求含45°角的一次函數(shù)系數(shù)的方法探究

楊冬明

【摘要】 三角函數(shù)和一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在函數(shù)與幾何的綜合性題目中時(shí)常碰到這樣一類題型：圖形中出現(xiàn)45°角，求一次函數(shù)的參數(shù)的值.這類題往往無法用我們之前熟悉的待定系數(shù)法求解，45°角的條件在常規(guī)思路中也只有在等腰直角三角形中才有意義.這類難度較大的題目看似毫無規(guī)律章法，實(shí)則是有技巧和套路的，因?yàn)橛行┗緮?shù)學(xué)模型是我們非常熟悉的，它為我們解決綜合性幾何問題提供了一個(gè)很好的路徑和突破口，從復(fù)雜的圖形中抽出基礎(chǔ)圖形，利用基本數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)、解法往往可以化難為易、化生為熟，順利得解.也就是化歸思想.本文將才采用化歸思想對(duì)該類問題的解題思路作詳細(xì)闡述.

【關(guān)鍵詞】 45°角;求一次函數(shù)參數(shù);化歸思想

先從一道題目說起

例 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+m分別交x軸、y軸于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)C（2，0），P為線段OB的中點(diǎn)，連接PA，PC，若∠CPA=45°，求m的值.

思路1 利用“12345模型”解題，這是解決含45°角幾何問題的一大解題利器，是在三角函數(shù)知識(shí)背景下的一個(gè)重要結(jié)論，我們不妨在遇到45°問題時(shí)首先考慮這個(gè)方法.

由題可知∠1+∠2=45°，

且tan∠2=POOA=12，

所以tan∠1=13，

所以O(shè)CPO=13，

即2÷m2=13，

解得m=12.

思路2 利用“一線三垂直模型”解題，45°角的條件往往讓人聯(lián)想到等腰直角三角形，因此我們不妨作垂線構(gòu)造等腰直角三角形，同時(shí)結(jié)合一線三垂直模型，得到三角形全等，從而求出線段長.

過點(diǎn)C作CD⊥CP，交AP于點(diǎn)D，再作DE⊥x軸，易證△OPC≌△ECD，

所以DE=OC=2，

所以CE=OP=m2，

AE=OA-OC-CE=m2-2，

因?yàn)镈E∥OP，

所以2∶m2=m2-2∶m，

解得m=12.

思路3 利用“一線三等角模型”解題，題目中已經(jīng)有兩個(gè)角等于45°了，并且這兩個(gè)角在同一直線上，如果我們?cè)贅?gòu)造一個(gè)45°角，就變成一線三等角模型了.類似于一線三垂直模型，我們?cè)跇?gòu)造比例方程求線段長度時(shí)，也可以利用相似三角形得比例式方程.

在y軸截取OD=OC，

此時(shí)∠PDC=45°，可以證得

△ABP∽△PDC，BPCD=BAPD，

進(jìn)而得到方程

m2∶22=2m∶m2+2，

解得m=12.

思路4 利用“四點(diǎn)共圓模型”，圓里有非常多特有的性質(zhì)和結(jié)論，所以很多稍微復(fù)雜的幾何問題我們都可以考慮通過四點(diǎn)共圓轉(zhuǎn)化成圓的計(jì)算和證明問題，從而使得問題簡(jiǎn)單化.

以AC為直角邊構(gòu)造等腰直角△ADC.

因?yàn)椤螪=∠APC=45°，

所以A，C，P，D四點(diǎn)共圓，且以CD為直徑，E為圓心.

因?yàn)镈（m，m-2），

P0，m2，Em+22，m-22，

根據(jù)EP=EC，可得

m+222+m-22-m22=22（m-2）2，

解得m=12.

思路5 利用“半角模型”解題，借用正方形旋轉(zhuǎn)知識(shí)，將含45°角的一次函數(shù)問題轉(zhuǎn)化成正方形背景下的半角模型，這樣就可以用那些我們比較熟悉的半角模型的相關(guān)知識(shí)和結(jié)論來解題.

過點(diǎn)P構(gòu)造正方形OPDE，

EN=DN=m4，OC=2，

根據(jù)半角模型知識(shí)易得

CN=DN+OC=m4+2，

又因?yàn)镃E=m2-2，

在Rt△CEN中，有

m2-22+m42=m4+22，

解得m=12.

思路6 利用“角平分線模型”解題，在相似三角形章節(jié)我們得到過關(guān)于三角形角平分線背景下的相似結(jié)論，我們可以利用該結(jié)論來解題.

過點(diǎn)P作PD⊥PA.

因?yàn)椤螦PC=45°，

所以CP為△APD的角平分線，

所以PDPA=CDAC，

在直角△APD中由射影定理可以求出D的坐標(biāo)-m4，0，

通過相似比易得PDPA=12，

即12=2+m4m-2，

解得m=12.

除了上述六種思路以外，我們還可以根據(jù)夾角公式直接求出直線的斜率值，也就是k的值，不過夾角公式是高中數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，這里就不作闡述了.