(yīng)力的HDLM。再利用建立的模型以及貝葉斯方法，對(duì)剩余5572 h 的極值應(yīng)力進(jìn)行動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)。其中，Sx12 測(cè)點(diǎn)采集的歷史監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如圖5所示。

對(duì)建模數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉變換，結(jié)果如圖6所示。從圖6 中可以看出，歷史監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)是多模態(tài)響應(yīng)耦合的數(shù)據(jù)。

圖6 Sx12 測(cè)點(diǎn)極值應(yīng)力數(shù)據(jù)的傅里葉譜圖Fig.6 The Fourier spectrum of the extreme stress data of the Sx12 measure point

結(jié)合傅里葉分析結(jié)果和Hilbert 信號(hào)分解算法對(duì)前3000 h 耦合極值應(yīng)力進(jìn)行解耦，可得到4 個(gè)具有單一頻率的單分量成分yi，t（i=1，2，3，4）。基于公式（3）～（9），分別對(duì)yi，t進(jìn)行解調(diào)，即可得到單分量極值應(yīng)力的狀態(tài)數(shù)據(jù)回歸函數(shù)θi，t（i=1，2，3，4）。解調(diào)結(jié)果為：

首先，基于y1，t以及θ1，t，對(duì)橋梁耦合極值應(yīng)力中的一階單分量應(yīng)力數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。根據(jù)θ1，t的回歸公式可得θ1，t+1：

則基于公式（25），（26）和（12）可知，θ1，t≈θ1，t+1，即可認(rèn)為θ1，t+1僅和前一時(shí)刻的θ1，t有關(guān)，與狀態(tài)數(shù)據(jù)的 一 階 差 分 變 量β1，t無(wú) 關(guān)，且G1=。其中，監(jiān)測(cè)應(yīng)力和初始狀態(tài)信息如圖7所示。

圖7 第一階解耦應(yīng)力數(shù)據(jù)以及初始狀態(tài)信息Fig.7 The first order decoupled stress data and initial state information

則初始狀態(tài)信息為：

則根據(jù)公式（13），狀態(tài)方程可簡(jiǎn)化為：

其中，折扣因子δ的取值為0.95。監(jiān)測(cè)方程為：

在得到0～2999 h 監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)線性模型后，結(jié)合公式（19）～（24），可對(duì)3000～8573 h 的數(shù)據(jù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，一步預(yù)測(cè)結(jié)果以及預(yù)測(cè)精度分別如圖8 和9所示。從圖8 的預(yù)測(cè)結(jié)果中可以看出，第一階單分量極值應(yīng)力的預(yù)測(cè)值與監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)近似相等，證明本文所提模型預(yù)測(cè)效果較好。而結(jié)合圖9 的預(yù)測(cè)精度結(jié)果可以看出，預(yù)測(cè)應(yīng)力區(qū)間可以包含所有的監(jiān)測(cè)應(yīng)力數(shù)據(jù)，隨著單分量極值應(yīng)力數(shù)據(jù)的遠(yuǎn)程更新，精度越來(lái)越高并最終趨于穩(wěn)定，說(shuō)明本文所提模型的合理性。

圖8 第一階解耦極值應(yīng)力數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.8 The predicted results of the first order decoupled extreme stress data

圖9 BHDLM 的預(yù)測(cè)精度Fig.9 The prediction precision of BHDLM

同樣的，基于y2，t以及θ2，t，對(duì)橋梁耦合極值應(yīng)力中的二階單分量應(yīng)力數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。根據(jù)θ2，t的回歸公式可得θ2，t+1：

基于公式（25），（30）和（12）可知，監(jiān)測(cè)方程中θ2，t+1與前一時(shí)刻的θ2，t和狀態(tài)數(shù)據(jù)的一階差分變量β2，t有關(guān)。利用差分計(jì)算可得狀態(tài)變量轉(zhuǎn)移矩陣中其中，監(jiān)測(cè)應(yīng)力和初始狀態(tài)信息如圖10所示，初始狀態(tài)信息的一階差分值如圖11所示。

圖10 第二階解耦應(yīng)力數(shù)據(jù)以及初始狀態(tài)信息Fig.10 The second order decoupled stress data and initial state information

圖11 初始狀態(tài)信息的一階差分值Fig.11 The first order differential data of initial state information

則根據(jù)圖10 和11，初始狀態(tài)信息可表示為：

其中

而根據(jù)公式（13），狀態(tài)方程為：

其中，折扣因子δ的取值范圍為 0.95，。

監(jiān)測(cè)方程為：

利用貝葉斯方法，對(duì)3000～8572 h 的數(shù)據(jù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如圖12所示，預(yù)測(cè)值與監(jiān)測(cè)值接近，預(yù)測(cè)效果較好。預(yù)測(cè)精度如圖13所示，隨著數(shù)據(jù)的更新，預(yù)測(cè)精度趨于穩(wěn)定。

