三機驅動遠超共振機械系統(tǒng)的二倍頻同步及其仿真研究

羅元安，胡文超，張 旭，王志輝，張學良

（1.會理縣財通鐵鈦有限責任公司工程管理部，四川涼山 615100；2.東北大學機械工程與自動化學院，遼寧沈陽 110819）

關于同步現(xiàn)象，最早的探索可以追溯到Huygens 關于耦合單擺的同步研究。Blekhman［1］基于直接運動分離法提出了雙激振器振動機的同步理論，并給出了同步的運動學及動力學定義；Inoue 等［2］研究了平面運動雙電機驅動激振器的三倍頻同步；Wen 等［3-4］運用平均法得出振動系統(tǒng)實現(xiàn)同步的同步性和穩(wěn)定性理論條件，發(fā)明了大量的自同步振動機械，建立了振動利用工程的新學科；Balthazar等［5］利用數值仿真給出了2個或4個非理想激振器的自同步的簡要評論，這些特殊現(xiàn)象被稱為“sommerfeld”效應；Zhao 等［6-7］利用改進的小參數平均法推導出含有擾動參數的頻率捕獲方程并且得到了系統(tǒng)實現(xiàn)同步的兩大判據；Zhang 等［8-9］對雙機及多機驅動同步理論進行了深入的研究，在分析單質體的基礎上研究了多質體同步理論，利用固有頻率將整個頻率區(qū)域分為若干個區(qū)間，得到各區(qū)間的耦合動力學特性。

盡管上述文獻已經對2 個或多個激振器的同步理論進行了細致的探索和研究，但這些成果主要集中于以單一頻率驅動各激振器進而獲得其在相同轉速下的同步及穩(wěn)定特性，對不同頻率驅動的激振器實現(xiàn)同步的研究卻很少涉及。

本文以三機驅動遠超共振振動系統(tǒng)（即系統(tǒng)的運轉頻率是其固有頻率的3 倍以上）為例，運用漸近法對其在二倍頻條件下的穩(wěn)態(tài)相位差、質體運動形式等穩(wěn)態(tài)特性進行研究，并在理論推導的基礎上進行相應的仿真，驗證理論結果的正確性。

1 系統(tǒng)動力學模型和運動微分方程

三機驅動機械系統(tǒng)的動力學模型如圖1所示，彈簧對稱旋轉，每個激振器都由感應電機驅動，繞各自旋轉中心旋轉，旋轉相位角分別為φ1、φ2、φ3，激振器回轉軸心與質體質心的連線與x軸的夾角用θi表示，其中，θ1=θ，θ2=90°，θ3=180°-θ。系統(tǒng)運動有3個自由度，分別為x、y方向振動及繞質心的擺角ψ。

圖1 三機驅動系統(tǒng)動力學模型Fig.1 Dynamic model of a vibrating system with three exciters

根據Lagrange方程得系統(tǒng)的運動微分方程如下：

式中：Jm為質體m的轉動慣量；Ji為激振器i的轉動慣量；J0i為激振器i的軸轉動慣量；le為系統(tǒng)當量回轉半徑；f1、f2、f3分別為x、y、ψ方向上的阻尼系數；k1、k2、k3分別為x、y、ψ方向上的彈簧剛度；Tei為電機i的電磁輸出轉矩。

2 二倍頻同步的理論分析

3 個激振器實現(xiàn)同步穩(wěn)定運轉時激振器1 和3的運轉頻率相同，激振器2 的運轉頻率是它們的2倍，激振器旋轉時的相位角為

式中：ν=ωt，ω為激振器1和3的運轉頻率；Γi（i=1，2，3）是激振器運動產生階段發(fā)生緩慢變化的函數，將其定義為相對相位，n1=n3=1，n2=2。將Γi寫成Bogliubov標準形式［10］：

將式（2）、式（3）代入式（1）中，可得一階聯(lián)合微分方程，其表達式如下：

2.1 轉速比為1∶1激振器間的同步條件

考慮到激振器1 和3 的轉速相同，取式（5）到ε項為止，可得

因此將式（7）代入式（6）得激振器1和3實現(xiàn)轉速比為1∶1同步的條件為

2.2 轉速比為1∶2激振器間的同步及穩(wěn)定條件

對其進行穩(wěn)定性分析，因為初始相位角Γi0具有小偏差，需要做如下設定：

將式（12）代入式（5）中得到攝動方程表達式為

取λ為特征值，得到特征方程表達式為

應用Routh-Hurwitz 穩(wěn)定性準則，即方程的解λi(i=1，2，3)具有負實部時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。所以有

