帶輸入約束的一階采樣多智能體系統(tǒng)包含控制＊

張 旺,侯海良

（湖南人文科技學(xué)院信息學(xué)院，湖南 婁底 417000）

1 引言

近幾年來，隨著通信技術(shù)的快速發(fā)展，多智能體系統(tǒng)分布式控制已經(jīng)成為控制中的一個研究熱點問題，并取得了一些有價值的成果[1-4]，文獻(xiàn)[1]研究了固定拓?fù)湎碌挠邢迺r間一致性問題。文獻(xiàn)[2]研究了無向切換拓?fù)涞挠邢迺r間一致性問題，證明了通信拓?fù)洳⒓癁槁?lián)合聯(lián)通圖時能實現(xiàn)一致。前面的研究都是針對無領(lǐng)導(dǎo)者一致性問題，但在實際應(yīng)用中單領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)會在減少系統(tǒng)開銷的同時縮短收斂時間。在跟隨者不能直接獲得領(lǐng)導(dǎo)者狀態(tài)情況下，文獻(xiàn)[3]設(shè)計了一種基于鄰居狀態(tài)估計的一致性算法。文獻(xiàn)[4]將文獻(xiàn)[3]中結(jié)果擴(kuò)展到二階系統(tǒng)中，設(shè)計二階觀測器實現(xiàn)了噪聲環(huán)境下對跟蹤誤差的估計。

近年來，隨著實際應(yīng)用要求的提高，有些工作任務(wù)需要多個領(lǐng)導(dǎo)者共同協(xié)調(diào)引導(dǎo)完成，包含控制等分布式協(xié)調(diào)控制問題逐漸引起人們的關(guān)注。包含控制指多個領(lǐng)導(dǎo)者形成一個凸包，通過設(shè)計分布式協(xié)調(diào)控制算法使所有跟隨者進(jìn)入凸包并最終保持在該凸包中。由于包含控制的潛在應(yīng)用價值，如無人機(jī)護(hù)航編隊、武裝機(jī)器人執(zhí)行護(hù)衛(wèi)任務(wù)等，一些研究成果相繼報道[5-10]。在連續(xù)系統(tǒng)包含控制問題上，文獻(xiàn)[5]中研究了二階系統(tǒng)在時變時滯影響下的包含控制問題，針對動態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者和靜態(tài)領(lǐng)導(dǎo)者分別提出了實現(xiàn)包含的時滯上界。文獻(xiàn)[6]研究了在時變延遲情況下的包含控制問題，給出了通信拓?fù)鋱D聯(lián)合連通情況下實現(xiàn)包含控制的充分條件。文獻(xiàn)[7]中解決了噪聲影響下的包含控制問題。文獻(xiàn)[8]研究了固定和切換有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋬煞N情況下的包含控制問題，給出了實現(xiàn)包含控制的充分條件和必要條件。文獻(xiàn)[9]分析了帶有延遲的一階離散時間系統(tǒng)的包含控制問題，提出了一種含單積分器的控制算法。文獻(xiàn)[10]研究了一階和二階離散系統(tǒng)有界時滯包含控制問題。

以上文獻(xiàn)研究均是針對連續(xù)多智能體系統(tǒng)[5-8]和離散多智能體系統(tǒng)[9-10]。但在實際控制時，連續(xù)多智能體系統(tǒng)數(shù)據(jù)傳輸和控制對信道的帶寬和可靠性要求高，離散系統(tǒng)能有效的減少通信開銷?？紤]到實際系統(tǒng)通常是連續(xù)時間系統(tǒng)，而當(dāng)今數(shù)字化時代控制器通常為采用計算機(jī)或者微處理器實現(xiàn)的離散數(shù)字控制器，其控制合成只需要使用離散的采樣數(shù)據(jù)。因此，多智能體控制系統(tǒng)實際上是一種采樣系統(tǒng)。與連續(xù)控制系統(tǒng)相比，采樣系統(tǒng)只需要傳輸有限的采樣數(shù)據(jù)，能明顯降低通信代價。目前很少有針對采樣多智能體包含控制問題的研究。文獻(xiàn)[11]研究了僅利用位置信息的二階采樣系統(tǒng)的包含控制問題。文獻(xiàn)[12]在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上研究了采樣延遲的包含控制問題。文獻(xiàn)[13]針對通信延遲和切換拓?fù)涞膯栴}提出了一種基于投影的非線性算法。這些研究結(jié)果都認(rèn)為智能體的輸入和狀態(tài)是不受約束的。實際上，由于物理條件的限制，智能體不可避免的要受到一些約束，比如無人機(jī)的速度只能在一定范圍內(nèi)變化，由于物理條件的限制控制輸入也不可能無限大。因此，研究多智能體的約束問題具有重要的現(xiàn)實意義。文獻(xiàn)[14]研究了帶控制輸入約束的二階連續(xù)時間系統(tǒng)的包含控制問題。具有輸入約束的一致性問題在文獻(xiàn)[15-16]中也有研究。文獻(xiàn)[17]分析了帶有速度約束的二階離散系統(tǒng)包含控制問題。文獻(xiàn)[18]研究了帶時滯和速度約束的離散時間多智能體系統(tǒng)的一致性問題。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[19]解決了受速度和輸入雙重約束的二階離散系統(tǒng)一致性問題。目前尚未見有關(guān)于帶約束的采樣系統(tǒng)包含控制研究結(jié)果。

