基于A(yíng)rnold變換的數(shù)字影像隱私信息置亂方法研究

姜希堯

（上海工藝美術(shù)職業(yè)學(xué)院，上海 201808）

1 引言

信息置亂變換既能夠作為信息加密手段，還能作為隱藏信息的預(yù)處理過(guò)程。因此，其越來(lái)越受到學(xué)術(shù)界探究的廣泛關(guān)注[1]。

數(shù)字影像是利用有限數(shù)字?jǐn)?shù)值像素來(lái)表達(dá)二維圖像，運(yùn)用數(shù)組或矩陣進(jìn)行描述，光照位置與強(qiáng)度均呈現(xiàn)離散性[2]。數(shù)字影像通過(guò)模擬圖像數(shù)字化獲得，將像素當(dāng)作基礎(chǔ)元素，用數(shù)字計(jì)算機(jī)或數(shù)字電路保存及處理的圖像。從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，二維矩陣就是一幅數(shù)字圖像，圖像置亂就是把固定的數(shù)字圖像轉(zhuǎn)變?yōu)橐环s亂無(wú)章的圖像，令其表示的信息無(wú)法被直觀(guān)獲取。

關(guān)于圖像置亂問(wèn)題，郭海儒[3]等人基于像素顏色置亂，提出一種全新加密方法。采用新型增強(qiáng)量子模型表示彩色量子圖像，再通過(guò)改進(jìn)后的量子旋轉(zhuǎn)門(mén)來(lái)闡明顏色的量子比特隨機(jī)旋轉(zhuǎn)，讓初始圖像不涵蓋自身信息，達(dá)到加密效果。但該方法抗干擾性較差，算法性能穩(wěn)定性不高。屈凌峰[4]等人利用加密前后明文圖像0、1分布比例不變的特性，估計(jì)位平面置亂次序，再按照塊置亂和塊內(nèi)像素置亂維持像素值恒定不變的特征，定義圖像塊均方根特征以查找和估計(jì)塊置亂矩陣。但方法置亂過(guò)程計(jì)算量過(guò)大。

針對(duì)上述方法的不足，本文提出一種基于A(yíng)rnold 變換的數(shù)字影像隱私信息置亂方法，在了解Arnold 變換計(jì)算過(guò)程前提下，使用離散化對(duì)其安全性與靈活性進(jìn)行優(yōu)化，然后對(duì)圖像隱私信息的位置與色彩進(jìn)行置亂處理，獲得高質(zhì)量置亂加密圖像。

2 置亂方法研究

2.1 Arnold變換計(jì)算

Arnold變換又被叫作貓映射，將該變換過(guò)程記作：

式中，mod1代表僅擇取小數(shù)部分，所以(xn，yn)的相空間被收斂于單位正方形[0，1]×[0，1]中，將其定義為矩陣模式：

式中，C代表變換矩陣，行列式的值是1。此映射為無(wú)吸引子的單一映射，單位正方形中隨機(jī)一點(diǎn)僅能變換至單位正方形中的另一點(diǎn)[5]。實(shí)際上，貓映射就是混沌映射，其指數(shù)經(jīng)過(guò)推算矩陣C的兩個(gè)特征值獲得。

因?yàn)殡x散化下的Arnold 變換狀態(tài)空間較為有限，難以擁有優(yōu)秀的混沌特征。但從幾何角度來(lái)看，依舊具備Arnold 變換的拉伸與折疊性質(zhì)，致使鄰近的兩點(diǎn)(i，j)、(i，j+1)通過(guò)多次離散變換迭代后無(wú)法相鄰，證明Arnold 變換擁有相對(duì)的初始值敏感性[6]。使用該性質(zhì)，能打亂數(shù)字圖像的相鄰像素方位，從圖像內(nèi)不能得到原始圖像的有關(guān)信息，實(shí)現(xiàn)隱私信息安全保護(hù)。

為增強(qiáng)Arnold變換作用于數(shù)字影像置亂的靈活性與安全性，對(duì)變換矩陣C內(nèi)每個(gè)元素進(jìn)行參數(shù)化，并符合相關(guān)收斂條件，得到廣義Arnold變換：

式中，參變量a，b，c，dC，且gcd(ad-bc，N)=1。然后將其變化成等價(jià)模式：

式中，l1、l2為整數(shù)。使用求解線(xiàn)性方程組的消元法求解上式，得到廣義Arnold變換的逆向變換解析式：

此外，關(guān)于整數(shù)型方程組式(4)，能夠獲得接近傳統(tǒng)克萊姆法則的求解過(guò)程為：

利用矩陣計(jì)算法，可判斷出逆向變換下的式(5)與式(6)為等價(jià)關(guān)系，把逆向變化式(5)用在置亂后圖像的迅速修復(fù)，比使用周期性修復(fù)具有更高的效率。關(guān)于二維廣義Arnold變換只適用于兩個(gè)變量的平面圖像像素位置置亂的缺陷[7]，使用廣義三維Arnold 變換來(lái)填補(bǔ)其不足，將廣義三維Arnold變換過(guò)程記作：

