基于動力學縮比和傳遞矩陣法的水平井基頻求解方法

尹宜勇， 白翰欽， 曲從鋒， 劉 歡， 王國強， 王 通， 朱文佳

(1.中國農(nóng)業(yè)大學工學院，北京 100083； 2.中國石油集團工程技術研究院有限公司，北京 102206)

頁巖氣革命已經(jīng)深刻改變了世界能源格局[1]，世界主要資源國都加大了頁巖氣勘探開發(fā)力度[2]，其開發(fā)需要大力發(fā)展水平井鉆完井技術[3]。傳統(tǒng)的水平井固井環(huán)節(jié)中，由于水平段水泥漿在上返環(huán)空時易出現(xiàn)流體流動性差、頂替效率較低等現(xiàn)象，導致水泥環(huán)存在局部虛空段，在壓裂液冷卻套管時會使得水泥虛空段中束縛高壓流體收縮，壓力急劇下降，進而導致長半徑水平井套變問題。而隨著振動理論的發(fā)展和不斷深入，研究者對振動技術在套管、鉆井液和水泥漿等方面的應用進行了系統(tǒng)研究[4-7]，多種振動固井工具和裝備廣泛用于提升固井質量[8-10]，這對于頁巖氣水平井固井質量的提升有重要意義[11]。在振動技術的應用中，實現(xiàn)共振是核心，而基頻即第一階固有頻率是共振作業(yè)的關鍵參數(shù)。需要對水平井套管柱基頻的求解方法進行研究，常規(guī)的計算方法難以與實際水平井套管柱相結合，且不易驗證，多偏向于理論性的規(guī)律研究，而相似模型理論很好地解決了這一問題。目前在管道固有頻率研究方面，常用的數(shù)值分析方法有伽遼金法[12-13]、微分變換法[14]、微分求積法[15-16]等。邢靜忠等[17]以懸跨管道靜彎曲撓度為振型函數(shù),用能量法求解了第一階固有頻率；張挺等[18]運用廣義有限差分法對輸流直管道進行離散，建立了管道振動微分方程，研究成果吻合良好。閆行等[19]假定井下管柱為長直管柱，研究得到了管柱振動效果變化規(guī)律。在相似模型理論研究方面，管志川等[20]將基于相似理論的物理模型應用于石油工程問題，通過模型試驗獲得了可靠的試驗結果。陳喆等[21]運用所推導的動力學相似關系可以準確預估實際結構的動力學特性。王永振等[22]基于縮比模型，對懸索跨越管橋結構進行分析。傳統(tǒng)的管道頻率研究大都著眼于直管，少有關于頁巖氣工程中的彎曲套管柱振動特性的研究，且常規(guī)原型試驗代價過大，難以普遍應用。筆者針對水平井中的懸臂彎曲管道，建立試驗模型，結合質量集中法對縮比試驗模型進行離散，運用傳遞矩陣法對縮比管道模型的基頻進行求解，建立一種針對水平井彎曲管道的基頻數(shù)值計算模式。

1 水平井動力學縮比模型

運用物理模型相似理論，建立水平井套管柱縮比模型。

將水平井套管柱各項參數(shù)進行量綱化處理[23]，套管外徑D和套管長度l和套管內(nèi)徑d的量綱為L，彈性模量E、套管質量M、套管密度ρ、截面慣性矩I、套管重力G、套管斜角α和固有頻率P的量綱分別為ML-1T-2、M、ML-3、L4、MLT-2、M0L0T0和T-1。這些物理量符合一定的函數(shù)關系式，即

f(D，d，l，E，M，ρ，I，G，α，P)=0.

(1)

影響水平井管道振動特性的參數(shù)有10個，為簡化求解過程，將量綱相等的量用統(tǒng)一量綱代替。則式(1)轉化為

f(l，E，M，ρ，I，F(xiàn)，T)=0.

(2)

套管柱振動系統(tǒng)的量綱矩陣如表1所示。

表1 套管柱振動系統(tǒng)量綱矩陣

由量綱矩陣可得

M:a2+a3+a4+a6=0,

(3)

L:a1-a2-3a3+4a5+a6=0,

(4)

T: -2a2-2a6-a7=0.

(5)

由式(3)～(5)可以看出，未知量有7項，為提高求解效率，將未知量中的3項轉化為用其余4項表示的多項式。將式中的a1、a2和a3表示為含有a4、a5、a6、a7的函數(shù)，可得

a1=-3a4-4a5-2a6+a7,

(6)

(7)

(8)

選擇基本量綱為質量[M]、長度[L]、時間[T]，故由式(6)～(8)可知相似準則數(shù)為7-3=4個。運用01取值法，將a4、a5、a6、a7依此取0或1,對a1、a2、a3進行計算，則有

當a4=1，a5=a6=a7=0時，a1=-3，a2=0，

a3=-1;

當a5=1，a4=a6=a7=0時，a1=-4，a2=0，

a3=0;

