三步到位學(xué)好二元一次方程組的解法

宋萬民

【摘要】 二元一次方程組是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”中的重要內(nèi)容之一，握其解法是學(xué)好本部分的基礎(chǔ).解二元一次方程組的基本思想是“消元”——化“二元”為“一元”，化“未知（學(xué)）”為“已知（學(xué)）”.常用方法有兩種：一是代入消元法，一是加減消元法.

【關(guān)鍵詞】 代入消元法：直接代入，轉(zhuǎn)化代入，整體代入

加減消元法：直接加減，倍數(shù)加減，公倍數(shù)加減

正文：二元一次方程組是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”中的重要內(nèi)容之一，掌握其解法是學(xué)好本部分的基礎(chǔ)。解二元一次方程組的基本思想是“消元”——化“二元”為“一元”，化“未知（學(xué)）”為“已知（學(xué)）”.常用具體方法有兩種：一是代入消元法，一是加減消元法.

1 代入消元法

方法回顧：代入消元法是解二元一次方程組的基本方法之一，從兩個方程中選擇一個系數(shù)比較簡單的方程，將它轉(zhuǎn)換成用含有一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)的形式，然后代入另一個方程，求出這個未知數(shù)的值，最后將這個未知數(shù)的值代入已變形的那個方程，求出另一個未知數(shù)的值.

1.1 直接代入

例1 解方程組：3x+2y=14，x=y+3.①②

分析 方程②已經(jīng)是用含y的代數(shù)式表示x的形式，可直接將②代入①消去x.

解 將②代入①，得

3（y+3）+2y=14.

解得y=1.

把y=1代入②，得x=4.

所以原方程組的解為x=4，y=1.

1.2 轉(zhuǎn)化代入

例2 解方程組：x+y=8，5x+3y=34.①②

分析 方程①的系數(shù)簡單，易于變形，方程②中y的系數(shù)比x的系數(shù)小，故將方程①變形為y=8-x，代入方程②.

解 由①得 y=8-x，③

將③代入②，得 5x+3（8-x）=34.

解得x=5.

把x=5代入③，得 y=3.

所以原方程組的解為x=5，y=3.

1.3 整體代入

例3 解方程組：3x+5y=21，2x-5y=-11.①②

分析 方程①和②中y的系數(shù)都是5，可把5y當(dāng)做整體進(jìn)行變形.

解 由②得 5y=2x+11，③

將③代入①，得 3x+（2x+11）=21，

解得x=2.

把x=2代入③，得y=3.

所以方程組的解為x=2，y=3.

步驟總結(jié)：代入消元法解方程組的步驟：

第一步：在已知方程組的兩個方程中選擇一個適當(dāng)?shù)姆匠?，將它的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.

第二步：把此代數(shù)式代入沒有變形的另一個方程中，可得一個一元一次方程.

第三步：解這個一元一次方程，得到一個未知數(shù)的值.

第四步：把求得的未知數(shù)的值代回到原方程組中的任意一個方程或變形后的方程（一般代入變形后的方程），求得另一個未知數(shù)的值.

第五步：把方程組的解表示出來.

第六步：檢驗（口算或筆算在草稿紙上進(jìn)行），即把求得的解代入每一個方程看是否成立.

2 加減消元法

方法回顧：加減消元法也是解二元一次方程組的基本方法之一，它要求兩個方程中必須有某一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等（或利用等式的基本性質(zhì)在方程兩邊同時乘以一個適當(dāng)?shù)牟粸?的數(shù)，使兩個方程中某一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等），然后利用等式的基本性質(zhì)在方程兩邊同時相加或相減消元.

2.1 直接加減

例4 解方程組：

（1）2x-5y=7，2x+3y=-1.①②

（2）10x+3y=17，8x-3y=1.①②

分析 觀察到方程組（1）中方程①、②中未知數(shù)x的系數(shù)相等，可以利用兩個方程相減消去未知數(shù)x;而方程組（2）中方程①、②中未知數(shù)y的系數(shù)互為相反數(shù)，可以利用兩個方程相加消去未知數(shù)y.

解 （1）②-①，得8y=-8，

解得y=-1，

把y=-1代入①，得2x+5=7，

解得x=1，

所以方程組的解為x=1，y=-1.

（2）①+②，得18x=18，

解得x=1，

把x=1代入①，得10+3y=17，

解得y=73，

所以方程組的解為x=1，y=73.

2.2 倍數(shù)加減

例5 解方程組：5x+2y=25，3x+4y=15.①②

分析 因為上述方程組中x，y的系數(shù)既不相同也不是相反數(shù)，沒有辦法直接用加減消元法. 但仔細(xì)觀察卻發(fā)現(xiàn)方程②中y的系數(shù)是方程①中y的系數(shù)的兩倍，所以只要將方程①中的各個系數(shù)同時乘以2就可以轉(zhuǎn)化為y的系數(shù)相同的情形，從而就可以用減法消去y.

解 5x+2y=25，3x+4y=15.①②

①×2，得10x+4y=50，③

③-②，得7x=35，

解得x=5.

把x=5代入①得 25+2y=25，

解得y=0.

所以原方程組的解為x=5，y=0.

2.3 公倍數(shù)加減

例6 解方程組：2x+3y=12，3x+4y=17.①②

分析 上述方程組中x，y的系數(shù)既不相同也不是相反數(shù)，沒有辦法直接用加減消元法;也無法用倍數(shù)加減法，否則就會出現(xiàn)分?jǐn)?shù)反而增加計算的難度.對于上述方程組我們可以找x的系數(shù)2和3的最小公倍數(shù)6，在方程①兩邊同乘以3，在方程②兩邊同乘以2，再用加減法消元.

解 ①×3，得6x+9y=36，③

②×2，得6x+8y=34，④

③-④，得y=2.

將y=2代入①，得x=3.

所以原方程組的解是x=3，y=2.

步驟總結(jié)：我們遇到的往往就是例6這樣的方程組，要想比較簡捷地把它解出來，就需要轉(zhuǎn)化為同一個未知數(shù)系數(shù)相同或相反的情形，從而用加減消元法，達(dá)到消元的目的.用加減法解二元一次方程組的一般步驟是：

①變形——找出兩個方程中同一個未知數(shù)系數(shù)的絕對值的最小公倍數(shù)，然后分別在兩個方程的兩邊乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)，使所找的未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù).

②加減消元，得到一個一元一次方程.

③解一元一次方程.

④把求出的未知數(shù)的解代入原方程組中的任一方程，求出另一個未知數(shù)的值，從而得方程組的解.

練習(xí)

1.解方程組：2x+3y=16，x+4y=13.

2.解方程組：

（1）2x+3y=14，2x-2y=4;（2）u+v=10，3u-2v=5;

（3）3x-2y=6，2x+3y=17.

答案

1.x=5，y=2.

2.（1）x=4，y=2;（2）u=5，v=5;（3）x=4，y=3.