不等式組的整數(shù)解

任亞男

【摘要】 大家在學(xué)習(xí)一元一次不等式不等式組時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到求不等式（組）的整數(shù)解的問(wèn)題.解這類(lèi)問(wèn)題一般分為兩個(gè)步驟：第一步，計(jì)算這個(gè)不等式（組）的解集;第二步，根據(jù)計(jì)算出的解集，寫(xiě)出不等式（組）的整數(shù)解.本文對(duì)此類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)分析.

【關(guān)鍵詞】 不等式組;整數(shù)解

1 不等式的解和解集

不等式的解：使不等式成立的未知量的值稱(chēng)為不等式的解.不等式的解集指的是不等多的所有解的組合.不等式的解集可以在數(shù)軸上進(jìn)行可視化地展示，實(shí)際展示的方式是首先明確邊界點(diǎn)，解集包含邊界點(diǎn)，用實(shí)心圓點(diǎn)表示，不包含邊界點(diǎn)，用空心圓圈表示.然后闡明方向：大向右，小向左.

不等式的解與一元一次方程的解存在較大差異.不等式的解是一個(gè)范疇，而一元一次方程的解是一個(gè)明確的值.

1.1 不等式的基本性質(zhì)

不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不會(huì)改變.如果在不等式左右兩端同時(shí)“乘”或“除”相同的正數(shù)，那么不等號(hào)的方向保持不變.如果等式左右同時(shí)“乘”或“除”相同的負(fù)數(shù)，那么不等號(hào)的方向與之前相反.”任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b的大小關(guān)系有以下三種可能：

①a-b>0a>b.

②a-b=0a=b.

③a-b<0a<b.

1.2 一元一次不等式

一元一次不等式指的是不等式只存在一個(gè)未知數(shù)，同時(shí)未知數(shù)的次數(shù)是1，且未知數(shù)的系數(shù)不等于零.其一般形式是

ax+b>0或ax+b<0（a≠0）.

1.3 一元一次不等式組

由許多未知量相同的一元一次不等式組成的不等式組稱(chēng)為一元一次不等式組.要想準(zhǔn)確辨別不等式是否為一元一次不等式組，應(yīng)該根據(jù)以下兩點(diǎn)：

（1）不等式左右形式相同且都是一元一次不等式，且未知量相同;

（2）不等式組中不等式的個(gè)數(shù)至少為2，即可以是2，3，4或更大的數(shù).

1.4 一元一次不等式組的解集

不等式組的解集主要指的是不等式組中每個(gè)一元一次不等式的解集中的相同部分，整數(shù)解則是解集中存在的整數(shù).

1.5 不等式組解集的確定方法

總體分為四種情況：（設(shè)a>b）

不等式組x>a，x>b的解集是x>a;

不等式組x<a，x<b的解集是x<b;

不等式組x<a，x>b的解集是b<x<a;

不等式組x>a，x<b無(wú)解.

1.6 解一元一次不等式組的步驟

第1步 逐一解出每個(gè)不等式的解或解集.

第2步 在數(shù)軸上畫(huà)出每個(gè)解集，它們的共同部分就是不等式組的解集.

2 求不等式組的整數(shù)解

例1 解不等式組-12x≤2-x，5x-1>3x-4，①②并求其整數(shù)解的和.

分析 要想求出整數(shù)解的合，應(yīng)先求出其所有整數(shù)解，首先應(yīng)該求出不等式組的解集.

解 解①，得x≤4;

解②，得x>-32，

故不等式組的解集是-32<x≤4，它的整數(shù)解是-1，0，1，2，3，4，整數(shù)解的和是

-1+0+1+2+3+4=9.

2 利用整數(shù)解求字母系數(shù)的范圍

例2 關(guān)于x的不等式組x+152>x-3，2x+23<x+a只有4個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（）

（A）-5≤a≤143.

（B）-5≤a<-143.

（C）-5<a≤-143.

（D）-5<a<-143.

分析 本題是有關(guān)不等式組解集的逆用.解答這類(lèi)題目，應(yīng)先確定不等式組的解集，再根據(jù)相應(yīng)法則列出系數(shù)中未知字母的關(guān)系式，從而求出未知字母的取值范圍.

解 原不等式組可化為x<21，x>2-3a，

因?yàn)椴坏仁浇M只有4個(gè)整數(shù)解，

所以16≤2-3a<17，

解得-5<a≤-143，

故應(yīng)選（C）.

3 利用不等式的整數(shù)解求代數(shù)式的值

例3 已知不等式5（x-2）+8<6（x-1）+7的最小整數(shù)解是方程2x-ax=3的解，求代數(shù)式4a-14a的值.

解 解不等式，得

x>-3，

所以滿足此不等式的最小整數(shù)解是-2.

把x=-2代入方程2x-ax=3中，得

2×（-2）-（-2）a=3，

整理，得-4+2a=3，

解得a=72，

所以4a-14a=4×72-14×27=14-4=10.

4 利用不等式的整數(shù)解解決實(shí)際問(wèn)題

例4 某果園有3個(gè)種植小組，希望在10天之內(nèi)種植500棵果樹(shù)（每個(gè)小組每天平均種植數(shù)量一致），如果按照計(jì)劃種植速度將無(wú)法完成種植任務(wù)，需要每個(gè)小組每天多種植1顆果樹(shù)，這樣才能在規(guī)定期限內(nèi)完成種植任務(wù)，求每個(gè)小組每天的計(jì)劃種植量.（結(jié)果取整數(shù)）

分析 解答本題首先要挖掘出題目中隱含的不等關(guān)系，即“不能完成任務(wù)”和“提前完成任務(wù)”，構(gòu)建不等式組模型，其次要注意結(jié)果應(yīng)取整數(shù)，即求整數(shù)解.

