含常數(shù)激勵(lì)非對(duì)稱Duffing系統(tǒng)的主共振響應(yīng)及鞍結(jié)分岔研究

羅 鋼，侯 磊，任雙興，陳予恕

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150001）

1 概述

在非線性振動(dòng)系統(tǒng)中，常數(shù)激勵(lì)［1-2］是導(dǎo)致非對(duì)稱性的主要因素之一，例如，在旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)受重力作用［3-4］、軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)受徑向載荷作用［5-7］、基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)及機(jī)動(dòng)飛行轉(zhuǎn)子系統(tǒng)承受慣性載荷［8-11］等。非對(duì)稱性使得非線性振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性相比于一般的對(duì)稱系統(tǒng)更加復(fù)雜，尤其是在非對(duì)稱因素十分顯著的情況下。

Carnegie 等［12］研究了重力對(duì)Duffing 系統(tǒng)2 次超諧共振的影響，表明重力使得恢復(fù)力產(chǎn)生不對(duì)稱性，勢(shì)能函數(shù)的冪律指數(shù)由奇數(shù)特征變?yōu)榕紨?shù)特征。

含常數(shù)激勵(lì)非對(duì)稱Duffing 方程的一般形式如下：

Hayashi［13］研究了參數(shù)取γ=ω=1 的情況，表明在一定參數(shù)條件下，當(dāng)常數(shù)激勵(lì)F0在某一范圍內(nèi)取值時(shí)，系統(tǒng)最多有5 個(gè)穩(wěn)態(tài)解，能夠產(chǎn)生多次跳躍現(xiàn)象。

對(duì)于帶有平方非線性項(xiàng)的Helmholtz-Duffing方程：

Ravindra 等［14］通過平移變換將其轉(zhuǎn)化為方程（1），通過解析求解表明平方非線性的存在使得具有硬特性的Duffing 系統(tǒng)產(chǎn)生剛度增強(qiáng)效應(yīng)，使其幅頻曲線峰值點(diǎn)發(fā)生右移。Benedettini 等［15-17］系統(tǒng)研究了振動(dòng)方程形如式（2）的懸索主共振響應(yīng)、2 次和3 次超諧共振響應(yīng)，以及1/2 次和1/3 次亞諧共振響應(yīng)，表明這些共振響應(yīng)中均存在軟硬特性變化和多值現(xiàn)象，并且由于平方非線性項(xiàng)的存在，2 次超諧共振顯著強(qiáng)于3 次超諧共振，1/2 次亞諧共振顯著強(qiáng)于1/3 次亞諧共振。Murata 等［18］利用突變理論研究了方程（2）的分岔特性，闡釋了跳躍現(xiàn)象及滯后現(xiàn)象的發(fā)生機(jī)制。Yagasaki［19-20］分別針對(duì)原子顯微鏡的尖端部分——微型懸臂梁和受線性反饋控制的單擺建立了形如方程（2）的動(dòng)力學(xué)方程，利用二階平均法分析了主共振響應(yīng)的分岔性質(zhì)，并給出產(chǎn)生亞臨界鞍結(jié)分岔及超臨界鞍結(jié)分岔時(shí)的激勵(lì)幅值［21］，還采用一種推廣的亞諧Melnikov 方法研究了方程中出現(xiàn)的退化共振行為，表明退化共振一般會(huì)導(dǎo)致尖點(diǎn)分岔［22-23］。TIAN 等［24-25］發(fā)現(xiàn)在常數(shù)激勵(lì)作用下，光滑非連續(xù)振子的混沌吸引子與SD 振子有顯著區(qū)別。Kovacic 等［26-28］將一個(gè)準(zhǔn)零剛度非線性隔振器模型的振動(dòng)用方程（1）描述，對(duì)其主共振響應(yīng)進(jìn)行了細(xì)致的研究，表明在常數(shù)激勵(lì)的作用下，系統(tǒng)能夠表現(xiàn)出4 種不同的幅頻曲線類型，除了近似線性的單解類型和具有3 個(gè)穩(wěn)態(tài)解的單彎曲類型，還存在具有3 個(gè)穩(wěn)態(tài)解的雙彎曲類型以及具有5 個(gè)穩(wěn)態(tài)解的雙彎曲類型。侯磊等［29］對(duì)方程（1）描述的非對(duì)稱Duffing 系統(tǒng)的骨架曲線和幅頻響應(yīng)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)骨架曲線的形態(tài)表現(xiàn)為先向左微偏后轉(zhuǎn)為向右彎曲，對(duì)應(yīng)的幅頻曲線在簡(jiǎn)諧激勵(lì)幅值較小時(shí)表現(xiàn)為軟特性，當(dāng)簡(jiǎn)諧激勵(lì)幅值增大時(shí)表現(xiàn)出軟硬特性共存現(xiàn)象。此外，通過奇異性分析給出了該系統(tǒng)在常數(shù)激勵(lì)與簡(jiǎn)諧激勵(lì)幅值不同組合下的6 種分岔模式［30］。

