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    一類復矩陣方程的雙結構解及最佳逼近

    2022-07-22 14:30:26黃敬頻
    關鍵詞:對角表達式定理

    黃敬頻,徐 云

    (廣西民族大學 數(shù)學與物理學院, 南寧 530006)

    0 引言

    在復數(shù)域上討論方程

    (1)

    具有三對角-箭形同元雙結構解(X,Y)及其最佳逼近問題。

    定義1復數(shù)域C上2個n級矩陣:

    (2)

    三對角矩陣在船體數(shù)學放樣中3次樣條插值函數(shù)的建立,以及微分方程邊值問題的求解等方面有重要應用。箭形矩陣來源于孤立分子的無輻射躍遷與費米液體的耦合問題,它可作為非線性調(diào)節(jié)控制系統(tǒng)中的參數(shù)矩陣,也可用來描述星形彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的振動問題。提出并具體討論如下2個問題:

    1 問題1的解

    w=(x1,…,xn,y1,…,yn-1,z1,…,zn-1)T∈C3n-2

    (3)

    引理1設X是形如式(2)的三對角矩陣,ei為單位矩陣In2的第i列,構造一個列正交矩陣T如下:

    (4)

    則vec(X)=Tw, 其中w,T見式(3)(4)所示。

    證明根據(jù)定義1和矩陣(4)的構造方法可得

    vec(X)=x1e1+…+xie(i-1)n+i+…+xnen2+

    y1e2+…+yie(i-1)n+i+1+…+yn-1en2-n+

    z1en+1+…+ziein+i+…+zn-1en2-1=

    (e1,…,e(i-1)n+i,…,en2)(x1,…,xn)T+

    (e2,…,e(i-1)n+i+1,…,en2-n)(y1,…,yn-1)T+

    (en+1,…,ein+i,…,en2-1)(z1,…,zn-1)T=

    α1(x1,…,xn)T+α2(y1,…,yn-1)T+

    α3(z1,…,zn-1)T=(α1,α2,α3)w=Tw

    因此引理1關于vec(X)的表達式成立。證畢。

    引理2設Y是形如式(2)的箭形矩陣,ei為單位矩陣In2的第i列,構造一個列正交矩陣U:

    (5)

    則vec(Y)=Uw,其中w,U如式(3)(5)所示。

    證明根據(jù)定義1和矩陣(5)的構造方法可得

    vec(Y)=x1e1+…+xie(i-1)n+i+…+xnen2+

    y1e2+…+yiei+1+…+yn-1en+

    z1en+1+…+ziein+1+…+zn-1en2-n+1=

    (e1,…,e(i-1)n+i,…,en2)(x1,…,xn)T+

    (e2,…,ei+1,…,en)(y1,…,yn-1)T+

    (en+1,…,ein+1,…,en2-n+1)(z1,…,zn-1)T=

    β1(x1,…,xn)T+β2(y1,…,yn-1)T+

    β3(z1,…,zn-1)T=(β1,β2,β3)w=Uw

    所以引理2關于vec(Y)的表達式成立。證畢。

    引理3[3]復矩陣方程AX=B有解的充要條件是AA+B=B。有解時,它的一般解和最小二乘解均可表示為:X=A+B+(I-A+A)V, 其中V是適當階數(shù)的任意矩陣。

    引入記號

    v=vec(E)

    則矩陣方程(1)等價于

    F·vec(X)+G·vec(Y)=v

    (6)

    如果(1)存在解(X,Y)∈TAn,則由引理1和引理2得

    vec(X)=Tw,vec(Y)=Uw

    其中w、T、U分別如式(3)(4)(5)所示。把vec(X)和vec(Y)代入式(6)得

    (FT+GU)w=v

    (7)

    這里FT+GU∈Cml×(3n-2),v∈Cml。設FT+GU的奇異值分解為

    (8)

    ∑r=diag(σ1,…,σr)>0,P∈Uml×ml,Q∈U(3n-2)×(3n-2)是酉矩陣。令

    (9)

    其中vr,wr∈Cr,v3n-2-r,w3n-2-r∈C3n-2-r。于是關于問題1的解,有如下結果:

    定理1給定Ai,Cj∈Cm×n,Bi,Dj∈Cn×l(i=1,…,q),E∈Cm×l,并設(7)中FT+GU的奇異值分解為式(8),則方程(1)存在解(X,Y)∈TAn的充要條件是分解式(9)中向量vr=∑rwr,v3n-2-r=0。有解時,它的一般解表達式為

    (10)

    其中∑r,Q,vr由分解式(8)(9)給出,w3n-2-r∈C3n-2-r是任意向量,解(X,Y)由w唯一確定。

    證明方程(1)存在解(X,Y)∈TAn等價于方程(7)關于w有解。又由式(7)(8)(9)可得

    因此有vr=∑rwr,v3n-2-r=0。 再由式(9)可得

    于是式(1)有解(X,Y)∈TAn的充要條件是vr=∑rwr,v3n-2-r=0,且其通解為(10)。證畢。

    在方程(1)中取Cj=0(j=1,…,q)或Ai=0(i=1,…,p),并由方程組(7)及引理3可得以下2個推論。

    wt=(FT)+v+(I3n-2-(FT)+FT)γt

    其中γt∈C3n-2是任意向量,解X由wt所確定。

    wa=(GU)+v+(I3n-2-(GU)+GU)γa

    其中γa∈C3n-2是任意向量,解Y由wa所確定。

    下面討論方程(1)在HTAn中的解。先對復矩陣Ai,Cj,Bi,Dj(i=1,…,p;j=1,…,q),E及X,Y作實分解為:

