“最短路徑問題”在中考題中的應(yīng)用

易淑將

【摘要】“最短路徑問題”是初中數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要內(nèi)容.近年來各地中考題中，多次出現(xiàn)“最短路徑問題”的應(yīng)用問題，它成為學(xué)生難以逾越的“攔路虎”，筆者以幾道經(jīng)典中考題為例，分類解說最短路徑問題的本質(zhì)，幫助學(xué)生解決此類問題.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);最短路徑問題

“最短路徑問題”它源于數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問題——“將軍飲馬”問題，中考題中此問題常應(yīng)用于求兩線段和最小值問題，解決此類問題的基本策略是利用軸對稱性將同側(cè)的折線段和問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)的線段和問題.并依據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”、“垂線段最短”求出最小值. 下面我們就以幾道經(jīng)典中考題為例，分類解說此類問題的解題策略，供參考.

1 最短路徑問題在幾何背景中的應(yīng)用

例1 如圖1，點(diǎn)P是邊長為1的菱形ABCD對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是AB，BC邊上的中點(diǎn)，則MP+PN的最小值是 .

分析 本題M、N是固定點(diǎn)，P是AC上的動(dòng)點(diǎn)，先將一個(gè)固定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在的直線對稱過去，將位于直線AC同側(cè)的線段和問題轉(zhuǎn)化為位于直線AC兩側(cè)的線段和問題，再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，找到滿足條件的點(diǎn)P，最終得出最小值.

解析 如圖1 根據(jù)菱形的性質(zhì)，取AD的中點(diǎn)M′，連接M′N交AC于點(diǎn)P，則M′P=MP，此時(shí)MP+PN的值最小，而易知四邊形CDM′N是平行四邊形，故M′N=CD=1，于是，MP+PN的最小值是1.

例2如圖2，在ΔABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則2AD+CD的最小值為.

分析 本題也是其線段和的最小值問題，但又區(qū)別于例1，它具有一個(gè)角為30°的直角三角形的這一特殊幾何背景.我們知道“直角三形中3

0°角所對的直角邊是斜邊的一半”，利用這一性質(zhì)，我們可以將“2AD+CD”轉(zhuǎn)化為兩個(gè)線段和的問題.

解析 如圖2 根據(jù)已知，將點(diǎn)A關(guān)于直線BC對稱得到A′，過點(diǎn)A′作A′E⊥AC，垂足為點(diǎn)E，且交BC于點(diǎn)D，連接A′A、AD，則AD=A′D，DE=12CD.在RtΔABF中，易得AF=3，故AA′=23，在RtΔAA′E中，易證A′E=3，因?yàn)?AD+CD=2A′D+2DE=2A′E=6，所以2AD+CD的最小值為6.

2 最短路徑問題在函數(shù)背景中的應(yīng)用

例3 如圖3，直線y=2x+3與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y=5xx>0的圖象交于點(diǎn)B，反比例函數(shù)y=5xx>0圖象上有一點(diǎn)D且縱坐標(biāo)為1，請問在x軸上是否存在點(diǎn)P，使PB+PD的最小值？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

分析 本題是函數(shù)背景下的“將軍飲馬”模型， 如圖3，類比例1將一個(gè)固定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在的直線對稱過去，將同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)的問題，再利用“兩點(diǎn)直線線段最短”的理論依據(jù)，在x軸上找到滿足條件的點(diǎn)P.

解析 如圖3，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D′，連接BD′，交x軸于點(diǎn)P，連接PD，則PD=PD′，此時(shí)PB+PD′的值最小，而易知B1，5、D5，1、D′5，-1，可得直線BD′的解析式為y=-32x+132，其與x軸交于點(diǎn)P（133，0），易得BD′=213，即PB+PD′的最小值是213，故PB+PD的最小值為213.

例4如圖4，已知拋物線y=x2-4x+3與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，若點(diǎn)Q為線段OC的一動(dòng)點(diǎn)，問QA+12QC是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值;若不存在，請說明理由.

分析 本題也是函數(shù)背景下的最短路徑問題，要想解決此問題，我們需要抓住兩個(gè)突破口：①求線段和的最小值問題，需要利用軸對稱將同側(cè)問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)問題;②求“QA+12QC”，結(jié)合例2的解題策略，應(yīng)用到30°的直角三角形的性質(zhì).

解析 如圖4， 將y軸所在直線繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到直線CE，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′，過點(diǎn)A′作A′D⊥CE，垂足為D，交y軸于點(diǎn)Q，A′D的長度即為QA+12QC的最小值.易得OE=3，所以A′E=1+3，在RtΔA′DE中，易得A′D=3+32，即QA+12QC的最小值為3+32.

3 結(jié)語

“最短路徑問題”是歷年來中考命題的熱點(diǎn)問題，它是考查學(xué)生分析問題和解決問題的有效工具.通過對上述問題的歸納，可知解決這一類問題的實(shí)質(zhì)是利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為位于異側(cè)的線段與線段和的最小值問題，然后依據(jù)兩點(diǎn)之間的距離問題求解.同時(shí)，要求學(xué)生需要具備轉(zhuǎn)化、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.

本文是筆者在教學(xué)實(shí)踐中對學(xué)生常見的同類難點(diǎn)問題的整理和歸納， 通過對此類問題的分析和解答，希望學(xué)生能夠體會(huì)一題多解、多題歸一，最終構(gòu)建解決這類問題的有效策略.

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