基于KL散度的含儲(chǔ)能機(jī)組組合分布魯棒優(yōu)化方法

夏蕾，楊蕾，王國(guó)卉，劉忠，蘇晨飛，霍剛

(1.國(guó)網(wǎng)河南營(yíng)銷服務(wù)中心(計(jì)量中心)，鄭州 450000； 2.國(guó)網(wǎng)河南省電力公司新鄉(xiāng)供電公司，河南 新鄉(xiāng) 453000； 3.許繼電氣股份有限公司河南營(yíng)銷服務(wù)中心，河南 許昌 461000)

0 引 言

為了促進(jìn)能源向低碳化轉(zhuǎn)型，實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展，近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外大力發(fā)展風(fēng)電、光伏等新能源，其裝機(jī)容量占比日益提高。然而，其間歇性和波動(dòng)性給電力系統(tǒng)的機(jī)組組合、經(jīng)濟(jì)調(diào)度等諸多方面帶來(lái)了不利影響[1-2]。電池儲(chǔ)能技術(shù)由于配置靈活、調(diào)節(jié)性能好等特點(diǎn)，成為解決新能源并網(wǎng)問(wèn)題的有效途徑之一[3]。

電池儲(chǔ)能的能量和功率根據(jù)不同的應(yīng)用場(chǎng)景靈活配置，具有響應(yīng)速度快、不受地理?xiàng)l件限制，使得其在集中/分布式新能源并網(wǎng)、調(diào)峰調(diào)頻輔助服務(wù)等方面發(fā)揮了關(guān)鍵作用[4]。電池儲(chǔ)能如何更好地融入的電力系統(tǒng)日前機(jī)組組合成為研究的焦點(diǎn)。文獻(xiàn)[5]建立了含儲(chǔ)能的機(jī)組組合雙層優(yōu)化模型：上層以機(jī)組組合成本最小化為目標(biāo)，下層問(wèn)題以儲(chǔ)能的輔助服務(wù)收益最大化為目標(biāo)，通過(guò)上下層之間的協(xié)調(diào)得出儲(chǔ)能的經(jīng)濟(jì)性充放電曲線，但沒(méi)有計(jì)及風(fēng)電的不確定性因素。文獻(xiàn)[6]采用信息間隙決策理論來(lái)處理風(fēng)電出力的不確定性，建立了電池儲(chǔ)能與風(fēng)電場(chǎng)聯(lián)合運(yùn)行的機(jī)組組合模型，然而信息間隙決策理論是類模擬蒙特卡洛的場(chǎng)景法，導(dǎo)致優(yōu)化時(shí)間長(zhǎng)，且調(diào)度計(jì)劃僅是局部最優(yōu)。文獻(xiàn)[7]為了克服場(chǎng)景法耗時(shí)長(zhǎng)的缺點(diǎn)采用優(yōu)化Kriging代理模型較來(lái)減少場(chǎng)景，但沒(méi)有計(jì)及電池儲(chǔ)能。文獻(xiàn)[8]采用機(jī)會(huì)約束優(yōu)化方法求解含風(fēng)電的機(jī)組組合模型，仍然沒(méi)有計(jì)及電池儲(chǔ)能。文獻(xiàn)[6-8]中的隨機(jī)優(yōu)化方法雖然通過(guò)典型場(chǎng)景獲得較為可靠的機(jī)組組合結(jié)果，但典型場(chǎng)景的代表性和全局性難以獲得精確可靠的機(jī)組組合計(jì)劃[9]。魯棒機(jī)組組合[10-11]是所有可能出現(xiàn)場(chǎng)景下，尋求滿足約束條件并且使得最惡劣場(chǎng)景下的機(jī)組組合成本最小，其不需要采樣來(lái)模擬風(fēng)電場(chǎng)的出力分布，但魯棒機(jī)組組合計(jì)劃太過(guò)保守。