    Ai=Ai0+Ai1I,Cj=Cj0+Cj1I

    Bi=Bi0+Bi1I,Dj=Dj0+Dj1I

    E=E0+E1I,X=X0+X1I,Y=Y0+Y1I

    (11)

    引入記號

    (12)

    則方程組(11)等價于

    (13)

    當(X,Y)∈HTAn時,由X=X*,Y=Y*可得

    因此(X0,Y0)及(X1,Y1)分別由下列2個實向量唯一確定

    (14)

    類似于引理1和引理2的方法,設ei為單位矩陣In2的第i列,構造矩陣T0、U0、T1、U1:

    (15)

    (16)

    T1=(en+1-e2,…,ein+i-e(i-1)n+i+1,…,

    en2-1-en2-n)

    (17)

    U1=(en+1-e2,…,ein+1-ei+1,…,

    en2-n+1-en)

    (18)

    其中T1,U1∈Rn2×(n-1)。于是有

    (19)

    將式(19)代入式(13)整理得

    Hwh=vh

    (20)

    其中

    于是關于方程(1)在HTAn中的解,有如下結果:

    定理2給定Ai,Cj∈Cm×n,Bi,Dj∈Cn×l(i=1,…,p;j=1,…,q),E∈Cm×l,則方程(1)存在Hermite三對角-箭形同元雙結構解(X,Y)∈HTAn的充要條件是

    HH+vh=vh

    (21)

    有解時,它的一般解表達式為

    wh=H+vh+(I3n-2-H+H)γh

    (22)

    其中γh∈R3n-2是任意向量,解X、Y由wh所確定。

    證明方程(1)存在解(X,Y)∈HTAn等價于方程(20)關于wh有解,于是根據(jù)引理3可知(1)存在解(X,Y)∈HTAn的充要條件是式(21)成立,且其通解由式(22)給出。證畢。

    根據(jù)定理2的結果,容易得到以下推論3和推論4。

    有解時,它的一般解表達式為

    其中γht∈R3n-2是任意向量,解X由wht所確定。

    有解時,它的一般解表達式為

    其中γha∈R3n-2是任意向量,解Y由wha所確定。

    2 問題2的解

    假定方程(1)存在解(X,Y)∈TAn,即定理1中解集w非空。對于給定的三對角矩陣M和箭形矩陣N,設它們對應的3n-2維向量為

    (23)

    并對向量Ql(M)和Ql(N)分解如下

    (24)

    這里Q∈U(3n-2)×(3n-2)是由式(8)給出的酉矩陣。于是關于問題2的解,有如下結果:

    (25)

    證明根據(jù)矩陣(X,Y)的向量化表示式(3)及定理1可得

    其中w3n-2-r∈C3n-2-r是待定向量,因此有

    當且僅當

    (26)

    利用Frobenius范數(shù)定義及二元函數(shù)極值方法,容易求得式(26)關于w3n-2-r具有唯一解

    (27)

    把式(27)代入式(10)即得表達式(25)。證畢。

    3 數(shù)值算例

    給定矩陣A,C∈C2×4,B,D∈C4×2,E∈C2×2,試用本文方法判斷方程AXB+CYD=E是否存在解(X,Y)∈TA4或(X,Y)∈HTA4。

    判斷是否存在解(X,Y)∈TA4。根據(jù)引理1和引理2及(7)寫出T,U,F,G,v如下:

    T=(e1,e6,e11,e16,e2,e7,e12,e5,e10,e15)

    U=(e1,e6,e11,e16,e2,e3,e4,e5,e9,e13)

    v=vec(E)

    其中ei為單位矩陣I16的第i列。直接計算可得

    (FT+GU)(FT+GU)+v=v

    因此,根據(jù)定理1知,方程AXB+CYD=E存在三對角-箭形雙結構解(X,Y)∈TA4且由式(10)確定。

    判斷是否存在解(X,Y)∈HTA4。先按方程(20)寫出H,vh。由于

    P1=BT?A,P2=0,Q1=DT?C,Q2=0

    E=E0+E1I

    T0=(e1,e6,e11,e16,e2+e5,e7+e10,e12+e15)

    U0=(e1,e6,e11,e16,e2+e5,e3+e9,e4+e13)

    T1=(e5-e2,e10-e7,e15-e12)

    U1=(e5-e2,e9-e3,e13-e4)

    于是

    vh=(2,2,3,2,0.4,0.6,0.6,-0.2)T∈R8

    直接計算可得HH+vh=vh,因此根據(jù)定理2可知,方程AXB+CYD=E存在解(X,Y)∈HTA4且由式(22)確定。下面給出其中1組解

    4 結論

    復系統(tǒng)(1)是一類涵蓋Sylvester方程和Lyapunov方程,具有廣泛實際背景的矩陣方程,本文研究了它的三對角-箭形同元雙結構解及最佳逼近問題。針對問題1,主要利用三對角矩陣和箭形矩陣的結構特點,給出它們的向量化刻劃,獲得原方程在TAn和HTAn中有解的充要條件及其解表達式。針對問題2,利用結構矩陣的向量化技巧及Frobenius范數(shù)酉矩陣乘積不變性,在問題1解集Ω≠?條件下,獲得問題2的最佳逼近解。數(shù)值算例驗證了本文結果的正確性。

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