當a6=1，a4=a5=a7=0時，a1=-2，a2=-1，

a3=0;

依據(jù)π定理，可得表2。

表2 無量綱量分析

由相似準則第三定理，可得無量綱量表達式為

(9)

(10)

(11)

(12)

式(9)～(12)中右側即為相似準則，對于縮比模型與原型應保持相似準則相等，表示為

(13)

(14)

(15)

(16)

式中，下標m和n分別表示縮比模型和原型的物理參數(shù)；C為原型與縮比模型的相似關系。

水平井套管柱振動特性的物理量之間的相似關系為

(17)

式中，CL和CI分別為原型與縮比模型的幾何參數(shù)比和截面慣性矩比；CE為原型使用材料與縮比模型使用材料的彈性模量比；CM和Cρ分別為原型材料與縮比模型材料的質量比和密度比；CF為原型與縮比模型對應力的參數(shù)比；CT為原型與縮比模型的固有頻率之比。

由式(16)可得固有頻率的相似變換算式為

(18)

式中，Tn和Tm分別為原型和縮比模型的固有頻率。

若取CL=10∶1，原型的主要材料為35CrMo；其性能參數(shù)為：彈性模量206 GPa,密度7.85 g /cm3，泊松比0.3，抗拉強度985 MPa，屈服強度835 MPa，硬度229 HB。

縮比模型管道材料選為06Cr19Ni10，其性能參數(shù)為：彈性模量193 GPa,密度7.93 g /cm3，泊松比0.28，抗拉強度520 MPa，屈服強度205 MPa，硬度187 HB。

將幾何尺寸參數(shù)、材料特性等參數(shù)代入式(18)中，可得實際工程中套管柱的固有頻率Tn與縮比模型的固有頻率Tm之間的對應比例為

若原型材料為35CrMo，模型材料為06Cr19Ni10，原型與模型的尺寸比為10∶1，原型管道與試驗模型管道固有頻率相似比可確定為9.63。則可通過相似模型對頁巖氣管道的振動特性進行研究，利用相似轉換關系式將相似模型振動特性轉換為原型振動特性，并應用于振動固井工程實際。

2 縮比模型基頻求解方法

2.1 縮比模型簡化

水平井套管柱縮比模型屬于連續(xù)系統(tǒng)，通過質量集中法對縮比模型進行簡化。集中質量法又稱為凝聚參數(shù)法或集中質量-彈簧法，是一種應用離散思想對細長的桿件或纜索等對象進行分段處理的方法。段與段之間通過有質量的節(jié)點連接，段是沒有質量的且被看作是剛體或彈性體。對縮比模型的離散如圖1所示。

圖1 縮比模型離散化示意圖

2.2 傳遞矩陣推演

2.2.1 點矩陣

對于縮比模型的無曲率變化部分，取離散段中的第i個子系統(tǒng)，對子系統(tǒng)中特征單元i進行力學分析。如圖2、3所示，對無曲率變化的子系統(tǒng)li、li+1及特征單元i進行受力分析。

圖2 縮比模型無曲率變化離散形式子系統(tǒng)

對于特征單元i，其質量為mi，忽略其轉動慣量，只作橫向簡諧振動。由位移連續(xù)條件，可得特征單元i左右兩側撓度ω和角度θ關系式為

(19)

(20)

結合圖3受力分析與振動力學原理，可得

圖3 第i個特征單元受力分析(無曲率變化)

(21)

(22)

(23)

式中，f為系統(tǒng)固有頻率。

將式(23)代入式(22)，得

(24)

聯(lián)立式(19)～(21)和(24)，轉化為矩陣形式，可得

(25)

式(25)中，等號兩側的兩個列向量分別為特征單元i左右兩側的狀態(tài)向量，右側中的矩陣即為縮比模型的無曲率變化部分的點矩陣[D]i。

同理，如圖4、5所示，對有曲率變化處的子系統(tǒng)li、li+1及特征單元i進行受力分析。

圖4 縮比模型有曲率變化離散形式子系統(tǒng)

圖5 第i個特征單元受力分析(有曲率變化)

由圖4、5可得特征單元關系式為

(26)

(27)

(28)

(29)

式中，α為折彎處特征單元i的折彎角。

聯(lián)立式(26)～(29)，轉化為矩陣形式，可得

(30)

其中等號兩側的兩個列向量分別為特征單元i左右兩側的狀態(tài)向量，右側中的矩陣即為前文中的點矩陣[D]i。

2.2.2 場矩陣

如圖6所示，結合離散段中的第i個子系統(tǒng)(li)，進行該系統(tǒng)在長度-撓度坐標系中左右兩端的受力分析。

圖6 第i個子系統(tǒng)受力分析

由于整個物理系統(tǒng)經(jīng)過集中質量法的離散處理后，子系統(tǒng)段的自身質量忽略不計，故可得

(31)

(32)

其中

li=xixi-1.

