諧振放大壓電聲學超材料梁帶隙特性研究

陳圣兵，張 浩，宋玉寶，賀旭照

（中國空氣動力研究與發(fā)展中心，四川綿陽 621000）

引言

近年來，聲學超材料受到物理和聲學工程領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注［1-5］。聲學超材料是一種具有超常物理特性的人工復合材料，具有產(chǎn)生負質(zhì)量密度［5］、負彈性模量［2］、負折射［6］、亞波長帶隙［7］等特殊性質(zhì)，被應用于聲學斗篷設(shè)計［8］、聲聚焦［4］、振動與噪聲控制［9］等領(lǐng)域，具有較大的科學研究價值和工程應用背景。特別是聲學超材料具有的亞波長帶隙可以實現(xiàn)小尺寸結(jié)構(gòu)控制大波長彈性波［1］，對于解決大柔性結(jié)構(gòu)的低頻振動與噪聲控制問題具有重要意義。

聲學超材料的帶隙形成主要由內(nèi)部微振子的局域共振引起，通過設(shè)計微振子結(jié)構(gòu)可以得到結(jié)構(gòu)振動與噪聲控制中需要的帶隙特性。聲學超材料內(nèi)的局域共振特性不僅可以由傳統(tǒng)的機械微振子產(chǎn)生［10］，還可以引入智能材料，形成具有帶隙主動可調(diào)能力的智能聲學超材料。其中，利用壓電分流諧振子產(chǎn)生局域共振帶隙的壓電聲學超材料具有制作簡單、穩(wěn)定性好、調(diào)節(jié)方便等優(yōu)點，受到學者的廣泛關(guān)注。Thorp 等［11］首次將壓電分流技術(shù)應用于帶隙控制，研究了一維桿中彈性波傳播的衰減和局域化現(xiàn)象。Spadoni 等［12］將壓電分流技術(shù)推廣到二維薄板中彈性波帶隙的調(diào)控，其研究結(jié)論被Casadei 實驗驗證［13］。Airoldi 等［14］提出了一種一維可調(diào)諧壓電聲學超材料設(shè)計方案，通過理論研究和實驗驗證證明了壓電分流諧振子對帶隙調(diào)控的有效性。本文作者也在壓電聲學超材料領(lǐng)域開展了大量的研究工作，從算法設(shè)計、機理研究、實驗驗證等多個方面對壓電聲學超材料進行了較為深入的分析和系統(tǒng)的總結(jié)［15-16］。傳統(tǒng)的壓電分流聲學超材料一般采用被動諧振電路，受到壓電材料機電耦合能力的限制，帶隙一般較窄，難以滿足低頻寬帶振動與噪聲控制的工程需求。因此，為了增大帶隙寬度，本文提出利用模擬放大電路對壓電片信號進行放大，然后再連入諧振電路形成局域共振，以實現(xiàn)局域共振效果的增強，從而增大帶隙寬度。

本文以一維壓電聲學超材料梁為研究對象，將壓電片劃分為傳感極和驅(qū)動極，其中傳感極得到的輸入電壓通過正向運算放大電路進行放大，再與一個分流電感相連構(gòu)成諧振回路。采用有限元方法對壓電聲學超材料梁帶隙特性進行求解，分析了帶隙隨放大倍數(shù)的變化和等效彈性模量隨頻率的變化。最后，利用商用有限元軟件建立了有限周期超材料梁模型，仿真分析了有限周期超材料梁的振動傳遞特性，驗證了帶隙計算的正確性。

1 數(shù)學建模

壓電聲學超材料梁布局如圖1所示，可以看作是由單個元胞沿著軸向平移形成的一維超晶格結(jié)構(gòu)，每個元胞包含基體梁、壓電片和諧振放大電路。兩個相同的壓電片分別布置在基體梁的上下表面相同的位置，壓電片上敷設(shè)有三等分條狀電極（圖中深灰色所示），電極之間留有間隙，其中中間電極部分（S）作為傳感極，兩邊電極部分（A）作為驅(qū)動極。傳感極輸出電壓通過正向放大電路后，與一個分流電感串聯(lián)，然后再施加到驅(qū)動極進行驅(qū)動，可以實現(xiàn)諧振分流放大功能。壓電聲學超材料梁具有周期性，因而只需要對單個元胞進行動力學分析，結(jié)合Floquet 定理就可以得到整個一維梁中的彎曲波傳播特性。