因此，式（15）為系統(tǒng)在二倍頻同步條件下的穩(wěn)定性判據條件。H1被定義為系統(tǒng)基頻同步穩(wěn)定性指數，H2被定義為系統(tǒng)二倍頻同步穩(wěn)定性指數。小參數ε是個比值，要遠遠小于1，所以H1=-(ε)b1恒小于0，分析式（15）可得激振器間的穩(wěn)定相位差關系為

3 仿真

為了進一步驗證上述理論結果，在本章中，將龍格-庫塔程序應用于振動系統(tǒng)的運動微分方程中，對理論分析結果進行了相應的計算機仿真。3 個電機型號一致，其對應參數為三相鼠籠式，50 Hz，380 V，6 級，0.20 kW，額定轉速980 r/min。電機內部參數為轉子電阻Rr=3.40 Ω，定子電阻Rs=3.35 Ω，互感Lm=164 mH，轉子電感Lr=170 mH，定子電感Ls=170 mH。振動系統(tǒng)參數為m=1 000 kg，m01=m02=m03=15 kg，r=0.15 m，k1=k2=120 kN/m，k3=80 kN/rad，J=960 kg·m2，f1=f2=3.83 kN·s·m-1，f3=3.27 kN·s·rad-1，β=40°。將電機1 和電機3 的工作頻率設置為25 Hz，電機2 的工作頻率設置為50 Hz，仿真結果如圖2所示。

圖2 三激振器同向回轉的仿真結果Fig.2 Simulation results of three exciters rotating in the same direction

如圖2（a）所示，由于3 電機的運轉頻率比為1∶2，所以對應于轉速會出現(xiàn)2 倍關系。電機1 和3的轉速相同，約為498 r/min，電機2 的轉速約為996 r/min。由圖2（b）可知，電機供電約1 s 后系統(tǒng)達到同步穩(wěn)定運轉，此時3 個激振器間的穩(wěn)定相位差為Θ12=-194°、Θ23=-132°、Θ13=-163°，并且各激振器間的相位差能夠很好地滿足式（16）。圖2（c）、圖2（d）為各方向上測得的系統(tǒng)位移響應，x和y方向上的振幅分別為0.58、0.61 mm。擺動角接近5°，相對較小，因此只研究平面運動，通過位移響應的放大圖可看出穩(wěn)定狀態(tài)下質體在各方向上的具體運動形式。其振動波形為疊加波形，這是由于高低頻電機產生的不同激振力相互影響、相互作用的結果。將該研究應用到振動篩分設備上，可使篩網獲得不同激振力的作用，從而篩分效果更優(yōu)越。

上述仿真過程中，在15 s 處施加π/2 的干擾給電機2，從圖2 可以看出電機轉速、激振器間相位差和系統(tǒng)的響應在經過短暫波動后迅速恢復到干擾前的穩(wěn)定狀態(tài)，這表明3 個激振器可以在二倍頻條件下同步穩(wěn)定運行，并有較強的抗干擾能力。

4 結論

通過理論和仿真分析，得出以下結論：

（1）建立了一種遠超共振機械系統(tǒng)中三機同向旋轉的動力學模型，運用拉格朗日方法推導出了振動系統(tǒng)的運動微分方程，基于漸近法得到3 個激振器在二倍頻狀態(tài)下實現(xiàn)同步的條件。同時推導出同步狀態(tài)下的穩(wěn)定性判據，其結果符合Routh-Hurwitz準則。

（2）得到系統(tǒng)實現(xiàn)二倍頻同步時激振器之間的穩(wěn)定相位差以及各方向上的運動規(guī)律。質體的振動波形為疊加波，這種疊加波使得運動軌跡更為復雜，可為工程上振動篩分設備的功能化設計提供更多的選擇和理論參考。

（3）通過仿真對理論分析進行了驗證，其結果滿足理論推導中相位差的穩(wěn)定區(qū)域，進一步證明理論方法的正確性及所用研究方法的可行性。