基于并聯(lián)解耦機(jī)構(gòu)的三自由度打印平臺研究

李國超，王嘉驥

(河北石油職業(yè)技術(shù)大學(xué) 機(jī)械工程系，河北 承德 067000)

作為一種新型增材制造技術(shù)，3D打印相比于傳統(tǒng)的機(jī)加工方式，具有較高的原材料利用率，同時(shí)制造周期較短，廣泛應(yīng)用于醫(yī)療康復(fù)、汽車制造等領(lǐng)域，受到廣大科研工作者的青睞[1]。但是受限于打印成型原理，打印過程中需要添加支撐，增加了打印時(shí)間，與此同時(shí)打印質(zhì)量也受到了較大影響[2]。本文提出的一種具有部分解耦的并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為3D打印機(jī)的下平臺，在打印時(shí)通過控制下平臺，使其傾斜一定角度來增加懸臂件與水平面的角度，進(jìn)而減少支撐，不僅節(jié)約材料而且降低了后處理難度。

1 現(xiàn)有打印機(jī)原理及并聯(lián)平臺減少支撐分析

目前多數(shù)的并聯(lián)3D打印機(jī)采用Delta型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如圖1所示，圖1所示的并聯(lián)3D打印機(jī)，其上部分為3-P[2-SS]并聯(lián)機(jī)構(gòu)，下面打印平臺固定不動，在堆積成型過程中通過控制每個(gè)分支來實(shí)現(xiàn)噴頭沿X軸、Y軸、Z軸3個(gè)軸的移動來實(shí)現(xiàn)打印，控制相對比較簡單，但大角度的懸臂件需要添加支撐，這樣不僅耗費(fèi)額外的材料，而且增加了3D打印時(shí)間以及后期的處理難度。

圖1中Delta型3D打印機(jī)打印零件成型的基本過程成為：三維軟件建模保存為STL格式→Simplify3D等切片軟件進(jìn)行切片保存為gcode格式→打印機(jī)根據(jù)切片逐層打印→去除支撐、表面處理等[3]。打印懸臂件或者中空件時(shí)受到重力的影響，為了避免坍塌，需要為打印件添加支撐，這樣不但耗費(fèi)材料而且還會增加打印時(shí)間。本文提出的可傾斜平臺主要作用就是通過控制打印平臺使其傾斜一定角度，平衡一部分重力，如圖2所示，這樣打印時(shí)就會減少一部分支撐，節(jié)約了材料和時(shí)間，當(dāng)傾斜到某一角度時(shí)，試件則不需要支撐了，材料消耗量和時(shí)間將會大幅減少。

2 3D打印平臺結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及分析

由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有精度高、動態(tài)響應(yīng)好、無累積誤差等優(yōu)點(diǎn)[4]，但是并聯(lián)機(jī)構(gòu)相互耦合性較強(qiáng)，使得其在運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)的求解以及系統(tǒng)控制等方面變得十分繁雜。然而解耦的并聯(lián)機(jī)構(gòu)不僅繼承了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)又具有機(jī)構(gòu)簡單、控制簡單、安裝方便等特點(diǎn)[5-6]，結(jié)合上一節(jié)的需求，提出了一種具有部分解耦的并聯(lián)打印平臺。本節(jié)主要針對R-(R+RPR)-P+2UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行研究，其結(jié)構(gòu)簡圖如圖3所示(說明：P為移動副，R為轉(zhuǎn)動副，S為球副)。

在圖3中的R-(R+RPR)-P+2UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，由轉(zhuǎn)動副R2、R3、R4和移動副P2組成的RRPR閉環(huán)子鏈?zhǔn)冀K共面，為了便于研究，本文將此閉環(huán)子鏈簡化為廣義運(yùn)動副，閉環(huán)RRPR子鏈的機(jī)構(gòu)簡圖如圖4所示。

在圖4的閉環(huán)子鏈中，桿PM2固定不動，桿PM1可以繞點(diǎn)P轉(zhuǎn)動。笛卡爾直角坐標(biāo)系P-XAYAZA中的XA軸與桿PM2重合，XA軸正方向由P指向M2，ZA軸的正方向垂直于此閉環(huán)子鏈向外。令M1、M2點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M1=(m1n10)，M2=(m20 0)，由固定機(jī)架到活動桿PM1有兩條分支，分支1僅包含一個(gè)轉(zhuǎn)動副R，分支2包含RPR分支，應(yīng)用螺旋理論可以求出分支1的運(yùn)動螺旋系為：

$11=(0 0 1； 0 0 0)

(1)