圖1 壓電聲學超材料梁布局示意圖Fig.1 Sketch of the acoustic metamaterial beam

文中壓電聲學超材料梁元胞如圖2所示。從圖中可以看出壓電片傳感極（S）輸出電壓u1通過一個運算放大電路后得到驅(qū)動電壓u2，然后與一個分流電感L串聯(lián)，輸出電壓u3連接壓電片驅(qū)動極，實現(xiàn)放大輸出回路的諧振和驅(qū)動，在基體內(nèi)形成局域共振帶隙效果。

圖2 壓電聲學超材料梁元胞Fig.2 Unit cell of the acoustic metamaterial beam

1.1 帶隙計算

運算放大電路中，利用運算放大器的虛短和虛斷特性，結(jié)合歐姆定律可以得到運算放大電路的輸出電壓u2與輸入電壓u1之間的關(guān)系為：

因此，運算放大電路的放大倍數(shù)λ為：

諧振回路中，由基爾霍夫定律可知：

式中q為壓電片驅(qū)動極上的總電荷。

壓電片為壓電陶瓷材料，極化方向為厚度方向，以應力T和電場E為自變量，應變S和電位移D為因變量，相應的壓電方程可以寫成分量形式：

式中i，j=1，2，3；h，k=1，2，…，6；sE為短路柔度系數(shù)矩陣；d為壓電應變常數(shù)；εT為恒應力介電常數(shù)。

采用有限元方法對壓電聲學超材料梁的元胞進行建模，單元類型為二階六面體單元，如圖3所示，根據(jù)節(jié)點位置將自由度分別標示為L（左端）、R（右端）和I（內(nèi)部）。因此，利用Hamilition 原理和標準的有限元建模方法可以得到離散形式的壓電控制方程為：

圖3 元胞有限元網(wǎng)格劃分Fig.3 Mesh of unit cell

式中d=[dLdIdR] 為節(jié)點位移向量，F(xiàn)=[FLFIFR]為節(jié)點力向量，M為質(zhì)量矩陣，K為剛度矩陣，R1和R2分別為傳感極壓電片和驅(qū)動極壓電片機電耦合向量，q為驅(qū)動極總電荷，和分別為傳感極和驅(qū)動極壓電片的恒應變電容。

將式（1）和（3）代入方程（5）整理得：

其中：

假設(shè)壓電聲學超材料梁的運動為頻率ω的簡諧運動，那么方程（6）可以改寫為：

壓電聲學超材料梁具有周期性，因此元胞邊界條件可以根據(jù)Floquet 定理得到：

式中k為波數(shù)，l為晶格常數(shù)，。

將式（11）代入式（10），整理為特征值形式：

式中S為特征矩陣，為波數(shù)k的函數(shù)，I 為單位矩陣，。

最后，通過在不可約布里淵區(qū)掃略波數(shù)k，求解特征方程（12）得到特征頻率ω，可以獲得壓電聲學超材料梁的能帶結(jié)構(gòu)。

1.2 等效參數(shù)

等效參數(shù)是分析聲學超材料的重要手段，對于如圖2所示的聲學超材料梁元胞，不考慮梁的三維效應影響，假設(shè)壓電片除了垂直于軸向的端面外，其余表面都自由，且壓電片只有厚度方向電場作用，那么壓電方程（4）可以簡化為：

式中T1和S1分別為壓電片沿軸向的應力和應變，D3和E3分別為壓電片電極上的電位移和內(nèi)部電場，為短路柔順系數(shù)，為厚度方向恒應力介電常數(shù)，d31為壓電應變常數(shù)。

