各向異性電介質(zhì)靜電場(chǎng)泊松方程的變分問題

李文略

（嶺南師范學(xué)院 基礎(chǔ)教育學(xué)院，廣東 湛江 524037）

各向異性電介質(zhì)（限于僅有3個(gè)正交主軸方向的電介質(zhì)）靜電場(chǎng)的泊松方程是研究各向異性電介質(zhì)靜電場(chǎng)屬性的微分方程。已有相關(guān)的一些文獻(xiàn)研究解泊松方程的方法（如分離變量法、積分變換法）并結(jié)合具體的物理模型對(duì)各向異性電介質(zhì)靜電場(chǎng)屬性進(jìn)行了研究或?qū)⒉此煞匠套餍聭?yīng)用[1-9]。本文不從解泊松方程的具體方法技巧入手，而是根據(jù)對(duì)稱正定算子方程的變分原理[10]去構(gòu)造泛函，從泛函的角度去理解各向異性電介質(zhì)靜電場(chǎng)的泊松方程的物理意義。所構(gòu)造的泛函取得極值的變分問題與各向異性電介質(zhì)靜電場(chǎng)泊松方程的第一和第二邊值問題等價(jià)，稱為各向異性電介質(zhì)靜電場(chǎng)泊松方程的變分問題，可知在構(gòu)造相應(yīng)的泛函并應(yīng)用變分原理時(shí)，就自然得到了泊松方程滿足第一類或第二類齊次邊界條件。求解所構(gòu)造的泛函取得極值時(shí)，發(fā)現(xiàn)靜電勢(shì)解所滿足的奧斯特羅格萊茨基方程（奧氏方程）實(shí)質(zhì)上就是泊松方程。

1 各向異性電介質(zhì)泊松方程的兩種具體形式

式中，uξ(ξ1,ξ2,ξ3)是靜電勢(shì)，ρξ(ξ1,ξ2,ξ3)是電荷體密度。若ρξ(ξ1,ξ2,ξ3) = 0，則式（2）退化為在電各向異性坐標(biāo)系O-ξ1ξ2ξ3中拉普拉斯方程的具體形式。文中下標(biāo)或上標(biāo)是“ξ”的量表示在電各向異性坐標(biāo)系中的物理量或數(shù)學(xué)量。

2 各向異性電介質(zhì)靜電場(chǎng)泊松方程第一和第二邊值問題的變分問題

由泊松方程的變分問題可知，在靜電場(chǎng)有源的情況下泊松方程式（1）和式（2）分別是式（14）和（15）中的泛函取得極值時(shí)所滿足的必要條件，這是從泛函的視角上進(jìn)一步加深對(duì)電各向異性介質(zhì)靜電場(chǎng)泊松方程意義的理解。若靜電場(chǎng)是無源的情況，則令ρξ= 0或ρ= 0代入式（14）或式（15）中，即可將電各向異性介質(zhì)靜電場(chǎng)的拉普拉斯方程第一和第二邊值問題轉(zhuǎn)化與之等價(jià)的變分問題。

3 各向異性電介質(zhì)靜電場(chǎng)的能量密度泛函

泊松方程變分問題中的泛函式（15）所表達(dá)的物理含義表面上不明顯，但只要稍作改造會(huì)發(fā)現(xiàn)該泛函實(shí)質(zhì)上表達(dá)了各向異性電介質(zhì)靜電場(chǎng)的能量概念。設(shè)各向異性電介質(zhì)主軸坐標(biāo)系O-x1x2x3中x1、x2和x3方向的三個(gè)單位基矢量分別為i1、i2和i3，記主軸坐標(biāo)系為χ=(i1i2i3)，χT為χ的轉(zhuǎn)置形態(tài)。由靜電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)的梯度關(guān)系，得

4 結(jié)論

先在電各向異性坐標(biāo)系中研究各向異性電介質(zhì)靜電場(chǎng)的屬性（如物理量或微分方程），再將該屬性通過坐標(biāo)變換到主軸坐標(biāo)系中來描述，是常用的數(shù)學(xué)處理方法，該方法簡(jiǎn)便且實(shí)用。本文先在電各向異性坐標(biāo)系O-ξ1ξ2ξ3中討論對(duì)稱正定算子方程的變分原理，得到泛函的核函數(shù)式（9），再通過坐標(biāo)變換將該核函數(shù)轉(zhuǎn)化為在各向異性電介質(zhì)主軸坐標(biāo)系O-x1x2x3中的核函數(shù)式（12），進(jìn)一步寫出泛函的表達(dá)式（13），最后得到由式（15）描述的在主軸坐標(biāo)系中與泊松方程第一和第二邊值問題等價(jià)的泊松方程的變分問題。

對(duì)泊松方程變分問題中泛函式（13）做進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)該泛函式具有靜電場(chǎng)的能量意義。由泛函式（18）的核函數(shù)出發(fā)，定義了各向異性電介質(zhì)靜電場(chǎng)的能量密度概念，從而推導(dǎo)出能量密度泛函式（19）。在泛函的角度上得到了關(guān)于各向異性電介質(zhì)靜電場(chǎng)泊松方程的新理解，泊松方程式（1）是使能量密度泛函式（19）取得極值的必要條件，泊松方程的電勢(shì)解是能量密度泛函取得極值的極值函數(shù)。