近十年來(lái)，分布魯棒優(yōu)化(Distributionally Robust Optimization，DRO)[12-13]較好地解決了上述隨機(jī)優(yōu)化和魯棒優(yōu)化存在的保守性和可靠性的矛盾。DRO通過(guò)假定不確定性參數(shù)服從可能的概率分布函數(shù)集合，尋求在概率分布集合下的最惡劣場(chǎng)景下的最優(yōu)解。文獻(xiàn)[14]采用非精確狄利克雷模型來(lái)描述風(fēng)電出力的模糊集，建立了針對(duì)風(fēng)電出力分布不確定性的分布魯棒機(jī)組組合優(yōu)化模型，采用改進(jìn)的列與約束生成算法求解。文獻(xiàn)[15]基于矩信息模糊集來(lái)描述風(fēng)電出力的分布不確定性，建立了機(jī)組組合的分布魯棒機(jī)會(huì)約束模型，求解得到的機(jī)組組合結(jié)果兼具了可靠性和經(jīng)濟(jì)性。但文獻(xiàn)[14-15]中均沒(méi)有考慮儲(chǔ)能對(duì)機(jī)組組合的影響，為此，文獻(xiàn)[16]建立了考慮風(fēng)電場(chǎng)間風(fēng)電出力預(yù)測(cè)誤差相關(guān)性的模糊集，建立了考慮儲(chǔ)能的分布魯棒機(jī)組組合模型，但相關(guān)性的聚類過(guò)程中涉及到的聚集因子需要人為設(shè)置，對(duì)優(yōu)化迭代過(guò)程影響較大，有時(shí)得不到可靠解。

針對(duì)上述含儲(chǔ)能的分布魯棒機(jī)組組合研究現(xiàn)狀的不足，采用Kullback-Leibler (KL)[17-18]散度來(lái)構(gòu)建風(fēng)電場(chǎng)出力不確定性的模糊集，形成基于DRO的含儲(chǔ)能機(jī)組組合的兩階段優(yōu)化模型，通過(guò)對(duì)偶變換和廣義Benders分解方法將兩階段優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化成易于求解的混合整數(shù)凸優(yōu)化模型進(jìn)行求解。在改進(jìn)的IEEE RTS 24節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提出的DRO方法的有效性和優(yōu)越性。

1 電池儲(chǔ)能模型

文中考慮將電池儲(chǔ)能系統(tǒng)(Battery Energy Storage System, BESS)嵌入到傳統(tǒng)的機(jī)組組合模型，建立含儲(chǔ)能的機(jī)組組合模型。電池儲(chǔ)能的運(yùn)行狀態(tài)主要有充電狀態(tài)、放電狀態(tài)、靜止?fàn)顟B(tài)，因此，根據(jù)三種運(yùn)行狀態(tài)的不同，通用的電池儲(chǔ)能運(yùn)行模型主要由能量平衡方程、充放電約束、容量約束、充放電狀態(tài)約束、旋轉(zhuǎn)備用約束組成。依次介紹如下:

(1)能量平衡方程。

(1)

(2)充放電約束。

(2)

(3)

(4)

(5)

(3)容量約束。

(6)

(4)充放電狀態(tài)約束。

(7)

(5)旋轉(zhuǎn)備用約束。

(8)

(9)

2 含儲(chǔ)能電池的機(jī)組組合模型

文中以最小化所有火電機(jī)組的運(yùn)行費(fèi)用之和為目標(biāo)，火電機(jī)組的運(yùn)行費(fèi)用包括開(kāi)停機(jī)費(fèi)用與發(fā)電燃料消耗費(fèi)用，即：

(10)

式中ui,t為第i個(gè)火電機(jī)組在t的運(yùn)行狀態(tài)0-1變量；N為系統(tǒng)機(jī)組總數(shù)；T為調(diào)度周期；Si為第i個(gè)火電機(jī)組的啟動(dòng)成本；Fi(pi,t)為第i個(gè)火電機(jī)組的燃料成本，可以表示pi,t的一個(gè)二次函數(shù)。式(10)可以采用文獻(xiàn)[18]中的分段線性方法將其進(jìn)行線性化，這里不在贅述。

含儲(chǔ)能的機(jī)組組合優(yōu)化模型的約束條件除樂(lè)第一節(jié)介紹的BESS約束外，還包括系統(tǒng)的功率平衡約束、系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)備用約束、機(jī)組爬坡約束(參考文獻(xiàn)[19]中的機(jī)組爬坡約束，這里不在贅述)、BESS充放電次數(shù)約束、BESS附加能量約束、直流潮流約束組成。依次介紹如下：

(1)系統(tǒng)的功率平衡約束。

(11)

(2)系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)備用約束。

(12)

式中Pi,max為第i個(gè)機(jī)組的最大出力;ρ為系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)備用比例。

(3)BESS充放電次數(shù)約束。

(13)

(4)BESS附加能量約束。

|Em,0-Em,T|≤αEm,0

(14)

式中α為第m個(gè)BESS在一個(gè)調(diào)度周期后允許的能量差比值。

(5)直流潮流約束。

-PLmax≤BdiagLB-1[PG+PW-(PD+pc-pd)]≤PLmax

(15)