本文以形如方程（1）的含常數(shù)激勵(lì)的非對(duì)稱Duffing 系統(tǒng)為研究對(duì)象，求解強(qiáng)非線性Duffing 方程在常數(shù)激勵(lì)與簡(jiǎn)諧激勵(lì)聯(lián)合作用下的主共振響應(yīng)，重點(diǎn)研究常數(shù)激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)鞍結(jié)分岔的影響規(guī)律。

2 主共振響應(yīng)的近似解析求解與穩(wěn)定性分析

2.1 諧波平衡法求解主共振響應(yīng)

采用諧波平衡法求解方程（1）的主共振響應(yīng)。由于方程（1）中存在常數(shù)激勵(lì)F0，其振動(dòng)響應(yīng)中會(huì)產(chǎn)生直流分量，其一階近似解具有如下形式：

式中A0為直流分量，A1為諧波響應(yīng)的幅值，θ為初相位。

將式（3）代入式（1），令常數(shù)項(xiàng)、余弦項(xiàng)和正弦項(xiàng)系數(shù)分別為零，可得幅頻響應(yīng)方程組：

根據(jù)式（4a），A1與A0有如下關(guān)系：

將式（5）代入式（4b），可得關(guān)于A0的方程：

可見式（6）是關(guān)于A0的9 次方程。

根據(jù)笛卡爾符號(hào)法則，一元多項(xiàng)式方程具有正數(shù)解的個(gè)數(shù)要么等于其系數(shù)符號(hào)改變次數(shù)，要么比此次數(shù)小一個(gè)偶數(shù)。式（6）系數(shù)符號(hào)改變次數(shù)為5次，其具有正數(shù)解的數(shù)目為5 或3 或1，因而式（1）的主共振響應(yīng)最多有5 個(gè)。

2.2 穩(wěn)定性分析

采用Floquet 理論分析周期解的穩(wěn)定性。在式（3）的基礎(chǔ)上增加一個(gè)小擾動(dòng)u形成的擾動(dòng)解如下：

將式（7）代入式（1），注意到y(tǒng)也是式（1）的解，可得基于解y的線性變分方程如下：

其中：

對(duì)式（8）作如下變換：

得到如下形式的Hill 方程：

根據(jù)Hill 方程的相關(guān)理論，當(dāng)激勵(lì)頻率與規(guī)范化固有頻率具有如下關(guān)系：

時(shí)，式（11）所代表的參激系統(tǒng)將在第n個(gè)不穩(wěn)定區(qū)域發(fā)生共振。為了考察形如式（3）的解的穩(wěn)定性，本文考慮第二個(gè)不穩(wěn)定區(qū)域?？稍O(shè)式（11）的解的形式為：

式中μ為Floquet 特征指數(shù)，其實(shí)部符號(hào)決定式（11）零解的穩(wěn)定性。

仍采用諧波平衡法，取一階近似，令常數(shù)項(xiàng)、余弦項(xiàng)和正弦項(xiàng)系數(shù)為零，得到如下方程組：

由于式（13）為非零解，則有：

由Floquet 理論可知，方程（1）形如式（3）的周期解的穩(wěn)定條件為-ζ±μ的實(shí)部小于零，又由于阻尼系數(shù)ζ＞0 且μ為實(shí)數(shù)或虛數(shù)，則穩(wěn)定條件等價(jià)于ζ2＞μ2。結(jié)合式（15），可知穩(wěn)定條件為Δ1(ζ)＞0，穩(wěn)定邊界為Δ1(ζ)=0，其中：

