反證法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

王輝

【摘要】反證法又稱為“逆證”，屬于間接論證的一種方法，一般是通過斷定與論題相矛盾的判斷虛假來確立論題真實(shí)性的論證方法.

反證法通過“由果溯因”的思維模式，從一些難以著手的數(shù)學(xué)問題中找到新的切入點(diǎn).初中數(shù)學(xué)教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題的過程中要注重培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)

視野.在解題訓(xùn)練中可根據(jù)具體題目指導(dǎo)學(xué)生按照以下流程運(yùn)用論證法：第一步，提出論題;第二步，設(shè)定反論題，依據(jù)推理規(guī)則展開推理和演繹，證明反論題的虛假;第三步，根據(jù)排中律，既然反論題為假，則原論題是真.

【關(guān)鍵字】 反證法;逆向思維，初中數(shù)學(xué)

1 應(yīng)用反證法解答方程證明題

例題 已知a>2，b>2，請(qǐng)判斷一元二次方程x2-（a+b）x+ab=0與x2-abx+（a+b）=0是否存在公共根，且說明理由.

解題過程

假如題干中給出的x2-（a+b）x+ab=0與x2-abx+（a+b）=0存在公共根x0，則結(jié)合題目中提供的條件和信息能夠得到x02-（a+b）x0+ab=0①，x02-abx0+（a+b）=0②，讓②-①可以得到（x0+1）（a+b-ab）=0.

因?yàn)閍>2，b>2，所以能夠得到：a+b≠ab，這樣存在：x0=-1，將其帶入到方程②里面，可以得到1+a+b+ab=0，顯然這是不可能成立的.由此判斷出本次假設(shè)是不成立的，那么就證明這兩個(gè)方程沒有公共根.

解題點(diǎn)評(píng) 在求解諸如一元二次方程類的代數(shù)證明問題中，如果教師引領(lǐng)學(xué)生靈活應(yīng)用反證法，生不僅要靈活掌握一元二次方程的性質(zhì)，還要

能夠根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)姆醋C切入點(diǎn)，幫助他們快速確定求解證明題的方法與思路，使其在較短時(shí)間內(nèi)就求解證明題.

2 應(yīng)用反證法解答否定性命題

例題 求證在一個(gè)三角形中，不能存在兩個(gè)角為直角，已知三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角分別是∠A，∠B與∠C，求證：∠A，∠B與∠C中不能存在兩個(gè)角是直角.

解題過程

假如∠A、∠B、∠C三個(gè)角中存在兩個(gè)直角，設(shè)∠A=90°，∠B=90°，則∠A+∠B+∠C>180°，這一結(jié)果同“三角形的內(nèi)角和是180°”這一定理明顯不相符，兩者存在沖突，所以“∠A=90°、∠B=90°”不成立，這就說明一個(gè)三角形中不可能存在兩個(gè)內(nèi)角是直角.

解題點(diǎn)評(píng) 當(dāng)求證試題中出現(xiàn)“沒有”、“不是”、“不能”等詞語時(shí)，這屬于否定性命題類試題，用直接求證法很難快速、正確的解答，想要證明不可能就首先要找到所有可能的情況一一進(jìn)行論證，論證的過程十分繁瑣且容易產(chǎn)生疏漏，教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用反證法則可以通過逆向推導(dǎo)的方式求證命題，避免了正向推

導(dǎo)的繁瑣之處，從而快速高效的解答問題.

3 應(yīng)用反證法解答限定式命題

例題 在直徑是25的一個(gè)大圓內(nèi)，存在9個(gè)直徑是2的小圓，請(qǐng)證明最少有2個(gè)小圓的公共部分面積比π9大.

解題過程

證明 如果這些小圓公共部分的面積小于π9，9個(gè)小圓共有9×8÷2=36的共同面積，則9個(gè)小圓的公共面積不能大于36×π9=4π.因?yàn)轭}目中給出大圓的直徑是25，即大圓的面積為π×（25）2=25225π，那么9個(gè)小圓的面積不可能會(huì)超過5π，所以在直徑是25的大圓中，最少有2個(gè)小圓的公共部分面積比π9大.

