(3+1)維修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的行波解*

王雙特 于恒國(guó)

(1. 溫州大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 溫州 325035) (2. 樂清市柳市鎮(zhèn)第三中學(xué)， 溫州 325604)

引言

Zakharov-Kuznetsov(ZK)方程作為理論物理學(xué)中研究非線性波的一類重要方程，首先由Zakharov和Kuznetsov利用磁化等離子體的流體描述得到， 此后Shivamoggi等人也得到了ZK方程[1-3].一般地，具有冪律n非線性(3+1)維Zakharov-Kuznetsov方程為

ut+αunux+(Δa1,a2,a3u)x=0

(1)

對(duì)于n=1，當(dāng)Δa1,a2,a3=Δ(Laplace算子)時(shí)，文獻(xiàn)[4]利用Extended Simplest Equation法討論了一類行波解，文獻(xiàn)[5]利用F-展開法獲得了其它方法不曾給出的形式更豐富的顯式行波解，包括雙曲函數(shù)解和三角函數(shù)解；當(dāng)a1=b，a2=a3=1時(shí)，文獻(xiàn)[6]應(yīng)用經(jīng)典李群方法得到了其對(duì)稱和約化方程，通過求解約化方程給出原方程的一些精確解；當(dāng)α=6，a1=1，a2=a3=3時(shí)，文獻(xiàn)[7]提出了Wronski形式展開法，通過該方法求出了雙孤子解、雙三角函數(shù)解、Complexiton解、Matveev解和Jacobi橢圓函數(shù)解；當(dāng)α=1，Δa1,a2,a3=Δ時(shí)，文獻(xiàn)[8]證明了相應(yīng)初值問題解的指數(shù)衰減性，同時(shí)指出這個(gè)性質(zhì)與加權(quán)Sobolev空間中解的持久性及解的唯一連續(xù)性相關(guān)；而文獻(xiàn)[9,10]則解決了Δa1,a2,a3=bΔ時(shí)可能的行波解.此外文獻(xiàn)[11,12]也進(jìn)行了深入研究.

對(duì)于n=2，當(dāng)Δa1,a2,a3=Δ時(shí)，文獻(xiàn)[13]將其轉(zhuǎn)化為復(fù)域中的常微分方程(ODE)，并給出相應(yīng)亞純行波解；文獻(xiàn)[14](Δa1,a2,a3=Δ)基于交換代數(shù)除法定理，給出了若干首次積分及對(duì)應(yīng)行波解.對(duì)于n為正整數(shù)，文獻(xiàn)[15,16]結(jié)合動(dòng)力系統(tǒng)分支理論討論了一些行波解，但都取積分常數(shù)為零.

基于文獻(xiàn)[14～16]，本文定性分析n=2和Δa1,a2,a3=Δ時(shí)的行波解，即(3+1)維修正KdV-Zakharov-Kuznetsov(MKdVZK)方程

ut+αu2ux+(Δu)x=0

(2)

假定上述偏微分方程(2)有行波解u=u(ξ)，化為一個(gè)三階ODE

-cu′+αu2u′+3u?=0

(3)

(4)

注意C1為積分常數(shù).引入X=u，Y=u′并改寫X和Y為x和y，得到與式(4)等價(jià)的平面三次多項(xiàng)式系統(tǒng)

(5)

一般文獻(xiàn)中，對(duì)于C1≠0的情形較少討論，故本文對(duì)此進(jìn)一步討論，安排如下：首先分別研究C1=0和C1≠0時(shí)的相軌線和幾類行波解；其次結(jié)合Hamilton函數(shù)法給出多模態(tài)近似解及其數(shù)值模擬；最后總結(jié)和討論.

1 C1=0的情形

基于以上分析，分情況討論閉軌的存在性.不妨設(shè)相軌線為

Γ(h)={(x,y)|H(x,y):=

(6)

(1)c,α>0

此時(shí)，由奇點(diǎn)指標(biāo)可知，閉軌所圍奇點(diǎn)僅有三種可能：{O,E1,E2},{E1}或{E2}.常數(shù)h滿足h≥h0=-c2/2α(h0<0).當(dāng)h00時(shí)僅有一條圍繞奇點(diǎn)O，E1和E2的閉軌.

沿同宿軌Γ(0)的行波解為

(7)

C2為積分常數(shù).對(duì)于一般的h，沿閉軌Γ(h)的行波解形式上為Jacobi橢圓余弦函數(shù)

u(ξ)=±Acn[k(ξ+C2),m]

(8)

(2)c,α<0

由奇點(diǎn)指標(biāo)可知閉軌內(nèi)部只有奇點(diǎn)O.常數(shù)h無限制，但h0>0.當(dāng)h=h0時(shí)有同宿軌Γ(h0)；當(dāng)0h0時(shí)無閉軌.

沿同宿軌Γ(h0)的行波解為

(9)

對(duì)于h∈(0,h0)，沿閉軌Γ(h)的行波解形式上為Jacobi橢圓正弦函數(shù)

u(ξ)=±Asn[k(ξ+C2),m]

(10)

(3)c>0，α<0

此時(shí)不存在閉軌，因唯一的奇點(diǎn)O是鞍點(diǎn).

(4)c<0，α>0

此時(shí)有一族閉軌圍繞O，但h≥0.當(dāng)h=0時(shí)閉軌Γ(h)退化為奇點(diǎn)O.同上有行波解(8).

(5)c=0，α>0

此時(shí)有一族閉軌圍繞奇點(diǎn)O，同樣h≥0.當(dāng)h=0時(shí)閉軌Γ(h)退化為奇點(diǎn)O.通過虛模數(shù)變換可得行波解

(11)

(6)c=0，α<0

總之，在情形(1)、(2)、(4)、(5)下可有閉軌(周期解)或有界行波解.圖1(a)-圖1(f)描述了幾種相軌線.