本文研究了帶有輸入約束和有向切換拓?fù)涞囊浑A采樣多智能體系統(tǒng)的包含控制問題，提出了一種基于投影的分布式協(xié)調(diào)控制算法。首先為跟隨者智能體設(shè)計了只需要利用自身和能直接通信的鄰居智能體狀態(tài)信息的分布式包含控制算法，接著將跟隨者到領(lǐng)導(dǎo)者所形成的凸包的最大距離選擇為Lyapunov函數(shù)，根據(jù)Lyapunov定理證明：在通信拓?fù)涞牟⒓?，只要每個跟隨者智能體至少有一條從領(lǐng)導(dǎo)者到它的通信路徑，Lyapunov函數(shù)最終能夠收斂到0，也就是包含控制能夠?qū)崿F(xiàn)。

2 圖論與預(yù)備知識

本部分列出必要的圖論基礎(chǔ)知識。通信拓?fù)鋱D由G(V，E，A)表示，其中V=(1，2，3…n)表示頂點的集合。EV×V表示邊的集合，加權(quán)鄰接矩陣表示為A=[aij]n×n，aij代表邊的權(quán)值，(j，i)E代表智能體i能收到智能體j的信息[20]。對于鄰接矩陣A，如果(j，i)E，有aij＞0(i≠j)，否則aij=0。在有向圖中，有序邊序列(i1，i2)，(i2，i3)，…構(gòu)成了圖的有向路徑，其中(ij，ij+1)V。令多個有向圖G1，G2，G3，…，Gs的并集為Gz，Gz仍是一個有向圖，且Gz的邊集等于全部有向圖Gz，j=1，2，3，…，s邊集的并集。

定義1[19]：當(dāng)x≠0時(0)=0，Uir是一個有界的非空封閉集合，且0Ui。此時(x)定義為。且，其中、均是正常數(shù)。即約束算符(x)的物理意義是找到一個方向相同的矢量x使得滿足，并且對于任意μ[0，1]，都滿足μ(x)Ui。需要特別指出的是，約束算符不要求Ui是凸性的(如圖1約束算符舉例所示)。

圖1 約束算符舉例

3 問題提出及系統(tǒng)設(shè)計

設(shè)多智能體系統(tǒng)由m+n個智能體組成，其中包括m個領(lǐng)導(dǎo)者和n個跟隨者，跟隨者由集合N={1，2，3，…，n}，領(lǐng)導(dǎo)者由M={n+1，n+2，n+3，…，n+m}表示，ri(k)h表示智能體的在kT時刻的位置，ui(k)h表示智能體在kT時刻的控制輸入。在本文中我們只討論h=1的情況。T＞0表示采樣周期，后面我們用k表示kT。通信拓?fù)鋱DG(kT)=G(V，E(kT)，A(kT))中每個智能體均為一個節(jié)點。

對于連續(xù)時間系統(tǒng)，則每個智能體的動力學(xué)模型可描述為：

其中控制輸入ui(t)依據(jù)采樣數(shù)據(jù)變化，在一個采樣周期[kT，(k+1)T]中，ui(t)為一個恒定的值。由此可得出一個周期內(nèi)智能體的位置變換為：△r=ui(t)T。

考慮到每個智能體的輸入受到非凸約束，其動力學(xué)方程可寫為：

其中，rih是智能體的位置，uih是在時間段[kT，(k+1)T]智能體的控制輸入。假設(shè)當(dāng)k＜0時，有ri(k)=ri(0)。包含控制的目的是設(shè)計一種控制器，使得所有的智能體的控制輸入約束在集合Ui中，且所有智能體都能進(jìn)入到由領(lǐng)導(dǎo)者所構(gòu)成的凸包Hi中。即，為了達(dá)到包含控制的效果將控制器定義為：

式中，aij(k)A(k)，A(k)是在kT時刻的加權(quán)鄰接矩陣，如果跟隨者能與任意領(lǐng)導(dǎo)者通信，則bi(k)＞σ，否則bi(k)=0，這里σ是一個正的常數(shù)。假設(shè)在滿足aij＞0 的情況下，同樣滿足aij＞σ。Hi(k)Hi為智能體i能直接獲取信息的區(qū)域。

