構(gòu)造法解題的策略

鮑永葆 王永慶

構(gòu)造法是數(shù)學(xué)上的一種基本方法，在解題中通過對條件和結(jié)論的深入分析，牢牢抓住反映問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，找出“已知”與“所求（所證）”之間的聯(lián)系紐帶，構(gòu)造出一種適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，使問題巧妙地得到解決，從而避免繁雜的運(yùn)算或復(fù)雜的證明.

1 構(gòu)造幾何圖形解題

例1 x取什么值時，下列式子9+x2+9+（4-x）2的值最小.

分析 所求式子的兩個部分9+x2和9+（4-x）2與勾股定理形狀相似，可以通過構(gòu)造幾何圖形即直角三角形來解.

解 在Rt△ABE和Rt△CDE中，點B，E，D在一條直線上，且AB=CD=3，BD=4.

若設(shè)BE=x，則DE=4-x.

在Rt△ABE中，

AE=32+x2=9+x2，

在Rt△CDE中，

CE=32+（4-x）2=9+（4-x）2，

AE+CE=9+x2+9+（4-x）2.

當(dāng)A，E，C三點在一條直線上時，AE+CE最短，即AC長.

過點C作CF垂直于AB的延長線，垂足點是F.

所以四邊形CDBF是矩形，

BF=CD=3，BD=CF=4，

在Rt△AFC中，AF=3+3=6，

所以AC=FA2+CF2=62+42=52=213.

所以9+x2+9+（4-x）2的最小值是213.

例2 已知正方形ABCD邊長為2，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的動點，且滿足BE=CF，連接AE，BF，交點為P點，則PD的最小值為.

分析 容易證得∠APB=90°，

因為AB，是定直線，所以點P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動，構(gòu)造輔助圓解題.

解 在正方形ABCD中，

AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，

又因為BE=CF，

所以△ABE≌△BCF.

得到∠BAE=∠CBF，

又因為∠ABP+∠CBF=90°，

所以∠ABP+∠BAE=90°，

即∠APB=90°，

所以點P在以AB為直徑，O為圓心的圓上運(yùn)動.

連接OD交⊙O于M點，當(dāng)點P運(yùn)動到M點時，DP=DM最短，因為AO=1，AD=2，

所以O(shè)D=OA2+AD2=12+22=5，

又因為OM=1，

所以DM=5-1，

即PD的最小值為=5-1.

例3 求|x+1|+|x-3|+|x-5|的最小值.

分析 因為|x+1|=|x-（-1）|，根據(jù)絕對值的意義可知，|x+1|表示x與-1之間的距離，同理， |x-3|表示x與3之間的距離，|x-5|表示x與5之間的距離.求|x+1|+|x-3|+|x-5|的最小值，就是找到x，它到-1，3，5的距離和最小.可以在數(shù)軸進(jìn)行討論.

解 若x用點P表示，求|x+1|+|x-3|+|x-5|的最小值，就是求PA+PB+PC的最小值.

（1）當(dāng)點P在點A的左邊（包括點A）時，

PA+PB+PC=PA+PA+AB+PA+AC=3PA+AB+AC=3PA+4+6=10+3PA.

（2）當(dāng)點P在點A與點B的之間（包括點B）時，

PA+PB+PC=PA+PB+PB+PC=PA+PC+2PB=AC+2PB=6+2PB.

（3）當(dāng)點P在點B與點C的之間（包括點C）時，

PA+PB+PC=AB+PB+PB+PC=AB+PB+PC+PB=AC+PB=6+PB.

（4）當(dāng)點P在點C右邊時，

PA+PB+PC=AC+PC+BC+PC+PC=AC+BC+3PC=6+2+3PC=8+3PC.

綜合（1）、（2）、（3）、（4）可知，當(dāng)點P與點B重合時，即PB=0，

PA+PB+PC=6+0=6最小，此時x=3.

2 構(gòu)造方程解題

例4 若ab≠1，且有5a2+2001a+9=0及9b2+2001b+5=0，則ab的值是（）

（A）95. （B）59. （C）-20015. （D）-20019.

分析 所給兩個等式形式很相同，可以構(gòu)造一元二次方程來解.

解 將9b2+2001b+5=0兩邊同時除以b2得

9+2001b+5b2=0，

即5·1b2+2001·1b+9=0，

又有5a2+2001a+9=0.

所以a，1b是方程5x2+2001x+9=0的兩個根.

因為ab≠1，

即a≠1b，

由根與系數(shù)關(guān)系可知a·1b=95，

即ab=95.

故選（A）.

3 構(gòu)造函數(shù)解題

例5 已知a，b，c均為實數(shù)，且滿足b2<a+c，4a+b+c<0，則下列選項中正確的是（）

（A）a-b<0，b2-16ac>0.

（B）b-c<0，b2-16ac≥0.

（C）b-c>0，b2-16ac>0.

（D）b-c>0，b2-16ac≥0.

分析 因為b2<a+c，

所以a-12b+c>0，

又因為4a+b+c<0，

可以構(gòu)造函數(shù)y=ax2+12bx+c（a≠0）進(jìn)行解題.

解 因為b2<a+c，

所以a-12b+c>0，

即-4a+2b-4c<0，①

又因為4a+b+c<0，②

①+②得3b-3c<0，b-c<0.

（1）若a=0，b=0，

則由b2<a+c，得c>0，

由4a+b+c<0，得c<0，矛盾.

所以a=0，則b≠0，b2-16ac=b2>0.

（2）若a≠0，由a-12b+c>0，4a+b+c<0，可以構(gòu)造二次函數(shù)y=ax2+12bx+c，

當(dāng)x=-1時，y=a-12b+c>0，

當(dāng)x=2時，y=ax+b+c<0，

由二次函數(shù)圖象可知y=ax2+12bx+c與x軸有兩個交點，

即Δ>0，12b2-4ac>0，14b2-4ac>0，

即b2-16ac>0.

綜合（1）、（2）可知選（A）.