式中，li為單元系統(tǒng)長度。

均勻梁的彎曲變形表達式為

(33)

式中，M(x)為截面彎矩。

由式(31)可得，

(34)

故可得

(35)

(36)

設x=xi，代入式(36)，可得xi處的位移θi(x)和撓度ωi(x)，由此可推出子系統(tǒng)左右兩端的撓度與轉角為

(37)

(38)

將式(31)、(32)、(37)和(38)聯(lián)立，并將聯(lián)立式轉化為矩陣形式，可得

(39)

其中等號兩側的兩個列向量分別為子系統(tǒng)i左右兩端的狀態(tài)向量，右側中的列陣即為前文中的場傳遞矩陣[S]i。

2.2.3 總傳遞矩陣

由懸臂梁形式下的點矩陣[D]i和場矩陣[S]i，將式(25)、(30)分別代入式(39)，可得第i個和第i-1個特征單元右側的兩個狀態(tài)向量的關系式為

(40)

懸臂梁條件下直管部分傳遞矩陣[T]i為

(41)

懸臂梁條件下彎管部分傳遞矩陣[T]i為

[T]i=

(42)

對于懸臂梁形式的離散結構，只要能求出各段的傳遞矩陣[T]i，即可建立梁上各點狀態(tài)向量之間的關系，最后得到總傳遞關系[T]。

2.3 基頻求解

2.3.1 邊界條件

(43)

由第三行和第四行得

(44)

(45)

式(45)為關于f2的多項式方程，通過對此方程的求解可獲得水平井縮比物理模型的固有頻率。

2.3.2 實例計算

為驗證所提出的基于傳遞矩陣法的基頻計算方法的準確性，對縮比模型進行數(shù)值計算，并與后續(xù)模態(tài)試驗結果進行比對。

如圖7所示，針對懸臂梁形式，分別對不同離散狀態(tài)的3種對比模型和縮比模型進行基頻計算，離散質量點數(shù)依次為7、9、15、15。

圖7 試驗模型離散狀態(tài)

對于圖7中(c)和(d)，同為15個質量點的離散狀態(tài)，其中圖7中(c)為等曲率對比試驗模型，離散為等角度變化的15個質量點；圖7中(d)為縮比模型，將彎曲部分離散成7個質量點，等角度變化；直桿部分離散為8個質量點，無角度變化。

本算例依據(jù)縮比模型進行計算，其基本參數(shù)為：模型外徑D=16 mm，內(nèi)徑d=14 mm，模型總長L=1 000 mm，離散轉角θ分別取45°、30°和15°，材料彈性模量E=196 GPa，材料密度ρ=7.93 kg/m3。

對3種不同離散程度的對比試驗模型進行離散計算，然后對縮比模型連續(xù)管道進行計算，分別得到不同離散狀態(tài)下的基頻，計算結果如表3所示。

表3 數(shù)值計算基頻

3 試 驗

3.1 試驗平臺搭建

縮比模型振動特性試驗平臺總體結構如圖8所示。

圖8 縮比模型振動特性試驗平臺

設計搭建縮比模型參數(shù)如表4所示。

表4 縮比模型參數(shù)

3.2 模態(tài)試驗結果

試驗平臺搭建如圖9所示，主要使用的儀器有DASP V11振動數(shù)據(jù)采集分析儀、加速度傳感器、振動敲擊錘、數(shù)據(jù)傳輸線、控制電腦等。

圖9 試驗現(xiàn)場及設備

如表5所示，通過對3種對比模型和縮比模型的管道進行敲擊試驗，獲得了對比模型和縮比模型的基頻。

表5 三種對比模型和縮比模型的基頻

對比傳遞矩陣法對縮比模型基頻的數(shù)值求解結果，如表6所示。由表6可知，傳遞矩陣法能夠有效求解縮比模型的固有頻率，誤差均小于5%，精度滿足工程要求。同時對比離散程度，如圖10所示，發(fā)現(xiàn)隨著管道離散質量點數(shù)增加，數(shù)值計算結果與實際連續(xù)體的試驗結果不斷接近，離散質量點數(shù)從7、9至15、15，數(shù)值計算結果與試驗結果誤差從114%、89.9%、44.1%縮小至2.3%，計算精度逐漸提高。

表6 試驗與計算結果誤差

圖10 計算誤差變化趨勢

4 結 論

(1)傳遞矩陣法求解獲得的基頻與試驗測得的數(shù)據(jù)較接近，誤差小于10%，計算精度滿足工程要求，此方法可以對縮比管道的基頻進行有效求解。

(2)隨著管道離散質量點數(shù)增加，離散系統(tǒng)越小，數(shù)值計算結果越精確，與連續(xù)彎曲管道試驗結果越接近；對比不同質量點數(shù)的數(shù)學模型，離散模型越接近試驗模型，數(shù)值計算結果精度明顯提升，誤差降低至2.3%。

(3)通過振動試驗驗證了所提出方法的可行性與準確性；當前模型相似理論發(fā)展較成熟，對于數(shù)千米套管，可依據(jù)相似理論建立理論模型，無需實體模型即可完成計算。