對式(1)運(yùn)動螺旋求反可得：

(2)

分支2的運(yùn)動螺旋系為：

(3)

對式(3)的運(yùn)動螺旋系求反可得：

(4)

通過對式(2)和式(4)分析可知，兩個(gè)分支對活動桿PM1的公共約束螺旋系與式(2)相同，故此閉環(huán)RRPR子鏈僅存在繞ZA軸轉(zhuǎn)動的這一個(gè)自由度，所以其可以等效為一個(gè)轉(zhuǎn)動副。等效后并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖如圖5所示。

由螺旋理論知識可以得出UPS分支具有6個(gè)自由度，故并聯(lián)機(jī)構(gòu)中2個(gè)UPS分支對上平臺不具有約束作用。為了分析中間UP分支，建立UP分支坐標(biāo)系O3-X3Y3Z3，如圖6所示。其中虎克鉸A3的兩個(gè)轉(zhuǎn)動軸線分別與X3軸和Y3軸的軸線重合，Z3軸垂直于X3軸和Y3軸所在平面。

UP中間約束分支的運(yùn)動螺旋系如下：

(5)

對式(5)的中間約束分支運(yùn)動螺旋系求逆，可以得到：

(6)

上面構(gòu)造的R-(R+RPR)-P+2UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)中的RRPR閉環(huán)子鏈?zhǔn)冀K在空間某一平面內(nèi)，對于這樣的并聯(lián)機(jī)構(gòu)在求解自由度時(shí)，我們不能直接將此機(jī)構(gòu)應(yīng)用修正的G-K公式進(jìn)行計(jì)算，因此采用圖5等效后的并聯(lián)機(jī)構(gòu)計(jì)算其自由度。

利用修正的G-K公式計(jì)算該機(jī)構(gòu)的自由度，公式如下：

(7)

式中：M為機(jī)構(gòu)的自由度；n為包含機(jī)架的構(gòu)件數(shù)目；g為運(yùn)動副的數(shù)目；fi為第i個(gè)運(yùn)動副的自由度數(shù)；μ為機(jī)構(gòu)中全部過約束的總數(shù)。

應(yīng)用式(7)中的自由度計(jì)算公式可以計(jì)算出圖4中并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為3，同理R-(R+RPR)-P+2UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度也為3。與此同時(shí)，由螺旋理論知識可知，式(6)中的中間分支3個(gè)約束螺旋線性無關(guān)，說明中間約束分支對上平臺有3個(gè)約束，而且由于2個(gè)對稱布置的UPS驅(qū)動分支對上平臺沒有約束螺旋，所以3個(gè)分支對上平臺的約束螺旋和式(6)相同，而且上平臺的運(yùn)動形式和中間約束分支的運(yùn)動形式相同。由螺旋理論知識可得R-(R+RPR)-P+2UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)能夠使平臺實(shí)現(xiàn)兩轉(zhuǎn)一移的運(yùn)動，滿足第一節(jié)的打印平臺傾斜要求。

3 打印實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)的R-(R+RPR)-P+2UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)能夠減少3D打印構(gòu)件的支撐且具有較好的打印效果，選用了圖7所示的懸臂試件(厚度為5 mm)進(jìn)行打印。

對圖7 所示的試件逐個(gè)傾斜角度進(jìn)行打印，記錄試件打印的時(shí)間和所需耗材重量，得到了如圖8所示的曲線圖。

當(dāng)平臺傾斜轉(zhuǎn)動角度為0°時(shí)，打印耗時(shí)為256 min，消耗材料71.97 g，隨著旋轉(zhuǎn)角度的增加，打印所需耗材質(zhì)量有減少的趨勢，打印時(shí)間在小幅波動，直到傾角轉(zhuǎn)到15°時(shí)，耗材質(zhì)量和打印時(shí)間均明顯減少，耗材質(zhì)量下降到22.41 g，下降了68.9%，打印時(shí)間下降到186 min，下降了23.7%，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到16°時(shí)，耗材質(zhì)量及打印時(shí)間和15°基本相同。

4 結(jié)論

本文以3D打印技術(shù)為基礎(chǔ)，提出了一種解耦的并聯(lián)三自由度打印平臺，并應(yīng)用螺旋理論對其進(jìn)行分析，建立了打印過程中模型坐標(biāo)變化的方程，最后通過對懸臂件進(jìn)行打印試驗(yàn)，耗材質(zhì)量最多可下降68.9%，打印時(shí)間最多可下降23.7%，驗(yàn)證了并聯(lián)打印平臺對于懸臂件減少支撐的有效性。