式中，矩陣C表示變換矩陣，同時(shí)符合如下收斂條件：參變量均為整數(shù)值，且變換矩陣C的行列式滿(mǎn)足式(8)條件。

在符合式(8)的前提下，讓廣義三維Arnold 變換擁有周期性、保面積性與可逆性。對(duì)于廣義三維Arnold 變換的一般情況，相關(guān)學(xué)者設(shè)計(jì)了比較繁雜的消元法獲得對(duì)應(yīng)的逆向變換結(jié)果，但不利于理論研究與真實(shí)運(yùn)用。依舊采用傳統(tǒng)克萊姆法則進(jìn)行求解[8]，滿(mǎn)足高質(zhì)量數(shù)字圖像隱私信息保護(hù)，計(jì)算過(guò)程為：

不管是二維廣義Arnold 變換還是高維廣義Arnold 變換，其數(shù)學(xué)性質(zhì)均接近仿射變換，擁有線(xiàn)性密碼學(xué)特質(zhì)，安全性與置亂加密成效還有很大的提升空間，為優(yōu)化Arnold 變換整體效果，對(duì)廣義Arnold變換實(shí)施優(yōu)化?；煦鐒?dòng)力學(xué)中，有一類(lèi)映射被叫作標(biāo)準(zhǔn)映射，將其描述成下式：

式中，k表示正常數(shù)，將式(10)變換成普通形式：

為實(shí)現(xiàn)數(shù)字影像像素值大小加密，將式(11)進(jìn)行離散化，得到：

上述流程和傳統(tǒng)密碼學(xué)內(nèi)的分組密碼Feistel 結(jié)構(gòu)十分相近。為使用離散標(biāo)準(zhǔn)映射來(lái)改進(jìn)廣義Arnold 變換提供了優(yōu)化思路，具體優(yōu)化過(guò)程為：將式(3)的廣義Arnold變換轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

式中，f(xn+1)為非線(xiàn)性函數(shù)。此外，為提升Arnold 變換安全性能，對(duì)式(13)進(jìn)行變換，剔除模計(jì)算過(guò)程，記作：

在上式成立的情況下，對(duì)其實(shí)施逆向變換：

同理關(guān)于式(7)，能夠得到提升其安全性的改進(jìn)后變換解析式：

2.2 基于A(yíng)rnold變換的數(shù)字影像隱私信息位置置亂

在了解Arnold變換相關(guān)計(jì)算過(guò)程后，下面對(duì)Arnold變換下數(shù)字影像隱私信息位置置亂進(jìn)行著重研究。對(duì)于數(shù)字影像而言，可以把它當(dāng)作某函數(shù)處于離散網(wǎng)格點(diǎn)的采樣值，這樣就能獲得一個(gè)代表圖像的矩陣。將正方形數(shù)字影像位置的離散化Arnold變換描述為：

式中，N表示數(shù)字影像的寬度與高度。

數(shù)字影像內(nèi)的位移本質(zhì)上為互相對(duì)應(yīng)點(diǎn)的灰度值或顏色值的位置移動(dòng)，也就是把原始點(diǎn)(x，y)位置像素對(duì)應(yīng)的灰度值轉(zhuǎn)移到變換之后的點(diǎn)(x'，y')。倘若對(duì)某數(shù)字影像迭代采用離散化Arnold 變換，把左端輸出的(x'，y')T當(dāng)作下次變換輸入，反復(fù)執(zhí)行該操作，迭代若干次后，假如呈現(xiàn)的圖像滿(mǎn)足對(duì)其雜亂無(wú)章的需求，即完成數(shù)字影像隱私信息位置置亂目標(biāo)。

值得注意的是，Arnold變換具備周期性，也就是迭代某個(gè)步驟之后，會(huì)重新獲得初始圖像，為解決這一難題，設(shè)定隨機(jī)N＞2 情況下，Arnold 變換周期為T(mén)N≤N2/2。針對(duì)二維平面內(nèi)的位置變換，可以通過(guò)Arnold 變換擴(kuò)展出一類(lèi)變換，符合此類(lèi)位置移動(dòng)需求。關(guān)于式(18)的矩陣，其元素符合ad-bc=1條件的情況下，對(duì)平面坐標(biāo)實(shí)施轉(zhuǎn)換就是一種置亂處理。

2.3 基于A(yíng)rnold變換的數(shù)字影像隱私信息色彩置亂

把Arnold變換拓展至高維空間，與其對(duì)應(yīng)的變換矩陣是：

式(20)即為一種在N維空間內(nèi)離散網(wǎng)格點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)形式。在數(shù)字影像色彩空間中，設(shè)計(jì)兩類(lèi)高維Arnold 變換的置亂方法。首先是RGB色彩空間下的置亂方法。將三維空間內(nèi)的正方體擬定為RGB 色彩空間，且頂點(diǎn)坐落于坐標(biāo)原點(diǎn)，一般情況下，色彩空間中的顏色分量均為整數(shù)，因此置亂對(duì)象為正方體內(nèi)的離散網(wǎng)格點(diǎn)，將其記作：