壓電片傳感極上電位移為零，那么由方程（13）可得傳感極壓電片內(nèi)電場為：

將式（14）代入式（13），可以得到傳感極壓電片等效彈性模量，表示為：

傳感極壓電片內(nèi)電場與輸出電壓u1之間的關(guān)系為：

式中hp為壓電片厚度。

聯(lián)立式（14）和（17）可以得到傳感極輸出電壓，表示為：

對于驅(qū)動極壓電片，同樣采用壓電方程（13）可得驅(qū)動極電位移為：

式中Ea3為驅(qū)動極壓電片內(nèi)電場。

驅(qū)動極壓電片內(nèi)電場與輸入電壓u3之間的關(guān)系為：

采用長波假設(shè)，即壓電片內(nèi)應變和電極上電位移近似處處相等，那么驅(qū)動極上的電荷q可以寫成：

式中As為驅(qū)動極壓電片電極面積。

假設(shè)壓電片的運動為頻率ω的簡諧振動，整理得到驅(qū)動極壓電片內(nèi)電場，表示為：

將式（22）代入式（13）可得驅(qū)動極壓電片等效彈性模量為：

對等效彈性模量進行歸一化處理，定義歸一化等效彈性模量為：

為了分析等效模量對聲學超材料梁帶隙的影響，需要進一步推導得到超材料梁的等效彎曲剛度。從圖2 可以看出，超材料梁是由壓電片和基體梁形成的復合梁，其彎曲剛度可以表示為：

式中Is，Ia和Ih分別為傳感器壓電片、驅(qū)動極壓電片和基體梁的橫截面慣性矩。

超材料梁彎曲剛度受到電路放大倍數(shù)λ的影響，為了方便分析，將復合梁的等效彎曲剛度對λ=0 的值進行歸一化處理得：

2 算例與討論

算例中，壓電聲學超材料基體梁為鋁，壓電片材料為PZT-5H。元胞幾何參數(shù)如下：元胞晶格常數(shù)為40 mm；基體梁寬度為20 mm，厚度為2 mm；壓電片長度為30 mm，厚度為0.5 mm，寬度為20 mm，傳感極和驅(qū)動極的寬度都為6 mm，傳感極與驅(qū)動極之間留有1 mm 間隙。電路參數(shù)中，L=0.8 H。

采用文中帶隙計算方法和參數(shù)計算得到諧振放大壓電聲學超材料梁能帶結(jié)構(gòu)如圖4所示，分別計算了諧振放大電路開路和放大倍數(shù)情況下色散曲線的變化情況。

圖4 壓電聲學超材料能帶結(jié)構(gòu)Fig.4 Band structure of the acoustic metamaterial beam

從圖4 中可以看出，諧振放大電路開路時，壓電聲學超材料梁中沒有局域共振單元，沒有局域共振帶隙出現(xiàn)；諧振放大電路閉合，且λ=5 時，受到諧振電路的局域共振作用，壓電聲學超材料梁內(nèi)出現(xiàn)了一個局域共振帶隙，帶隙位置為831～920 Hz，帶隙寬度為89 Hz。因此，文中提出的諧振放大電路可以在梁內(nèi)產(chǎn)生局域共振帶隙。

局域共振帶隙隨放大倍數(shù)的變化如圖5所示，圖中實線為帶隙上邊界頻率，虛線為帶隙下邊界頻率。

從圖5 中可以看出，帶隙上下邊界頻率都是隨著放大倍數(shù)λ的增大而降低，但是帶隙下邊界降低得更快，因而帶隙寬度是隨著放大倍數(shù)增大而增大的，從λ=0 時的15 Hz 增大到λ=10 時的162 Hz。特別是當λ=0 時，放大電路失去作用，電路退化為普通的諧振分流電路，帶隙寬度要遠比諧振放大電路形成的帶隙寬度窄。因而，諧振放大電路經(jīng)過電壓放大后，與傳統(tǒng)諧振分流電路相比，不僅可以使諧振頻率降低，還可以大大提高帶隙寬度，形成低頻寬度帶隙。