圖1 C1=0時(shí)的相圖：(a)c=α=1;(b)c=α=-1; (c)c=1，α=-1;(d)c=-1,α=1; (e)c=0,α=1;(f)c=0,α=-1.Fig.1 Phase diagrams when C1=0: (a)c=α=1;(b)c=α=-1; (c)c=1，α=-1;(d)c=-1,α=1; (e)c=0,α=1;(f)c=0,α=-1.

2 C1≠0的情形

此時(shí)O不是平衡點(diǎn).設(shè)平衡點(diǎn)為E*=(x*,0)，其中x*滿足三次方程

(12)

(13)

以下對(duì)Δx分情況討論.此外式(3)有首次積分

H(x,y)=fh(x)-y2=0

(14)

2.1 Δx>0的情形

此時(shí)方程(12)有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)復(fù)根，且要

(15)

故C1與x*異號(hào).但這不可能，因此唯一的平衡點(diǎn)E*是中心，有周期解.

此外，當(dāng)C1>0時(shí)E*位于x正半軸上，反之則位于x負(fù)半軸上.而h有負(fù)的下限hm，利用方程組f(x)=fh(x)=0及Sylvester結(jié)式法可知，hm滿足三次方程

(16)

圖2給出了上述幾種情形的相軌線.

圖2 Δx>0時(shí)的相圖：(a)c=α=C1=1;(b)c=α=1,C1=-1; (c)c=1,α=-1,C1=1;(d)c=1,α=-1,C1=-1.Fig.2 Phase diagrams when Δx>0：(a)c=α=C1=1;(b)c=α=1,C1=-1; (c)c=1,α=-1,C1=1;(d)c=1,α=-1,C1=-1

[(w-l)2+s2]

(17)

這樣有界行波解形式上為

(18)

相應(yīng)系數(shù)為

2.2 Δx=0的情形

(19)

上述系統(tǒng)等價(jià)于[20]

x′=y，y′=x2+o(|x,y|4)

(20)

圖3給出了上述幾種情形的相軌線.

圖3 Δx=0時(shí)的相圖:Fig.3 Phase diagrams when Δx=0.

(21)

當(dāng)h≠h0和hm時(shí)，有界行波解形式上同式(18).

2.3 Δx<0的情形

此時(shí)有三個(gè)兩兩不相等的實(shí)根，而c與α同號(hào)，只需考慮以下兩種情形即可

先看c>0.此時(shí)h≥hm=min{h1,h3}，而h2>h1，h2>h3.但當(dāng)C1>0時(shí)，作差有

(22)

(23)

圖4 Δx<0時(shí)的相圖：Fig.4 Phase diagrams when Δx<0：

最后看有界行波解.同樣地當(dāng)h≠hj(?j)時(shí)，fh(x)=0無重根.對(duì)于c>0，當(dāng)h>h2或h∈ (hm,max{h1,h3})時(shí)，有界行波解形式上同式(18).

當(dāng)c>0，h∈(max{h1,h3},h2)時(shí)，存在有界行波解.改寫式(17)為標(biāo)準(zhǔn)形式

-(w-w1)(w-w2)(w-w3)(w-w4)

(24)

(25)

Jacobi橢圓正弦函數(shù)為

(26)

單重實(shí)根xb>xc，有界行波解形式上為

(27)

3 Hamilton函數(shù)法求多模態(tài)近似解

當(dāng)奇點(diǎn)為中心時(shí)，文獻(xiàn)[21]利用Hamilton函數(shù)法給出一個(gè)強(qiáng)非線性二階微分方程的多模態(tài)近似解以反應(yīng)周期性.以上可以看到，有界行波解或周期解常以Jacobi橢圓函數(shù)的復(fù)雜形式出現(xiàn)，因此需要一種近似方法來快速反應(yīng)精確解.

(28)

(29a)

(29b)

(29c)

例1：取參數(shù)c=α=1及初值A(chǔ)=1，由方程(29)解得系數(shù)

a0= 1.554207050，a1= -0.6152063185，a2= 0.06099926808，f=2.732773277.圖5(a)中分別繪出了多模態(tài)近似解(黑色實(shí)線)和解析形式解(8)(紅色點(diǎn)線)曲線，在0≤ξ≤70內(nèi)兩者幾乎重合，近似程度非常好.

圖5 多模態(tài)近似解(實(shí)線)曲線與(a)例1中解析解(點(diǎn)線)曲線；(b)例2中解析解(點(diǎn)線)曲線.Fig.5 Curves of multi-mode approximate solution(line) and(a)analytical solution(dot line) in example 1; (b)analytical solution(dot line) in example 2.

其次，以C1,α,Δx>0為例.Hamilton函數(shù)同上，類似的有代數(shù)方程組.以數(shù)值實(shí)例來說明.

例2：取c=α=k=A=1，由方程(29)解得系數(shù)

a0=2.146903270，a1=-1.284554716，a2= 0.1376514457，而f=1.665373391.圖5(b)中繪出了多模態(tài)近似解(紅色點(diǎn)線)和解析形式解(黑色實(shí)線)曲線，近似程度同樣非常好.

4 結(jié)論

本文主要定性分析了非線性(3+1)維修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的行波解和相軌線情況.與已有文獻(xiàn)相比，結(jié)合平衡點(diǎn)E*所滿足三次方程的判別式，我們深入研究參數(shù)C1≠0的情形，并描述了相軌線的走向，同時(shí)形式上給出了若干有界行波解的表達(dá)式.今后，可深入研究廣義ZK方程，以及高維和分?jǐn)?shù)階情形[15,16,23,24].總之，這是一個(gè)值得繼續(xù)研究的方向.