針對(duì)上面的RGB顏色，采用三維Arnold變換在該網(wǎng)格上實(shí)施置亂，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)字影像的顏色置亂效果：

在RGB色彩空間內(nèi)，假如使用上式進(jìn)行變換，可以明確其周期為450。但對(duì)于數(shù)字影像來(lái)說(shuō)，由于不同影像的色彩搭配各不相等，只能認(rèn)定該周期為變換的一個(gè)臨界值。色彩置亂的另一個(gè)難題為：不同位置的相同顏色不能實(shí)施置亂，這是由于R、G、B分量值為固定的，通過(guò)此種置亂變換后，不同位置點(diǎn)的色彩依舊相同，這樣就恢復(fù)了初始圖像的輪廓，對(duì)該問(wèn)題使用下面的置亂方法進(jìn)行修正。

設(shè)定某數(shù)字影像為F，把該影像描述成一個(gè)函數(shù)在矩形網(wǎng)格點(diǎn)處的函數(shù)值，即：

將該數(shù)字影像表示成以下矩陣：

以列舉例，隨機(jī)挑選數(shù)字影像的某一列Z=(Fi0，F(xiàn)i1，…，F(xiàn)i，N-1)T，使用式(19)的N階拓展Arnold變換矩陣AN采取以下變換過(guò)程：

利用式(25)就能獲得一幅色彩置亂圖像，把左端的輸入列放置到初始圖像的對(duì)應(yīng)方位，并迭代重復(fù)該過(guò)程。

N維空間的拓展Arnold 變換周期計(jì)算過(guò)程比較繁雜，且因?yàn)橛跋癫煌男信c列，會(huì)出現(xiàn)多種色彩值組合排序，讓初始圖像恢復(fù)變得極其困難，惡意攻擊者很難破譯圖像信息。由此看出，使用Arnold 變換時(shí)，即便是相同顏色，只要出現(xiàn)于圖像內(nèi)的不同方位，就能產(chǎn)生全新的色彩，讓圖像變得更為混亂，實(shí)現(xiàn)預(yù)期需求，填補(bǔ)了傳統(tǒng)RGB色彩空間三維顏色置亂的缺陷。

3 實(shí)驗(yàn)與分析

為驗(yàn)證基于A(yíng)rnold變換的數(shù)字影像隱私信息置亂方法的有效性，設(shè)計(jì)如下實(shí)驗(yàn)。

使用本文方法對(duì)512×512 的人像進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1 所示。圖1(a)為初始圖像，圖1(b)是初始圖像通過(guò)15 次Arnold 變換后，對(duì)其各個(gè)2×2 字塊依次采取一次Fermat數(shù)變換后的結(jié)果，圖1(c)為還原后的圖像。分析圖1可知，使用本文進(jìn)行數(shù)字影像置亂后，該圖像雜亂無(wú)章，擁有優(yōu)秀的隱私信息安全性，且還原后的圖像清晰度更高。

圖1 本文方法的信息置亂效果圖

表1為在圖像大小不定的情況下，加解密所消耗的時(shí)間對(duì)比。分析表1 可知，本文方法的時(shí)間復(fù)雜度很低，證明所提圖像置亂方法的運(yùn)算速度較快，這是因?yàn)楸疚姆椒ú捎昧薃rnold 變換對(duì)所需加密圖像進(jìn)行置亂處理，并運(yùn)用矩陣計(jì)算法改善圖像修復(fù)速率，獲得令人滿(mǎn)意的圖像加密結(jié)果。

表1 本文方法加解密速率仿真結(jié)果

倘若初始圖像像素點(diǎn)通過(guò)置亂變換后，像素點(diǎn)地址無(wú)任何改變，將該像素點(diǎn)當(dāng)作置亂變換的不移動(dòng)點(diǎn)。不移動(dòng)點(diǎn)數(shù)量越少，置亂成效越好，保密性越強(qiáng)。表2 為對(duì)512×512 的lena 圖像任意挑選的9000 個(gè)初值，經(jīng)過(guò)Arnold 變換后不移動(dòng)點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。分析表2可知，基于A(yíng)rnold變換的數(shù)字影像隱私信息置亂方法的不移動(dòng)點(diǎn)數(shù)量?jī)H占據(jù)整幅圖像全部像素點(diǎn)的0．37%～0．46%，證明本文方法擁有優(yōu)秀的置亂效果，實(shí)用性強(qiáng)。

表2 圖像置亂不移動(dòng)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)數(shù)字影像隱私信息安全問(wèn)題，本研究設(shè)計(jì)了基于A(yíng)rnold變換的數(shù)字影像隱私信息置亂方法。該方法擁有計(jì)算量少、運(yùn)行速率快、置亂效果良好等諸多優(yōu)勢(shì)。由于在還原圖像塊聚合特征時(shí)存在噪聲，因此，在提升置亂效率的同時(shí)增強(qiáng)該方法在多樣化應(yīng)用背景下的適用性是接下來(lái)研究的主要內(nèi)容。