將式（9）代入式（16）并整理，得穩(wěn)定邊界：

為了將周期解的穩(wěn)定性反映到幅頻響應(yīng)曲線上，將幅頻響應(yīng)方程重新符號(hào)化如下：

傳說，對(duì)著樹洞講出你的心事，心情會(huì)釋然。找到你的樹洞，埋藏進(jìn)所有的眼淚和哭聲，讓我為你守望。不知不覺中你就會(huì)長(zhǎng)大。

將式（18）關(guān)于頻率ω求全導(dǎo)數(shù)，并從中解出未知數(shù)?A0/?ω，?A1/?ω和?θ/?ω，得：

其中：

Δ2i(i=1，2，3)是用?G1/?ω，?G2/?ω和?G3/?ω的相關(guān)項(xiàng)替換行列式Δ2中第i列得到的新行列式。計(jì)算行列式Δ2并整理，得到：

因此，當(dāng)Δ1(ζ)=0 時(shí)，Δ2=0。結(jié)合式（19），在穩(wěn)定邊界上有：也就是說，在幅頻響應(yīng)曲線上，在穩(wěn)定邊界點(diǎn)處的切線斜率為無窮大，即垂直于頻率軸。穩(wěn)定邊界將穩(wěn)定解所在區(qū)域與不穩(wěn)定解所在區(qū)域分隔開，可以通過式（17）來判斷特定解的穩(wěn)定性。

3 主共振響應(yīng)中的非線性振動(dòng)特性分析

3.1 主共振下的幅頻響應(yīng)

以系統(tǒng)參數(shù)取ζ=0.015，γ=4，F(xiàn)1=0.05 為例，在常數(shù)激勵(lì)作用下，方程（1）主共振下的幅頻響應(yīng)曲線會(huì)出現(xiàn)軟特性共振滯后區(qū)，隨著常數(shù)激勵(lì)的增大，軟特性共振滯后區(qū)不斷擴(kuò)大，而原有的硬特性共振滯后區(qū)逐漸收縮直到完全消失，在這個(gè)演化過程中系統(tǒng)會(huì)表現(xiàn)出6 種類型的幅頻響應(yīng)曲線，這在文獻(xiàn)［30］中有詳細(xì)論述。本文以F0=0.8 為例，給出系統(tǒng)最典型的具有5 解共存情況的幅頻響應(yīng)曲線，如圖1所示，其中實(shí)線代表穩(wěn)定解，虛線代表不穩(wěn)定解，箭頭標(biāo)示了正反向掃頻時(shí)幅值的變化方向及跳躍現(xiàn)象。由圖1 可見，隨著簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率ω的增大，幅頻響應(yīng)曲線先向左彎曲，后向右彎曲，形成一個(gè)軟特性共振滯后區(qū)和一個(gè)硬特性共振滯后區(qū)，且兩個(gè)共振滯后區(qū)有一部分重合區(qū)域，在重合區(qū)域內(nèi)特定ω下系統(tǒng)有5 個(gè)周期解，其中3 個(gè)為穩(wěn)定解，2個(gè)為不穩(wěn)定解，而在兩個(gè)共振滯后區(qū)的非重合區(qū)域，特定ω下系統(tǒng)有3 個(gè)周期解，其中2 個(gè)為穩(wěn)定解，1個(gè)為不穩(wěn)定解。

圖1 F0=0.8 時(shí)系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線(ζ=0.015，γ=4，F(xiàn)1=0.05)Fig.1 Amplitude-frequency response when F0=0.8(ζ=0.015，γ=4，F(xiàn)1=0.05)

此外，圖1所示系統(tǒng)還存在復(fù)雜的跳躍現(xiàn)象。從點(diǎn)1 出發(fā)正向掃頻時(shí)，隨著簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率ω的緩慢提高，系統(tǒng)振幅逐漸增大，經(jīng)過點(diǎn)2 時(shí)振幅將跳躍到點(diǎn)3，此時(shí)若繼續(xù)提高ω，則振幅逐漸減小，直到點(diǎn)4。從點(diǎn)4 出發(fā)反向掃頻時(shí)，隨著ω的緩慢降低，系統(tǒng)振幅逐漸增大，經(jīng)過點(diǎn)3 時(shí)不發(fā)生跳躍現(xiàn)象，而是振幅繼續(xù)逐漸增大，直到經(jīng)過點(diǎn)5 時(shí)發(fā)生跳躍現(xiàn)象，系統(tǒng)振幅將跳躍到點(diǎn)6，此時(shí)若繼續(xù)降低ω，則系統(tǒng)振幅逐漸減小，直到點(diǎn)7 再次發(fā)生跳躍現(xiàn)象，系統(tǒng)振幅將跳躍到點(diǎn)8，隨著ω的進(jìn)一步降低，系統(tǒng)振幅逐漸減小，回到點(diǎn)1。當(dāng)系統(tǒng)振幅達(dá)到點(diǎn)6 時(shí)，若緩慢提高ω，則系統(tǒng)振幅會(huì)逐漸增大，直到點(diǎn)9 發(fā)生跳躍現(xiàn)象，系統(tǒng)振幅跳躍到點(diǎn)10。以ω=1.71 為例，此時(shí)系統(tǒng)為典型的5 解共存，通過四階龍格-庫塔法對(duì)系統(tǒng)求穩(wěn)定解，得到系統(tǒng)在不同初始條件下的相圖和時(shí)間歷程曲線如圖2所示。