(16)

式中cTy為機(jī)組運(yùn)行的固定成本，包括機(jī)組的啟停成本和成本曲線的常數(shù)部分；H(y,v)為在固定機(jī)組組合解且風(fēng)電場(chǎng)輸出功率波動(dòng)發(fā)生后，機(jī)組出力對(duì)應(yīng)的可變成本，可用如下矩陣形式描述：

(17)

式中h(v)為含風(fēng)電場(chǎng)出力的函數(shù)向量。進(jìn)一步，引入θ將式(17)改寫為如下形式：

(18)

因此，含儲(chǔ)能的機(jī)組組合兩階段優(yōu)化模型由式(16)和式(18)組成。

3 基于KL的兩階段分布魯棒機(jī)組組合優(yōu)化方法

3.1 基于KL散度的模糊集構(gòu)建

在不考慮風(fēng)電場(chǎng)不確定性的情況下，含儲(chǔ)能的機(jī)組組合是一個(gè)混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，可以高效求解。然而，風(fēng)電場(chǎng)出力具有隨機(jī)性和波動(dòng)性，在機(jī)組組合問(wèn)題中如果忽略不確定性的影響，可能導(dǎo)致決策結(jié)果不可靠。因此，采用基于KL散度[18]來(lái)建立風(fēng)電場(chǎng)出力的模糊集。KL定義為實(shí)際風(fēng)電場(chǎng)的概率分布P與經(jīng)驗(yàn)性分布P0之間的距離，可表示為：

(19)

式中Ω為概率空間。因此，可以通過(guò)設(shè)置不同的KL散度值來(lái)調(diào)整實(shí)際風(fēng)電場(chǎng)的概率分布P與經(jīng)驗(yàn)性分布P0之間的距離，進(jìn)而控制實(shí)際風(fēng)電場(chǎng)的概率分布P的范圍，得到優(yōu)化機(jī)組組合模型的保守性，得到更加可靠的優(yōu)化結(jié)果。

引入KL散度允許值η來(lái)構(gòu)造風(fēng)電場(chǎng)出力的模糊集，如下所示：

P={P∈D:DKL(P‖P0)≤η}

(20)

因此，基于KL散度的含儲(chǔ)能的機(jī)組組合分布魯棒優(yōu)化模型第一階段優(yōu)化模型如下：

(21)

式中的目標(biāo)函數(shù)表示在最壞概率分布下求期望下機(jī)組組合成本最小。

風(fēng)電場(chǎng)出力的模糊集P的確定的關(guān)鍵在于確定經(jīng)驗(yàn)性分布P0。通過(guò)風(fēng)電場(chǎng)出力的歷史數(shù)據(jù)得到相對(duì)預(yù)測(cè)誤差值，采用蒙特卡洛抽樣和縮減場(chǎng)景法來(lái)獲取風(fēng)電場(chǎng)出力數(shù)據(jù)的樣本(v1,v2,…,vN)，得到經(jīng)驗(yàn)性分布P0的概率為：

(22)

3.2 分布魯棒機(jī)組組合模型求解方法

3.1節(jié)建立的式(21)中的目標(biāo)函數(shù)不能直接求解，需要進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為通用的求解器優(yōu)化模型形式。考慮經(jīng)驗(yàn)性分布P0的離散概率已知，式(21)中的最大期望值部分等價(jià)轉(zhuǎn)化為：

(23)

式中Hs為H(y,vs)的簡(jiǎn)寫；ρ′為實(shí)際風(fēng)電場(chǎng)的概率分布P在場(chǎng)景s下的概率。

根據(jù)對(duì)偶理論可知，式(23)的對(duì)偶函數(shù)為：

(24)

式中α、v為對(duì)偶變量。則式(23)轉(zhuǎn)化為：

(25)

假設(shè)v*為v的最優(yōu)解，根據(jù)費(fèi)馬定理可以得到v*滿足以下條件：

(26)

則求解得到v*為：

(27)

進(jìn)一步將式(26)和式(27)代入到式(25)中，得到：

(28)

因此，式(21)最終轉(zhuǎn)化為一個(gè)單層優(yōu)化目標(biāo)，即：

(29)

