一道折疊問題的多種解法

王慶海

【摘要】一道折疊問題的六種解法，即勾股定理法、面積相等法、相似圖形法、三角函數(shù)法、函數(shù)圖像法和共圓模型法.

【關(guān)鍵詞】折疊問題;多種解法;中學數(shù)學

折疊問題是初中數(shù)學幾何方面的一個重要內(nèi)容，它主要考查學生的識圖能力、空間想象能力和動手實踐操作能力的一種題型，它是充分利用初中所學知識解決問題的一種綜合能力的體現(xiàn).解決圖形折疊問題的關(guān)鍵是看清對稱軸，觀察元素的變量與不變量，折疊前后的結(jié)合圖形全等.

折疊問題是以“折”的變化，里面蘊含“數(shù)”的問題，一直是中考數(shù)學中經(jīng)常出現(xiàn)的題目，也是學生感覺比較困難的題目.學生要感受圖形中的“變”與“不變”，利用數(shù)形結(jié)合的思想、方程思想、函數(shù)思想等數(shù)學思想加以解決.

下面以一道折疊問題為例，介紹折疊問題的解法，即勾股定理法、面積相等法、相似圖形法、三角函數(shù)法、函數(shù)圖像法和共圓模型法.

例 如圖1，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6，BC=8.現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長為多少？

分析 根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AC=AE，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，利用勾股定理列式求出AB，從而求出BE，下面我們嘗試用六種方法解決問題，立足于不同的知識點，多種方法解決折疊問題中求線段的長度.

解 因為AC=6cm，BC=8cm，∠C=90°，

所以AB=AC2+BC2=62+82=10（cm），

由折疊的性質(zhì)得AE=AC=6cm，∠AED=∠C=90°，

所以BE=10cm-6cm=4cm，∠BED=90°，

設CD=x，則DE=x，BD=BC-CD=8-x，

方法1 （勾股定理法）

在Rt△DEB中，BE2+DE2=BD2，

即42+x2=（8-x）2，

解得 x=3，

所以CD=3cm.

總結(jié) 此方法利用全等三角形的對應邊相等和直角三角形的勾股定理，應用勾股定理抽象出數(shù)學模型或者利用圖形的變換，是解決線段長度的行之有效的方法，在應用勾股定理解決問題的過程中，一定讓學生經(jīng)歷解題的過程，樹立數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.《課程標準》指出“它不僅包括數(shù)學的結(jié)果，也包括數(shù)學結(jié)果形成的過程和蘊含的數(shù)學思想和方法”，讓學生借助方程的思想解決，是數(shù)學知識的綜合運用.

方法2 （面積相等法）

因為S△ACD+S△ABD=S△ABC，

所以12CD·AC+12AB·DE=12BC·AC，

12x×6+12x×10=12×6×8，

解得x=3，

所以CD=3cm.

總結(jié) 此方法利用幾何圖形的面積之間的關(guān)系，借助方程的思想解決.等面積求線段長的特點是：所求線段為垂線段，可以看作是三角形的高，用不同的方式表示同一個三角形的面積，然后列出方程即可，見“高”想“面積”是關(guān)鍵.

方法3 （相似圖形法）

因為∠B=∠B，∠BED=∠BCA，

所以△BED∽△BCA（AA），

所以BEBC=DEAC，

所以48=x6，解得x=3，

所以CD=3cm.

總結(jié) 此方法利用相似三角形的對應邊成比例得到線段比例之間的等量關(guān)系，借助方程的思想解決.

方法4 （三角函數(shù)法）

在Rt△BED中，tan∠B=DEBE，即tan∠B=x4，

在Rt△BAC中，tan∠B=ACBC，即tan∠B=68，

所以x4=68，解得x=3，

所以CD=3cm.

總結(jié) 此方法利用同一個角的三角函數(shù)值相等得到線段的比例相等，借助方程的思想解決，定角的三角函數(shù)值相等是關(guān)鍵.

方法5 （函數(shù)圖像法）

如圖2，以點C為坐標原點，建立平面直角坐標系，延長ED交y軸于點F，則A（0，6），B（8，0）.

在△ACB和△AEF中，

因為∠ACB=∠AEF，AC=AE，∠CAB=∠EAF，

所以△ACB≌△AEF（ASA）

所以AF=AB=10，

因為AC=6，所以CF=4，所以F（0，-4）.

由待定系數(shù)法可求直線AB的解析式為y=-34x+6.

設直線EF的解析式為y=kx+b，因為直線EF與直線AB垂直，所以k·（-34）=-1，得k=43.

把F（0，-4）代入y=43x+b，得b=-4，

所以直線EF的解析式為y=43x-4，

當y=0時，43x-4=0，解得x=3， 所以D（3，0），

所以CD=3cm.

總結(jié) 此方法把幾何問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題，體現(xiàn)了數(shù)學的數(shù)形結(jié)合思想，是幾何問題的一種重要的解題思想.數(shù)和形是數(shù)學中最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.數(shù)形結(jié)合包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，就是面對一個圖形時，我們能夠聯(lián)想代數(shù)式、方程、不等式等“數(shù)”的工具去解決，第二種情形是“以形助數(shù)”，就是面對一個用代數(shù)式、方程、不等式等“數(shù)”的形式呈現(xiàn)的問題時，我們根據(jù)它的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到相應的 “圖形”去解決.通過數(shù)形結(jié)合，可使得復雜問題簡單化、抽象問題具體化、實現(xiàn)優(yōu)化解題.

方法6 （共圓模型法）

如圖3，因為∠ACD=∠AED=90°，

所以∠ACD+∠AED=180°，

所以點A、C、D、E四點共圓，

由圓的割線定理BE·BA=BD·BC得

4×10=（8-x）×8，

解得x=3，

所以CD=3cm.

總結(jié) 此方法利用了四點共圓和圓的割線定理，在四邊形中對角互補的四邊形，四點共圓;從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等，割線定理為圓冪定理之一，體現(xiàn)了數(shù)學的建模思想.

一題多解著重引領(lǐng)學生多角度的看待一個問題，運用不同的路徑去解決同一個問題，在這個過程中，學生積極思考，關(guān)注了知識的交叉點、方法的關(guān)聯(lián)點、思維的高峰點，達到了優(yōu)化解題的能力.

總結(jié) 初中數(shù)學中的幾何變換一般是指平移、對稱（翻折）和旋轉(zhuǎn)、位似.《數(shù)學課程標準》在課程目標中已明確指出“經(jīng)歷探索物體與圖形的基本性質(zhì)、變換、位置關(guān)系的過程”，我們知道，圖形的折疊變換不改變圖形的形狀、大小，只改變圖形的位置，解題時可充分利用圖形折疊的特征，把圖形位置進行改變，從而達到優(yōu)化圖形結(jié)構(gòu)，進一步整合圖形（題設）信息的目的，使較為復雜的問題得以創(chuàng)造性地解決.要求初中階段的學生理解基本的幾何變換，通過有關(guān)數(shù)學知識的技能學習，逐步領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、函數(shù)思想等基本數(shù)學思想.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定.北京.全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）[S].北京：北京師范大學出版社，2011：37

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[3]蘭玲玲.探究勾股定理在折疊問題中的應用[J].才智，2014，（01）.