圖2 ω=1.71 時(shí)系統(tǒng)的相圖與時(shí)間歷程(ζ=0.015，γ=4，F(xiàn)0=0.8，F(xiàn)1=0.05)Fig.2 Phase diagrams and time histories when ω=1.71(ζ=0.015，γ=4，F(xiàn)0=0.8，F(xiàn)1=0.05)

Duffing 系統(tǒng)主共振下幅頻響應(yīng)曲線上的跳躍點(diǎn)均是鞍結(jié)分岔點(diǎn)，軟特性共振滯后區(qū)和硬特性共振滯后區(qū)的左右邊界分別對(duì)應(yīng)一個(gè)鞍結(jié)分岔點(diǎn)，即圖1 中的點(diǎn)2、點(diǎn)5、點(diǎn)7、點(diǎn)9 四個(gè)點(diǎn)。因此，研究系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔特性有助于認(rèn)識(shí)其復(fù)雜跳躍現(xiàn)象的機(jī)理。

3.2 鞍結(jié)分岔特性分析

鞍結(jié)分岔，也稱切線分岔或折疊分岔，是非線性動(dòng)力學(xué)中最為基本的局部分岔模式之一，在分岔圖中分岔點(diǎn)處的切線鉛直是其典型的幾何特征，利用該特征可通過幅頻響應(yīng)方程計(jì)算系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔集，并據(jù)此對(duì)幅頻響應(yīng)曲線進(jìn)行分類。關(guān)于分岔分析更為詳細(xì)的方法，可參考文獻(xiàn)［31］。

圖3所示為系統(tǒng)參數(shù)取ζ=0.015，γ=4，F(xiàn)1=0.05 時(shí)，ω-F0平面上的鞍結(jié)分岔集?？梢?，鞍結(jié)分岔集由曲線ABC 和曲線FGH 組成，其中曲線ABC 為軟特性共振滯后區(qū)對(duì)應(yīng)的鞍結(jié)分岔集，曲線FGH 為硬特性共振滯后區(qū)對(duì)應(yīng)的鞍結(jié)分岔集。圖中還在每段分岔集曲線左右標(biāo)示出了經(jīng)過相應(yīng)分岔點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)周期解數(shù)目的變化情況，因此通過分析這些分岔集曲線可以掌握系統(tǒng)周期解數(shù)目增加或減少的具體情況。

圖3 ω-F0 平面上的鞍結(jié)分岔集Fig.3 Saddle-node bifurcation set on the ω-F0 plane

若以簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率ω為分岔參數(shù)，則隨著ω的增大，當(dāng)經(jīng)過曲線AB 和DF 時(shí)，系統(tǒng)周期解的個(gè)數(shù)由1 個(gè)變?yōu)? 個(gè)，增加1 個(gè)穩(wěn)定解和1 個(gè)不穩(wěn)定解，此時(shí)系統(tǒng)共有2 個(gè)穩(wěn)定解和1 個(gè)不穩(wěn)定解。隨著ω的進(jìn)一步增大，當(dāng)經(jīng)過曲線BD，CE 和EH 時(shí)，增加的2個(gè)周期解消失，系統(tǒng)周期解的個(gè)數(shù)由3 個(gè)變回1 個(gè)。