定義如下變量：

當(dāng)ui(k)=0 時，設(shè)ei(k)=1。顯然0＜ei(k)≤1，由歐幾里得范數(shù)定義可得：

將公式(4)與(1)結(jié)合得：

假設(shè)1：在kT時刻，通信拓?fù)鋱D的并集中跟隨者智能體與領(lǐng)導(dǎo)者之間至少存在一條有向的路徑。

假設(shè)2：假設(shè)QmaxT＜1，Qmax為aij(k)+bi(k)的最大值，即

引理1[22]：設(shè)Yh，Y是一個非空閉合凸集。yi是h上的任意一個向量，且ai＞0，如果滿足ai=1，i{1，2，3，…，n}，則有：。

將李雅普諾夫函數(shù)建立為：

根據(jù)假設(shè)1、2，系統(tǒng)(1)的包含控制可由算法(2)實現(xiàn)，具體的的推理過程如下，由公式(1)與公式(2)可得：

根據(jù)引理1可得：

又Hi(k)H，可以得到，因此

根據(jù)公式(6)和假設(shè)2可以得出0≤ei(k)Tbi(k)≤1，[1-ei(k)Tbi(k)]V(k)≤V(k)。由公式(9)(10)顯然可以得出||ri(k+1)-PH(ri(k+1))||≤V(k)，因此V(k+1)≤V(k)，可得出V(k)為單調(diào)非增函數(shù)，這就表明智能體的位置與投影之間的最大距離隨著時間的推移不會變大。為了實現(xiàn)最終的包含控制，需要證明limk→∞V(k)=0。分為兩步來實現(xiàn)。

第一步：對于任意跟隨者iN，當(dāng)≥k，且0≤ψ1＜1，如果有，那么對于0＜ψ2＜1則有，根據(jù)公式(9)有：

因此對于ψ2=1-(1-QmaxT)(1-ψ1)仍成立。

第二步：對于任意跟隨者i2N，當(dāng)＞0且對于k≥k和0≤ψi＜1時，有同時i2能接收到i1M N的信號，那么對于0＜ψ2＜1有。

由公式(10)可得V(k+1)≤V(k)。根據(jù)假設(shè)1可得，在kT時刻必然存在至少一個智能體iqN能與領(lǐng)導(dǎo)者進(jìn)行通信，同樣也滿足bi(k)＞σ。由上式可得，通過遞歸可得，此時C≥1且0＜＜1。同理，在kT時刻存在至少一個智能體ip≠iq能與領(lǐng)導(dǎo)者或者智能體iq進(jìn)行通信，由第二步可得，對于任意0＜＜1均可得出，因此通過遞歸可得，此時C≥1 且0＜＜1。根據(jù)假設(shè)1，對于任意iN，存在一個有界整數(shù)＞0 使得，即，可得出limk→∞V(k)=0，即limk→∞=0。

4 數(shù)值仿真

在仿真中考慮由6 個智能體n1，n2，n3，n4，n5，n6 和4個領(lǐng)導(dǎo)者m1，m2，m3，m4構(gòu)成的多智能體系統(tǒng)，包含控制的最終目標(biāo)是所有智能體均能運(yùn)到到由領(lǐng)導(dǎo)者構(gòu)成的凸包中。多智能體系統(tǒng)的通信拓?fù)淙鐖D2所示，由三個拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)G1，G2，G3組成，在系統(tǒng)運(yùn)行過程中每隔1秒切換一次拓?fù)?，顯然G1∪G2∪G3滿足假設(shè)1的條件。數(shù)值仿真中為了滿足假設(shè)2，當(dāng)aij(k)≠0且bi(k)≠0時，令，aij(k)=1．5，bi(k)=0．23采樣時間T=0．2s。如圖3所示，所有智能體的控制輸入均約束在由半圓x2+(y-0．75)2=0．75(y≥0．75)和x2+(y+0．75)2=0．75(y≤0．75)與四條線段y=-x+1．5(0．75＜x≤1．5)、y=x-1．5(0．75＜x＜1．5)、y=-x-1．5(-0．75＞x≥-1．5)、y=x+1．5(-0．75＞x＞-1．5)圍成的非凸區(qū)域中。智能體運(yùn)動軌跡如圖4所示，6個智能體初始位置不同，最后均能運(yùn)動到由4 個領(lǐng)導(dǎo)者構(gòu)成的凸包中。仿真結(jié)果表明全部智能體在控制器(2)的作用下能解決帶輸入約束的一階采樣多智能體系統(tǒng)包含控制題。

圖2 多智能體系統(tǒng)通信拓?fù)?/p>

圖3 智能體輸入約束

圖4 智能體運(yùn)動軌跡

5 結(jié)束語

本文研究了切換通信拓?fù)湎聨л斎爰s束的一階采樣多智能體系統(tǒng)包含控制問題。首先針對跟隨者智能體提出了基于投影算子的分布式包含控制算法，該算法只需要利用自身信息和能直接通信的鄰居智能體或領(lǐng)導(dǎo)者信息。然后利用李亞普諾夫穩(wěn)定性定理證明了在提出的控制算法的作用下跟隨者智能體最終能保持在凸包以內(nèi)。最后利用數(shù)據(jù)仿真證明了在拓?fù)鋱D的并集中只要跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者至少有一條通信路徑的前提下提出的控制算法能解決具有輸入約束的包含控制問題。下一步工作將探討二階采樣多智能體受輸入約束的問題。