解 設(shè)每個(gè)小組原先每天種值x棵果樹(shù)，根據(jù)題意可得

3×10x<500，3×10（x+1）>500，

解得1523<x<1623.

因?yàn)閤的值應(yīng)是整數(shù)，

所以x=16.

答：每個(gè)小組原計(jì)劃每天種值16棵果樹(shù).

5 利用不等式的非負(fù)整數(shù)解確定最大值

例5 小華、小麗一起去超市買(mǎi)同種彩筆和橡皮，請(qǐng)依照以下對(duì)話內(nèi)容解答問(wèn)題：

小華：叔叔，我想買(mǎi)3支彩筆、2個(gè)橡皮，一共多少錢(qián)？售貨員：剛好19元.

小麗：叔叔，那我買(mǎi)1支彩筆、3個(gè)橡皮，需多少錢(qián)呢？售貨員：正好需11元.

（1）求出1支彩筆和1個(gè)橡皮各需多少錢(qián)？

（2）小華現(xiàn)有20元錢(qián)，需買(mǎi)1支彩筆，還想再買(mǎi)一些橡皮，那么她最多可買(mǎi)多少個(gè)橡皮？

分析 本題是二元一次方程組與不等式的綜合題，它的已知條件是以對(duì)話的形式給出的.首先，應(yīng)正確理解對(duì)話中隱含的等量關(guān)系并列出方程組，求出彩筆和橡皮的價(jià)格，再根據(jù)現(xiàn)有錢(qián)數(shù)、不等式的解和橡皮的個(gè)數(shù)為整數(shù)確定最大值.

解 （1）設(shè)買(mǎi)一支彩筆要x元、買(mǎi)一個(gè)橡皮要y元，

依題意3x+2y=19，x+3y=11，

解得x=5，y=2.

（2）設(shè)買(mǎi)的橡皮為z個(gè)，則1×5+2z≤20，

解得z≤7.5.

因?yàn)閦為非負(fù)整數(shù)，所以z的最大值為7.

答：（1）買(mǎi)1支彩筆需5元，1個(gè)橡皮需2元.

（2）小明最多可買(mǎi)7個(gè)橡皮.

6 利用不等式的整數(shù)解確定最小值

例6 郵政部門(mén)規(guī)定：信函重100克以?xún)?nèi)（包括100克）每20克貼郵票0.8元，不足20克重以20克計(jì)算;超過(guò)100克，先貼郵票4元，超過(guò)100克部分每100克加貼郵票2元，不足100克重以100克計(jì)算.

（1）若要寄一封重35克的信函，需貼郵票多少元？

（2）若寄一封信函貼了6元郵票，問(wèn)此信函可能有多重？

（3）七（1）班有9位同學(xué)參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，若每份答卷重12克、每個(gè)信封重4克，請(qǐng)你設(shè)計(jì)方案，將這9份答案分裝在兩個(gè)信封中寄出，使所貼郵票的總金額最少.

分析 根據(jù)題意，第（2）問(wèn)是確定信函重量的問(wèn)題，第（3）問(wèn)是根據(jù)重量選擇貼郵票的方案，再?gòu)闹羞x擇最小值，現(xiàn)簡(jiǎn)答如下：

（1）1.6元;

（2）100

（3）9份答卷分1份、8份或3份、6份裝，總金額最小，都是4.8元.

6 利用不等式的整數(shù)解設(shè)計(jì)方案

例7 某超市開(kāi)展二十周年店慶，計(jì)劃將3 490個(gè)甲種零食與2 950個(gè)乙種零食進(jìn)行搭配，創(chuàng)建a，b兩種零食禮包共50個(gè)進(jìn)行活動(dòng)促銷(xiāo)，已知a種零食禮包需要甲種零食80個(gè)，乙種零食40個(gè)，b種零食包需要甲種零食50個(gè)，乙種零食90個(gè).

（1）求出符合零食數(shù)量的搭配方案.

（2）如果搭配a種零食禮包需要的成本為800元，搭配b種零食的禮包需要的成本為960元，請(qǐng)找出成本最低的搭配方案，并求出最低成本.

分析 此題目中的不等關(guān)系需要仔細(xì)查找，從大致上來(lái)看沒(méi)有明顯的不等式關(guān)系，但是仔細(xì)分析可以看出，無(wú)論以何種方式搭配a，b兩種零食禮包，前提都是甲種零食數(shù)量不能超過(guò)3 490個(gè)，乙種零食不能超過(guò)2 950個(gè)，可根據(jù)此關(guān)系列出不等式組，取得整數(shù)解.對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題可以結(jié)合具體搭配方式進(jìn)行逐一求解.

解 設(shè)搭配a種禮包x個(gè)、則搭配b種禮包（50-x）個(gè)，

依題意，得80x+50（50-x）≤3 490，40x+90（50-x）≤2 950，

解不等式組，得x≤33，x≥31，

所以不等式的解是31≤x≤33.

因?yàn)閤是整數(shù)，

所以x可取31，32，33，

所以可設(shè)計(jì)三種搭配方案：

①搭配a種禮包31個(gè)，搭配b種禮包19個(gè);

②搭配a種禮包32個(gè)，搭配b種禮包18個(gè);

③搭配a種禮包33個(gè)，搭配b種禮包17個(gè).

（2）方法一：由于搭配b種禮包的成本高于a種.所以b種禮包搭配越少，成本越低，故應(yīng)選擇方案③，這樣成本最低，最低成本為42 720元.

方法二：方案①需成本：

31×800+19×960=43 040（元）;

方案②需成本：

32×800+18×960=42 880（元）;

方案③需成本：

33×800+17×960=42 720（元），

所以應(yīng)選擇方案③，這樣成本最低，最低成本為42 720元.