在鞍結(jié)分岔集曲線ABC 和曲線FGH 的交叉區(qū)域，隨著ω的增大，當(dāng)經(jīng)過曲線DG 時(shí)，系統(tǒng)周期解的個(gè)數(shù)由3 個(gè)變?yōu)? 個(gè)，增加1 個(gè)穩(wěn)定解和1 個(gè)不穩(wěn)定解，此時(shí)系統(tǒng)共有3 個(gè)穩(wěn)定解和2 個(gè)不穩(wěn)定解。隨著ω的進(jìn)一步增大，當(dāng)經(jīng)過曲線DE 和EG 時(shí)，增加的2 個(gè)周期解消失，系統(tǒng)周期解的個(gè)數(shù)由5 個(gè)變回3 個(gè)。

因此，曲線DF，DE 和EH 圍成的區(qū)域?yàn)橛蔡匦怨舱駵髤^(qū)，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線有3 解，這與傳統(tǒng)的無常數(shù)激勵(lì)的Duffing系統(tǒng)的主共振特性一致。曲線AB，BD，DG 以及曲線CE，EG 圍成的區(qū)域?yàn)檐浱匦怨舱駵髤^(qū)，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線有3 個(gè)解。曲線DE，DG，EG 圍成的區(qū)域?yàn)檐浱匦怨舱駵髤^(qū)和硬特性共振滯后區(qū)的重疊區(qū)域，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線有5 個(gè)解。

當(dāng)常數(shù)激勵(lì)F0較小時(shí)，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線隨著ω的增大其解的個(gè)數(shù)會(huì)經(jīng)歷1-3-1 的變化，此時(shí)系統(tǒng)僅有一個(gè)硬特性共振滯后區(qū)，與傳統(tǒng)的無常數(shù)激勵(lì)的Duffing系統(tǒng)的主共振特性一致。當(dāng)F0的取值處于曲線BD 在縱軸的投影區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線隨著ω的增大其解的個(gè)數(shù)會(huì)經(jīng)歷1-3-1-3-1 的變化，此時(shí)系統(tǒng)同時(shí)具有硬特性共振滯后區(qū)和軟特性共振滯后區(qū)，但兩個(gè)共振滯后區(qū)處于分離狀態(tài)。當(dāng)F0的取值處于曲線DG 在縱軸的投影區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線隨著ω的增大其解的個(gè)數(shù)會(huì)經(jīng)歷1-3-5-3-1 的變化，此時(shí)硬特性共振滯后區(qū)與軟特性共振滯后區(qū)有交叉。當(dāng)F0更大時(shí)，硬特性共振滯后區(qū)消失，系統(tǒng)僅具有軟特性共振滯后區(qū)，幅頻響應(yīng)曲線隨著ω的增大其解的個(gè)數(shù)會(huì)經(jīng)歷1-3-1 的變化。

4 參數(shù)對(duì)鞍結(jié)分岔集的影響分析

4.1 阻尼的影響

圖4所示為系統(tǒng)參數(shù)取γ=4，F(xiàn)1=0.05，阻尼系數(shù)ζ分別取0.01，0.015，0.03，0.04 和0.06 時(shí)，ω-F0平面上的鞍結(jié)分岔集?？梢?，隨著阻尼系數(shù)的增大，系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔集發(fā)生顯著變化，軟特性共振滯后區(qū)和硬特性共振滯后區(qū)均收縮變小，同時(shí)軟特性共振滯后區(qū)向平面的右上方移動(dòng)，硬特性共振滯后區(qū)向平面的左下方移動(dòng)，兩個(gè)共振滯后區(qū)的重疊區(qū)域也逐漸變小，直到兩個(gè)共振滯后區(qū)完全分離；當(dāng)ζ=0.06 時(shí)，軟特性共振滯后區(qū)完全消失。表明阻尼的增大有利于抑制Duffing 系統(tǒng)的多解及振幅跳躍現(xiàn)象。

圖4 不同阻尼大小下ω-F0 平面上的鞍結(jié)分岔集(γ=4，F(xiàn)1=0.05)Fig.4 Saddle-node bifurcation sets with different damping on the ω-F0 plane(γ=4，F(xiàn)1=0.05)