根據(jù)風(fēng)電場(chǎng)出力的經(jīng)驗(yàn)性分布P0的樣本數(shù)據(jù)(v1,v2,…,vN)獲得相應(yīng)的概率(ρ1,ρ2,…,ρN)，結(jié)合式(29)可以將第二階段優(yōu)化模型離散化得到于KL散度的含儲(chǔ)能的機(jī)組組合分布魯棒優(yōu)化模型，如下：

(30)

模型式(30)是一個(gè)規(guī)模的混合整數(shù)非線性規(guī)劃問(wèn)題，直接求解有一定的困難。文中采用廣義Benders分解方法求解問(wèn)題式(30)。分解方法的思想是將問(wèn)題中的變量以連續(xù)和離散性質(zhì)進(jìn)行分解。將式(30)分解為以下主問(wèn)題式(31)和子問(wèn)題式(32)：

(31)

(32)

主問(wèn)題式(31)中忽略了cTyk，因此，主問(wèn)題式(31)的求解域中={α,θs,xs,s=1,2,…,S|α≥0}。子問(wèn)題式(32)中Ip、Iq為兩個(gè)指標(biāo)集合；為拉格朗日乘子；為支撐函數(shù)。

4 仿真分析

采用如圖1所示的IEEE RTS 24節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)作為測(cè)試系統(tǒng)，風(fēng)電場(chǎng)接入母線19，相關(guān)參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)[20]。系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)備用比例設(shè)為5%，2個(gè)BEES依次接入測(cè)試系統(tǒng)的3、 20，每個(gè)BEES的額定容量為200 MW·h，額定功率為40 MW，BEES的充放電效率分別為0.95和0.92。假設(shè)每個(gè)BESS中的初始存儲(chǔ)能量為總?cè)萘康?0%，并且在一天結(jié)束時(shí)，剩余能量的最大允許變化設(shè)置為總能量容量的±5%。KL散度允許值η設(shè)為0.3。調(diào)度周期間隔Δt為1 h。在本節(jié)中，所有測(cè)試都在計(jì)算機(jī)(Intel Core i5-8250U 1.8GHz CPU、8GB RAM)上執(zhí)行。用Matlab R2018a 編寫程序，CPLEX12.5.1 結(jié)合YALMIP 進(jìn)行求解。

圖1 IEEE RTS 24節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of IEEE RTS 24-bus system

假設(shè)風(fēng)電場(chǎng)出力預(yù)測(cè)誤差的真實(shí)分布服從均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為0.1的正態(tài)分布，采用蒙特卡洛抽樣方法生成1 000個(gè)數(shù)據(jù)樣本，采用場(chǎng)景縮減法將1 000個(gè)風(fēng)電場(chǎng)輸出功率場(chǎng)景集削減為如圖2所示包含10個(gè)風(fēng)電場(chǎng)輸出功率場(chǎng)景的典型場(chǎng)景集，風(fēng)電場(chǎng)輸出功率場(chǎng)景發(fā)生概率見(jiàn)表1。

圖2 風(fēng)電場(chǎng)輸出功率場(chǎng)景的典型場(chǎng)景集Fig.2 Typical scenario set of wind farm output power scenarios

表1 風(fēng)電場(chǎng)輸出功率場(chǎng)景發(fā)生概率Tab.1 Scenario occurrence probability of wind farm output power

為了對(duì)比所提出的基于KL的兩階段分布魯棒機(jī)組組合優(yōu)化方法(DRO)的優(yōu)越性，采用魯棒優(yōu)化方法(RO)和隨機(jī)優(yōu)化方法(SO)作為對(duì)比，其具體的求解的模型如下：

(33)

(34)

表2比較了SO、RO、DRO三種不同優(yōu)化方法得到的含儲(chǔ)能的機(jī)組組合各個(gè)成本結(jié)果。從表1中可以看出，SO和DRO的含儲(chǔ)能的機(jī)組組合總成本具有相近的值，其中RO得到的機(jī)組組合總成本最大。這是因?yàn)镽O只考慮了第二階段問(wèn)題中最壞的情況，其在第二階段的目標(biāo)值也是最大的。DRO獲得的啟動(dòng)成本和燃料成本均小于RO的結(jié)果。DRO是一類結(jié)合了SO和RO的優(yōu)點(diǎn)，使得其獲得機(jī)組組合結(jié)果沒(méi)有RO的那么保守。

表2 三種優(yōu)化方法的機(jī)組組合成本比較Tab.2 Comparison of unit commitment cost of three optimization methods

