小波分析在土木工程中的應(yīng)用

王 濤

（重慶醫(yī)科大學(xué)附屬兒童醫(yī)院，重慶 400014）

小波分析是上個(gè)世紀(jì)發(fā)展起來的對信號進(jìn)行分析的方法，不僅具有短時(shí)傅立葉變換局部化的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)在頻域和時(shí)域上具有較高識別率，因此小波分析法是對信號進(jìn)行時(shí)頻域分析的重要手段。通過小波函數(shù)進(jìn)行信號的分解，可以得到不同頻率段信號的表達(dá)，其中小尺度系數(shù)代表信號的低頻信息，大尺度系數(shù)代表信號的高頻信息。小波分析法具有良好的頻率分辨率和時(shí)間分辨率，對信號具有較好的自適用性，正是由于小波分析處理信號具有諸多優(yōu)點(diǎn)，在各個(gè)領(lǐng)域都取得了廣泛應(yīng)用。

建筑結(jié)構(gòu)在運(yùn)營期會受到結(jié)構(gòu)內(nèi)部和環(huán)境外部因素的影響，因此，監(jiān)測系統(tǒng)采集到的是在各種因素共同作用下的效應(yīng)信息，例如溫度效應(yīng)或者結(jié)構(gòu)性能劣化效應(yīng)，因此不能直接利用監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)的安全評價(jià)，必須從中分離出能反映結(jié)構(gòu)安全的特征信息，判斷結(jié)構(gòu)的承載能力和評價(jià)結(jié)構(gòu)是否安全。

本文基于小波分析的基本理論和進(jìn)行信號分離的原理，針對實(shí)際監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理分離，數(shù)據(jù)的可靠性和準(zhǔn)確性高，可為結(jié)構(gòu)的安全評價(jià)提供重要的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

1 小波變換

設(shè)ψ（t）∈L2（R），其傅立葉變換為，當(dāng)滿足允許條件

時(shí)，我們稱時(shí)間函數(shù)ψ（t）為母小波或基小波，一般簡稱為小波函數(shù)。小波函數(shù)ψ（t）通過伸縮平移變換可以得到

稱其為一個(gè)小波序列。其中a 為尺度因子，b 為位移因子。對于任意的函數(shù)f（t）∈L2（R）的連續(xù)小波變換為

其重構(gòu)公式為

在實(shí)際工程中，當(dāng)利用計(jì)算機(jī)對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)，數(shù)據(jù)往往是不連續(xù)的，而連續(xù)小波函數(shù)是理想化的，應(yīng)該對連續(xù)小波函數(shù)進(jìn)行離散處理。進(jìn)行連續(xù)小波ψa，b（t）和連續(xù)小波變換Wf（a，b）的離散時(shí)，假定公式

這里a∈R+，b∈R，ψ 是容許的，且a≠0，a 通常取為非負(fù)值，滿足相容條件可得到

在離散公式中，連續(xù)小波函數(shù)中的尺度參數(shù)a 和平移參數(shù)b 需滿足，步長a0≠1，且假定a0>1。得到離散小波函數(shù)ψj，k（t）的公式為

而離散化小波變換系數(shù)則可表示為

其重構(gòu)公式為

C 是一個(gè)與信號無關(guān)的常數(shù)。為提高分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，網(wǎng)格點(diǎn)劃分應(yīng)盡量密集；如果網(wǎng)格點(diǎn)劃分稀疏，則a0和b0偏大，小波函數(shù)ψj，k（t）和離散小波系數(shù)Cj，k越小，導(dǎo)致重構(gòu)信號的精確度降低。