4.2 簡(jiǎn)諧激勵(lì)幅值的影響

圖5所示為系統(tǒng)參數(shù)取ζ=0.015，γ=4，簡(jiǎn)諧激勵(lì)幅值F1分別取0.05，0.03，0.018，0.01 和0.008時(shí)，ω-F0平面上的鞍結(jié)分岔集。可見，隨著簡(jiǎn)諧激勵(lì)幅值的減小，系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔集發(fā)生顯著變化，其變化趨勢(shì)與阻尼系數(shù)增大時(shí)的變化趨勢(shì)相似，軟特性共振滯后區(qū)和硬特性共振滯后區(qū)均收縮變小，同時(shí)硬特性共振滯后區(qū)向平面的左下方移動(dòng)，但軟特性共振滯后區(qū)向平面的右下方移動(dòng)，兩個(gè)共振滯后區(qū)的重疊區(qū)域也逐漸變小直到兩個(gè)共振滯后區(qū)完全分離；當(dāng)F1=0.008 時(shí)，軟特性共振滯后區(qū)完全消失。結(jié)果表明簡(jiǎn)諧激勵(lì)幅值的減小也有利于抑制Duffing 系統(tǒng)的多解及振幅跳躍現(xiàn)象。

圖5 不同簡(jiǎn)諧激勵(lì)幅值下ω-F0 平面上的近似鞍結(jié)分岔集Fig.5 Approximate saddle-node bifurcation sets with different harmonic excitation on the ω-F0 plane

5 結(jié)論

本文針對(duì)含常數(shù)激勵(lì)非對(duì)稱Duffing 系統(tǒng)開展了鞍結(jié)分岔特性研究，采用諧波平衡法求得系統(tǒng)在主共振下的周期解，采用Floquet 理論分析周期解的穩(wěn)定性，利用幅頻響應(yīng)曲線上鞍結(jié)分岔點(diǎn)處具有切線鉛直的幾何特征，計(jì)算了系統(tǒng)關(guān)于常數(shù)激勵(lì)和簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率的鞍結(jié)分岔集，并分析了阻尼和簡(jiǎn)諧激勵(lì)幅值對(duì)鞍結(jié)分岔集的影響規(guī)律，得到結(jié)論如下：

1）在特定參數(shù)條件下，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線先向左彎曲后向右彎曲，形成一個(gè)軟特性共振滯后區(qū)和一個(gè)硬特性共振滯后區(qū)，在兩個(gè)共振滯后區(qū)的重合區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)具有5 解共存現(xiàn)象，5 個(gè)周期解中3個(gè)為穩(wěn)定解，2 個(gè)為不穩(wěn)定解。

2）在5 解共存情況下，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線上表現(xiàn)出復(fù)雜的振動(dòng)跳躍現(xiàn)象，在軟特性共振滯后區(qū)和硬特性共振滯后區(qū)的左右邊界上共形成4 個(gè)振動(dòng)跳躍點(diǎn)，均為鞍結(jié)分岔點(diǎn)。

3）在常數(shù)激勵(lì)與簡(jiǎn)諧激勵(lì)頻率構(gòu)成的參數(shù)平面上，鞍結(jié)分岔集由兩條曲線組成，其中一條為軟特性共振滯后區(qū)對(duì)應(yīng)的鞍結(jié)分岔集；另一條為硬特性共振滯后區(qū)對(duì)應(yīng)的鞍結(jié)分岔集。兩條曲線包圍的參數(shù)區(qū)域?yàn)槎嘟鈪?shù)區(qū)，其中兩條曲線的交叉區(qū)域?yàn)? 解共存參數(shù)區(qū)。

4）隨著常數(shù)激勵(lì)的增大，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線上表現(xiàn)出軟特性逐漸增強(qiáng)、硬特性逐漸變?nèi)醯默F(xiàn)象，兩者對(duì)應(yīng)的共振滯后區(qū)從分離到交叉，直到硬特性共振滯后區(qū)消失，其中在共振滯后區(qū)交叉的參數(shù)區(qū)存在5 解共存現(xiàn)象和復(fù)雜的振動(dòng)跳躍現(xiàn)象。

5）增大系統(tǒng)阻尼或減小簡(jiǎn)諧激勵(lì)幅值，系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔集發(fā)生顯著變化，軟特性共振滯后區(qū)和硬特性共振滯后區(qū)均收縮變小，并且兩個(gè)共振滯后區(qū)的重疊區(qū)域也逐漸變小直到兩個(gè)共振滯后區(qū)完全分離，表明增大系統(tǒng)阻尼或減小簡(jiǎn)諧激勵(lì)幅值有助于抑制系統(tǒng)主共振響應(yīng)中的多解及復(fù)雜振動(dòng)跳躍現(xiàn)象。