進(jìn)一步，比較了RO和DRO方法求解含儲(chǔ)能的機(jī)組組合開(kāi)停機(jī)結(jié)果，如表3所示：其中“/”前面表示RO求得的機(jī)組組合開(kāi)停機(jī)結(jié)果；“/”后面表示DRO方法求得的機(jī)組組合開(kāi)停機(jī)結(jié)果。

表3 RO和DRO方法的機(jī)組組合開(kāi)停機(jī)結(jié)果比較Tab.3 Comparison of unit commitment startup and shutdown results of RO and DRO methods

由表3可知，RO方法在一天調(diào)度周期內(nèi)的10臺(tái)機(jī)組總的開(kāi)機(jī)總時(shí)長(zhǎng)為121 h，DRO方法在一天調(diào)度周期內(nèi)的10臺(tái)機(jī)組總的開(kāi)機(jī)總時(shí)長(zhǎng)116 h，RO方法在時(shí)段7、12、16、17、18、20和22比DRO方法開(kāi)機(jī)數(shù)目多1。與DRO相比，RO在調(diào)度周期需要開(kāi)啟更多的機(jī)組提供足夠的系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)備用容量保證運(yùn)行可靠性，但也會(huì)導(dǎo)致機(jī)組組合成本的增加。

圖3給出20節(jié)點(diǎn)母線處的BESS的充放電過(guò)程，從圖3中荷電狀態(tài)(SOC，表示剩余容量與其額定容量的比值)變化曲線可以看出：DRO方法可以更好減少其放電深度和充發(fā)電次數(shù)，采用RO方法的BESS充放電兩次，且最大放電深度達(dá)到了0.38；而采用DRO方法的BESS充放電一次，且最大放電深度僅為0.2，這說(shuō)明DRO方法和RO方法為了補(bǔ)償風(fēng)電場(chǎng)輸出功率的不確定性，都通過(guò)BESS的充放電過(guò)程來(lái)平抑，但DRO方法的保守性優(yōu)于RO方法。無(wú)論是DRO還是RO方法的電池的SOC在風(fēng)電場(chǎng)出力大發(fā)的情況下不需要進(jìn)行過(guò)多的放電，故其荷電狀態(tài)在0.65就沒(méi)有進(jìn)行放電了。

圖3 BESS的荷電狀態(tài)曲線Fig.3 SOC curves of BESS

表4給出了不同KL散度允許值η下機(jī)組組合成本的結(jié)果。隨著KL散度允許值η越大，機(jī)組組合成本緩慢增加。這是因?yàn)镵L散度允許值η越大，風(fēng)電場(chǎng)出力的模糊集所包含可能的概率分布函數(shù)范圍越大，導(dǎo)致機(jī)組組合成本增加。這一趨勢(shì)說(shuō)明，所提出的含儲(chǔ)能機(jī)組組合DRO優(yōu)化方法可以更好地利用可得到的風(fēng)電場(chǎng)出力的歷史數(shù)據(jù)。一方面，當(dāng)KL散度允許值η為0時(shí)，其機(jī)組組合結(jié)果就是SO結(jié)果，這充分說(shuō)明了DRO是在SO基礎(chǔ)上的延伸，考慮了概率分布的最壞情況；另一方面可以發(fā)現(xiàn)，機(jī)組組合成本隨著KL允許值η的增長(zhǎng)趨勢(shì)比較緩慢，這說(shuō)明KL容許值η對(duì)機(jī)組組合結(jié)果的影響是有限的。

表4 不同KL散度允許值下的機(jī)組組合成本比較Tab.4 Comparison of unit commitment cost under different allowable KL divergence

5 結(jié)束語(yǔ)

文中考慮了風(fēng)電場(chǎng)出力的不確定性，基于KL散度構(gòu)建了基于KL散度的風(fēng)電場(chǎng)出力的模糊集，得到了含儲(chǔ)能的機(jī)組組合的兩階段分布魯棒優(yōu)化模型，并進(jìn)一步將其轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)凸優(yōu)化模型求解。通過(guò)IEEE RTS 24節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)仿真結(jié)果表明：

(1)與SO和RO方法相比，所提出的DRO方法獲得的啟動(dòng)成本和燃料成本均小于RO，較為接近SO，DRO是一類結(jié)合了SO和RO的優(yōu)點(diǎn)，使得其獲得機(jī)組組合結(jié)果沒(méi)有RO的那么保守;

(2)當(dāng)KL散度允許值為0時(shí)，DRO方法退化為SO，隨著KL散度允許值越大，DRO方法的機(jī)組組合成本緩慢增加，反映了KL容許值對(duì)DRO方法的影響是有限的。