圖12 第二階解耦極值應(yīng)力數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.12 The predicted results of the second order decoupled extreme stress data

圖13 BHDLM 的預(yù)測(cè)精度Fig.13 The prediction precision of BHDLM

將第3和4階單分量極值應(yīng)力數(shù)據(jù)按上述步驟進(jìn)行動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，則橋梁耦合極值應(yīng)力即為各階單分量極值應(yīng)力動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)值相加，預(yù)測(cè)結(jié)果如圖14所示。

圖14 Sx12 測(cè)點(diǎn)橋梁耦合極值應(yīng)力預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.14 The predicted results of bridge coupled extreme stress of the Sx12 measure point

按照上述流程，利用BHDLM 可進(jìn)一步得到Sx9，Sx10 和Sx11 這3 個(gè)測(cè)點(diǎn)3000 h 以后的橋梁耦合極值應(yīng)力動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)結(jié)果，預(yù)測(cè)結(jié)果如圖15～17所示?？梢钥闯?，耦合后的極值應(yīng)力動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)值與實(shí)際監(jiān)測(cè)值接近，說(shuō)明了本文所提方法能夠較好地預(yù)測(cè)橋梁耦合極值應(yīng)力。

圖15 Sx9 測(cè)點(diǎn)橋梁耦合極值應(yīng)力預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.15 The predicted results of bridge coupled extreme stress of the Sx9 measure point

4.2 耦合極值應(yīng)力預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度對(duì)比分析

圖16 Sx10 測(cè)點(diǎn)橋梁耦合極值應(yīng)力預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.16 The predicted results of bridge coupled extreme stress of the Sx10 measure point

圖17 Sx11 測(cè)點(diǎn)橋梁耦合極值應(yīng)力預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.17 The predicted results of bridge coupled extreme stress of the Sx11 measure point

為了驗(yàn)證BHDLM 的在預(yù)測(cè)橋梁耦合極值應(yīng)力方面的優(yōu)越性，本文利用貝葉斯動(dòng)態(tài)線性模型（Bayesian Dynamic Linear Model，BDLM）對(duì)Sx12測(cè)點(diǎn)處的極值應(yīng)力進(jìn)行了動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)。同時(shí)，采用均方根誤差（Root Mean Squared Error，RMSE）作為模型預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度指標(biāo)，用于模型預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度的比較分析。其中，預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度指標(biāo)RMSE可表示為：

式中uy，t為橋梁耦合極值應(yīng)力預(yù)測(cè)值；Yt為橋梁耦合極值應(yīng)力監(jiān)測(cè)值。

BDLM 預(yù)測(cè)結(jié)果如圖18所示。根據(jù)圖18 的預(yù)測(cè)結(jié)果并結(jié)合公式（34），可得BDLM 預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度指標(biāo)RMSE為2.59。而利用本文提出的BHDLM 進(jìn)行動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)時(shí)，模型預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度指標(biāo)RMSE則為1.60。證明了本文所提方法相比于BDLM 具有更高的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度，更具優(yōu)越性。

圖18 利用BDLM 得到的橋梁耦合極值應(yīng)力預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.18 The predicted results of bridge coupled extreme stress by using BDLM

5 結(jié)論

橋梁耦合極值應(yīng)力可視為有限多個(gè)單分量極值應(yīng)力的累加。在考慮到單分量極值應(yīng)力周期性、隨機(jī)性等數(shù)據(jù)特點(diǎn)的情況下，提出了單分量極值應(yīng)力的BHDLM。通過(guò)對(duì)單分量極值應(yīng)力的動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，進(jìn)而可得到橋梁耦合極值應(yīng)力的預(yù)測(cè)結(jié)果。最后，利用派河大橋一年的實(shí)際監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析驗(yàn)證，得到如下結(jié)論：

（1）通過(guò)Hilbert 信號(hào)分解及解調(diào)技術(shù)可對(duì)橋梁耦合極值應(yīng)力數(shù)據(jù)進(jìn)行解耦，并建立各階單分量極值應(yīng)力數(shù)據(jù)的HDLM。

（2）基于解耦得到的單分量極值應(yīng)力數(shù)據(jù)以及BHDLM，可對(duì)單分量極值應(yīng)力進(jìn)行合理預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)精度隨著模型參數(shù)的更新不斷提升。

（3）橋梁耦合極值應(yīng)力的最終預(yù)測(cè)結(jié)果與監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)基本一致，具有較好的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度。驗(yàn)證了本文提出方法在實(shí)際工程中的可行性與有效性。