解題點(diǎn)評(píng) 當(dāng)求證試題中出現(xiàn)“最多”、“最少”、“不多”等詞語時(shí)，教師可以提示學(xué)生運(yùn)用反證法，使其快速、輕松的解出試題，還能夠訓(xùn)練他們的邏輯性思維，提高辯證能力.

4 應(yīng)用反證法解答無窮性命題

例題 求證3是無理數(shù).

解題過程

證明 假如3是有理數(shù)，那么就存在a、b屬于自然數(shù)，a與b互質(zhì)為互質(zhì)關(guān)系，b≠0，讓3=ab×a2=2b2，a是偶數(shù)，表示為a=2c，所以有a2=4c2，2c2=b2，據(jù)此能夠判定出b是偶數(shù)，由于a、b都是偶數(shù)，a與b就不可能是互質(zhì)關(guān)系，同a與b互質(zhì)相矛盾，所以說3是無理數(shù).

解題點(diǎn)評(píng) 由于題中的已知信息較少，無理數(shù)是無限不循環(huán)的一類數(shù)，無限與不循環(huán)在數(shù)學(xué)中很難通過數(shù)字直觀的表示出來，正向推導(dǎo)過于抽象，學(xué)生如果無法構(gòu)建起逆向思維，面對(duì)這樣的問題就會(huì)難以入手.教師在引導(dǎo)學(xué)生訓(xùn)練該類求證題時(shí)，可以有意識(shí)的鼓勵(lì)學(xué)生從不同的角度進(jìn)行思考，從而靈活運(yùn)用反證法，把求證的數(shù)直觀呈現(xiàn)，易于證明.

5 應(yīng)用反證法解答圖形證明題

例題 兩個(gè)圓相交所形成的交點(diǎn)無法在連心線同一側(cè)，已知如圖1所示，有兩個(gè)圓⊙M與⊙N，它們相交于點(diǎn)A與點(diǎn)B，將圓心M、N連接起來，求證：點(diǎn)A與點(diǎn)B位于直線MN的兩側(cè).

解題過程

證明 如圖1假設(shè)兩個(gè)圓的兩個(gè)相交點(diǎn)A與B位于連心線MN的同一側(cè)，因?yàn)樵趫D中兩個(gè)圓關(guān)于直線MN對(duì)稱，由此可知A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)也是兩個(gè)圓的交點(diǎn)，這與“同過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)有且僅有一個(gè)圓”這一基本數(shù)學(xué)定理存在沖突，所以本次假設(shè)不成立，即為原結(jié)論保持成立，也就是說兩個(gè)圓相交所形成的交點(diǎn)不可能在連心線的同一側(cè).

解題點(diǎn)評(píng) 在求解一些常見的平面圖形類證明題中，當(dāng)采用正向法難以順利求證時(shí)，教師可提示學(xué)生應(yīng)用反證法簡化分析問題的過程，引導(dǎo)學(xué)生透過圖形表面找到題目背后的數(shù)學(xué)規(guī)律，使其形成正確的證明思路，讓解題更高效.

6 總結(jié)

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)用反證法是一個(gè)相當(dāng)有效的解題方法，許多看似困難的問題換一個(gè)角度就可以找到新的切入點(diǎn)，這對(duì)提升學(xué)生的解題能力有著十分積極的意義，不過運(yùn)用反證法時(shí)，教師應(yīng)要求他們嚴(yán)格按照反證法推理的基本步驟與流程進(jìn)行解題，使其羅列清楚已知信息和求證結(jié)論，由此逐步展開推理論證.這樣才能夠保證推理論證的思路清晰，從而更好地解決問題.教師還應(yīng)積極鼓勵(lì)學(xué)生多運(yùn)用反證法，在反復(fù)的練習(xí)和鍛煉中加深印象和理解，這樣在解決問題時(shí)才能夠熟練地假設(shè)問題的矛盾，明晰解題思路，提升解題效率，節(jié)約答題時(shí)間.

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