圖5 帶隙隨放大倍數(shù)的變化Fig.5 Variation of band gap with amplification coefficient

驅(qū)動極壓電片等效彈性模量隨頻率的變化如圖6所示。從圖中可以看出，等效彈性模量隨著頻率的增大而減小，在諧振頻率附近變?yōu)樨撝挡②呌谪摕o窮大，然后跳躍到正無窮大并逐漸減小。通過對比帶隙位置和負等效模量出現(xiàn)位置，可以看出負等效模量是帶隙形成的主要原因，但受到基體梁的影響，驅(qū)動極壓電片較小的負模量還不足以形成局域共振帶隙。因而，局域共振帶隙的上邊界和負模量頻率上邊界相近，而下邊界比負模量下邊界頻率高很多。

圖6 等效彈性模量隨頻率的變化Fig.6 Variation of equivalent modulus with frequency

進一步分析超材料梁等效彎曲剛度隨頻率的變化如圖7所示。從圖中可以看出等效彎曲剛度的變化趨勢與驅(qū)動極壓電片等效彈性模量變化（參看圖6）相似，主要不同在于負剛度起始頻率比負模量起始頻率高很多，而負剛度終止頻率與負模量終止頻率相同。顯然，負剛度產(chǎn)生的區(qū)域與帶隙產(chǎn)生位置基本一致。因此，通過對壓電片等效彈性模量和梁等效彎曲剛度的分析可以發(fā)現(xiàn)：壓電片的負等效模量是帶隙形成的誘因，但是受到基體梁的影響，壓電片較小的負等效模量不足以抵消基體梁的彎曲剛度而形成負等效彎曲剛度，只有壓電片負模量增大到一定值后才能使整個復合梁呈現(xiàn)負等效剛度，這也是帶隙起始頻率要遠大于壓電片負等效模量起始頻率的原因。復合梁的負等效剛度是帶隙形成的直接原因，兩種頻率基本一致。

圖7 等效彎曲剛度隨頻率的變化Fig.7 Variation of equivalent rigidity with frequency

為了驗證帶隙計算的正確性，在商用有限元軟件中建立了10 周期壓電聲學超材料梁仿真分析模型，如圖8所示。電路放大倍數(shù)λ=5，分流電感L=0.8 H。在梁的一端施加單位幅值橫向力激勵，利用頻響分析得到梁的兩端位移幅值，計算得到0～1200 Hz 內(nèi)壓電聲學超材料梁的振動傳遞特性。

圖8 有限元仿真模型Fig.8 Finite element simulation model

為了確保有限元仿真結(jié)果可靠，分別采用不同的網(wǎng)格密度對仿真收斂性進行了分析。網(wǎng)格采用六面體二階拉格朗日插值單元，選擇三種網(wǎng)格密度進行網(wǎng)格劃分，單元數(shù)N分別為700，2240 和5610。計算得到超材料梁的振動傳遞特性如圖9所示，可以看出網(wǎng)格數(shù)為2240 和5610 計算得到結(jié)果基本一致，表明當網(wǎng)格數(shù)為2240 時結(jié)果已經(jīng)趨于收斂。

圖9 仿真收斂性Fig.9 Convergence of simulation

商業(yè)有限元軟件仿真結(jié)果與理論計算結(jié)果對比如圖10所示。其中，圖10（a）所示為理論求解元胞色散曲線得到的帶隙位置，圖10（b）所示為仿真軟件利用頻響分析得到的10 周期梁振動傳遞特性，對比兩圖可以看出，在帶隙位置振動傳遞出現(xiàn)了較大衰減，證明了帶隙對振動傳遞抑制的有效性，也驗證了文中帶隙理論計算方法的正確性。

圖10 壓電聲學超材料梁振動傳遞特性Fig.10 Vibrational transmission properties of the acoustic metamaterial beam