2 小波多分辨分析

定義：空間L2（R）中的多分辨分析是指L2（R）滿足如下性質(zhì)的一個(gè)空間序列{Vj}j∈Z：

（5）Riesz基存在性：存在φ（t）∈V0，使得構(gòu)成Vj的Risez 基。關(guān)于Riesz 的具體說明如下：

若φ（t）是V0的Risez 基，則存在常數(shù)A，B，且，使得：

對所有雙無限可平方和序列{ck}，即成立。

得到的函數(shù)空間集合即是多分辨分析，φ（t）是V0的Riesz 基，可以把φ（t）轉(zhuǎn)化為V0的標(biāo)準(zhǔn)化正交基，φ（t）稱為一個(gè)尺度函數(shù)。通過多分辨分析可以找到尺度函數(shù)，從而通過變換構(gòu)造出正交小波基，因而其具有不同的頻率分辨率，相當(dāng)于多個(gè)帶寬不一的帶通濾波器。

3 小波函數(shù)的選擇

小波函數(shù)的種類繁多，具有不同的性質(zhì)，對分離信號的適用性也有所不同。在對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的歷史數(shù)據(jù)的高頻和低頻信息進(jìn)行分離時(shí)，選擇不同的小波函數(shù)，得到的結(jié)果也有所不同。因此，掌握常用小波函數(shù)的特性，根據(jù)信號的特性選擇合適的函數(shù)進(jìn)行分離顯得尤為重要。

3.1 消失矩

消失矩主要反映函數(shù)的高階變換部分，在小波函數(shù)變換時(shí)，能過濾掉信號的高階平滑部分，反映信號的奇異性能力強(qiáng)。如果選擇消失矩的階數(shù)過大，模極大值將會線性增加，將會引起突變部分的混淆，導(dǎo)致分析結(jié)果模糊，降低重構(gòu)信號的準(zhǔn)確性。如果消失矩設(shè)置過小，則可能不會識別出高階突變部分。

3.2 緊支撐性

假設(shè)小波函數(shù)的區(qū)間外部分為零，此時(shí)稱該小波函數(shù)在這個(gè)區(qū)間具有緊支撐性。通常情況下，小波的支撐寬度越小，其反映頻域局部化性態(tài)的分辨能力就越強(qiáng)，信號分離后的效果更加明顯。

3.3 正交性

小波函數(shù)正交性和濾波器具有緊密的聯(lián)系。利用小波基對信號進(jìn)行多尺度分析，得到相互正交的子空間，保持了各子空間的不相關(guān)性。同時(shí)也可實(shí)現(xiàn)快速離散小波變化，也有利于小波信號的重構(gòu)。

3.4 對稱性

不同對稱性的小波重構(gòu)得到的重構(gòu)信號具有不同光滑性，構(gòu)造緊支的正則且具有線性相位小波基，對信號的分解和重構(gòu)非常重要。小波函數(shù)的對稱性越好，其結(jié)果偏差越小，能降低小波分解重構(gòu)時(shí)的信號相位失真，有利于去噪后信號的恢復(fù)和重建。

在對實(shí)際的信號進(jìn)行分析時(shí)，應(yīng)根據(jù)信號本身的特性來選擇合適的小波函數(shù)，否則會影響分離效果。目前，使用比較廣泛的小波函數(shù)主要有Haar 小波、dbN小波、SymN 小波族、Morlet 小波、Meyer 小波和Mexh小波等。

4 閾值函數(shù)的選取

利用小波對信號進(jìn)行分離時(shí)，小波系數(shù)模有不同處理方式及不同估計(jì)方法，在細(xì)節(jié)系數(shù)上作用閾值估計(jì)非常關(guān)鍵，主要分為硬閾值和軟閾值函數(shù)：

軟閾值函數(shù)：

硬閾值函數(shù)：

其中ω 為小波系數(shù)，η（ω）為閾值后的小波系數(shù)，T 為閾值。

硬閾值法可以保留較大的小波系數(shù)，將較小的小波系數(shù)置為零，可以較好地保留信號的邊緣特征；軟閾值法可將較小的小波系數(shù)置零，而對較大的小波系數(shù)向零收縮，容易造成邊緣信息模糊。根據(jù)相關(guān)的理論推導(dǎo)，證明軟閾值法去噪后的估計(jì)信號是原始信號的近似最優(yōu)估計(jì)，并且具有更廣泛的適用性，目前應(yīng)用較多的是軟閾值函數(shù)。