3 帶隙展寬特性分析

從理論分析和軟件仿真結(jié)果可以看出，諧振放大電路可以有效拓展帶隙寬度，使帶隙寬度從λ=0時的15 Hz 增大到λ=10 時的162 Hz。為了對諧振放大電路的帶隙展寬性能進行評估，進一步開展了諧振放大電路與傳統(tǒng)帶隙展開方法的性能對比分析。

壓電聲學超材料的傳統(tǒng)帶隙展寬方法主要包括帶隙耦合［17］、尺寸［17-18］及壓電片形狀［19］優(yōu)化等。帶隙耦合主要通過改變基體材料或晶格參數(shù)，使布拉格帶隙與局域共振帶隙形成耦合；尺寸及形狀優(yōu)化主要通過增大壓電片面積或改變壓電片外形，提高壓電片機電耦合能力；負電容放大電路是通過引入負電容來提高壓電片等效機電耦合系數(shù)。

針對文中一維壓電聲學超材料梁，分別采用三種方法對帶隙進行展寬，包括帶隙耦合、尺寸優(yōu)化和諧振放大。其中，帶隙耦合通過修改晶格常數(shù)實現(xiàn)布拉格帶隙與局域共振帶隙耦合，將晶格常數(shù)從40 mm 增大到75 mm；尺寸優(yōu)化通過增大壓電片長度實現(xiàn)，從30 mm 增大到40 mm；諧振放大通過改變放大倍數(shù)實現(xiàn)，放大倍數(shù)從0 增大到10。最終得到的帶隙展寬效果如表1所示，可以看出三種方法都可以展寬帶隙寬度，其中尺寸優(yōu)化效果較差，文中提出的諧振放大效果最好，帶隙耦合也產(chǎn)生了較好的效果。不同的帶隙展寬方法都有其優(yōu)缺點：帶隙耦合的優(yōu)點是不需要外部能量輸入，穩(wěn)定可靠，帶隙展寬效果較好，缺點是尺寸大，難以實現(xiàn)小尺寸控制大波長；尺寸優(yōu)化的優(yōu)點是簡單可靠，通過增大壓電片尺寸提高機電耦合能力，不需要外部能量輸入，缺點是帶隙展寬能力較差；諧振放大的優(yōu)點是帶隙展寬效果非常好，尺寸較小，調(diào)節(jié)方便，缺點是需要外部能量輸入。

表1 帶隙展寬效果對比Tab.1 Comparison of band broadening effects

因此，文中提出的諧振放大電路具有較好的帶隙展寬效果，尤其是對于結(jié)構(gòu)尺寸受限，需要利用局域共振帶隙實現(xiàn)小尺寸控制大波長的時候，諧振放大具有非常大的優(yōu)勢。

4 結(jié)論

本文提出了一種諧振放大壓電聲學超材料梁，將壓電片劃分為傳感極和驅(qū)動極，傳感極輸出電壓經(jīng)過運算放大電路放大，然后與諧振電路相連，實現(xiàn)局域共振效果的增強，從而增大帶隙寬度。與傳統(tǒng)壓電分流聲學超材料相比，諧振放大壓電聲學超材料梁增加了電壓放大環(huán)節(jié)，可以有效增強諧振回路的局域共振效果，改善帶隙寬度。隨著放大倍數(shù)的增大，帶隙寬度從λ=0時的15 Hz增大到λ=10時的162 Hz。等效模量分析結(jié)果表明負等效模量是帶隙形成的主要原因，但較小的負模量不足以形成局域共振帶隙，局域共振帶隙的上邊界和負模量頻率上邊界相近，而下邊界比負模量下邊界頻率高很多。最后，利用商用有限元軟件仿真分析了有限周期壓電聲學超材料梁的振動傳遞特性，在帶隙位置振動傳遞特性出現(xiàn)了較大衰減，證明了帶隙對振動傳遞抑制的有效性，也驗證了文中帶隙計算方法的正確性。