目前，對信號的閾值估計(jì)主要有以下四種方法：

（1）對數(shù)長度統(tǒng)一閾值（Sqtwolong）：是一種固定的閾值形式，是從信號中獲得的最小極大方差的閾值與小波系數(shù)相乘得到閾值。

（2）無偏似然估計(jì)閾值（Rigoroussure）：基于自適應(yīng)閾值選取規(guī)則，對于給定的閾值進(jìn)行似然估計(jì)，再將非似然函數(shù)最小化，就可以得到所選定的閾值。

（3）啟發(fā)式無偏然閾值（Heuristic sure）：由于Stein 無偏似然估計(jì)產(chǎn)生的閾值，在信噪比較高時(shí)分離的效果不理想，通常采用Sqtwolong 和Rigoroussure 進(jìn)行處理。

（4）最小最大閾值（Minimaxi）：是一種固定的選取閾值的方法，即選取的閾值是最小均方差的極值。

5 小波分析的應(yīng)用

在利用小波工具分析之前，必須先預(yù)處理監(jiān)測數(shù)據(jù)，剔除那些不符合實(shí)際規(guī)律的異常數(shù)據(jù)，同時(shí)提高監(jiān)測數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和有效性，保證分析效果的質(zhì)量。數(shù)據(jù)預(yù)處理是數(shù)據(jù)分析之前的重要環(huán)節(jié)，經(jīng)過預(yù)處理后的監(jiān)測數(shù)據(jù)，才能滿足工程要求。

通過對小波函數(shù)的消失矩、離散變換性、正交性和對稱性等性質(zhì)的分析，發(fā)現(xiàn)SymN 小波函數(shù)具有很好的適用性。由于分離信號的變化具有一定的奇異性和突變性，因此選擇消失矩階數(shù)較高的Sym8 作為小波函數(shù)。對監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行多層小波分解，根據(jù)數(shù)據(jù)分離效果選擇合適的分解尺度，通過對分離效果的分析發(fā)現(xiàn)進(jìn)行6 層分解是較為合理的。

由于軟閾值法對信號具有較好的適用性，因此選擇軟閾值進(jìn)行處理，分別利用Sqtwolong、Rigorous sure、Heuristic sure 三種閾值估計(jì)方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，見表1。

表1 不同軟閾值法的RMSE 和SNR 值

信號經(jīng)過分解重構(gòu)后的效果評價(jià)指標(biāo)主要有信噪比SNR 和均方根誤差RMSE，信噪比越大，均方根誤差越小，表明低頻信號中所含噪聲信息越少，越接近真實(shí)的信號。

從表1 中可以看出，在采用軟閾值函數(shù)對監(jiān)測數(shù)據(jù)處理過程中，選取Heuristic sure 閾值處理后得到的SNR 較大，RMSE 最小，數(shù)據(jù)效果最佳。利用此方法對監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，最后對信息進(jìn)行重構(gòu)。

由圖1、圖2、圖3 不難看出，利用小波分析法對監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分離，可將實(shí)測曲線中的趨勢線與離散線區(qū)分出來，整體趨勢的部分代表了低頻信號，離散部分代表了高頻信號，數(shù)據(jù)的可靠性和準(zhǔn)確性高，為下一步結(jié)構(gòu)分析奠定基礎(chǔ)。

圖1 實(shí)測監(jiān)測數(shù)據(jù)

圖2 低頻部分?jǐn)?shù)據(jù)

圖3 高頻部分?jǐn)?shù)據(jù)

6 結(jié)束語

小波分析法具有良好的頻率分辨率和時(shí)間分辨率，對信號具有較好的自適用性，正是由于小波分析處理信號具有諸多優(yōu)點(diǎn)，在土木工程領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。利用小波分析方法對監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，數(shù)據(jù)的可靠性和準(zhǔn)確性高，能夠滿足實(shí)際工程的需要。