變式教學(xué)在初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”教學(xué)中的應(yīng)用研究
——以平行線為例

◎何 珊

(大慶市第二十三中學(xué)，黑龍江 大慶 163000)

一、引 言

隨著時(shí)代的進(jìn)步，教育對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的要求越來(lái)越高，除了基礎(chǔ)知識(shí)，還需要學(xué)生有創(chuàng)新能力，會(huì)舉一反三作為初中數(shù)學(xué)科目中占比較高的“圖形與幾何”部分對(duì)這種創(chuàng)新能力的要求明顯更高變式教學(xué)的出現(xiàn)解決了這個(gè)問(wèn)題，它旨在通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生更深層次地理解知識(shí)，從而提高學(xué)生的分析、推理、應(yīng)用與創(chuàng)新能力然而許多教師對(duì)這種教學(xué)的相關(guān)理論知識(shí)的儲(chǔ)備還不夠完善，教學(xué)模式的認(rèn)識(shí)也是一知半解，在這樣的背景下，系統(tǒng)地分析“圖形與幾何”變式教學(xué)方法，研究相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計(jì)，一方面可以讓學(xué)生更好地理解與掌握“圖形與幾何”的知識(shí)，另一方面也為老師的教學(xué)提供了相應(yīng)的參考

二、變式教學(xué)的原則

(一)目標(biāo)導(dǎo)向原則

教學(xué)目標(biāo)是整個(gè)教學(xué)過(guò)程的奠基石，所有老師在教學(xué)前都應(yīng)該明確教學(xué)目標(biāo)，弄清變式的根本目的，針對(duì)考試中的易錯(cuò)點(diǎn)與重難點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué)，要明確變式后希望取得的效果，不能執(zhí)著于變式的過(guò)程，而忽視了本來(lái)的目的，只有這樣才能真正幫助到學(xué)生，讓他們的理解更加透徹，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)資源利用的最大化

(二)主動(dòng)參與原則

傳統(tǒng)的教學(xué)模式往往是以老師為主，由老師帶節(jié)奏，把控整個(gè)過(guò)程，指引學(xué)生學(xué)習(xí)，后來(lái)隨著教學(xué)模式的不斷改進(jìn)，老師的教學(xué)越來(lái)越重視學(xué)生的主動(dòng)參與性，認(rèn)識(shí)到了學(xué)生的主體地位總而言之，無(wú)論是怎樣的教學(xué)模式，學(xué)生的主體地位不能變，老師在變式教學(xué)時(shí)一定要考慮到學(xué)生課堂的參與度教師可以通過(guò)將生活中的場(chǎng)景與知識(shí)相結(jié)合，預(yù)設(shè)一些有趣的情境，開(kāi)發(fā)學(xué)生的主動(dòng)思考能力，讓學(xué)生經(jīng)歷從觀察到思考的過(guò)程，進(jìn)而讓學(xué)生提出假設(shè)、證明假設(shè)，最后將證明結(jié)果歸納總結(jié)并升華，總而言之就是讓學(xué)生把數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)為己用

(三)過(guò)程暴露原則

學(xué)習(xí)不是一朝一夕的事，同樣變式教學(xué)也不可能一蹴而就，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是解決問(wèn)題的過(guò)程，了解到學(xué)會(huì)都需要時(shí)間，尤其是“圖形與幾何”部分，因?yàn)檫@部分知識(shí)過(guò)于抽象，更需要我們?nèi)ヌ剿饕恍┒ɡ淼膩?lái)源因此變式教學(xué)需要遵循知識(shí)的形成規(guī)律，讓學(xué)生在接受變式教學(xué)的過(guò)程中感知學(xué)習(xí)的過(guò)程，了解數(shù)學(xué)問(wèn)題與生活中問(wèn)題的聯(lián)系，學(xué)會(huì)觀察發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并主動(dòng)思考，主動(dòng)探究，然后證明，讓學(xué)生學(xué)會(huì)不要局限于一種解題方式，要尋求多種解題途徑，不單單看最后的結(jié)果，更要讓學(xué)生看到不同解題思維所注重的關(guān)鍵點(diǎn)，教會(huì)他們自己去探尋問(wèn)題并思考如何解決問(wèn)題

(四)層次梯度原則

變式教學(xué)過(guò)程不能局限于一個(gè)層次，要由淺入深，由易到難，層層遞進(jìn)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決更深層次的問(wèn)題，如果總是在一個(gè)層次上花費(fèi)大量時(shí)間，只解決一類問(wèn)題，那樣不利于提升他們的數(shù)學(xué)思維能力只有循序漸進(jìn)，一點(diǎn)一滴地掌握，才能讓他們感受到數(shù)學(xué)中不同類型問(wèn)題之間的差異，而且使各種問(wèn)題與相應(yīng)的解決方法聯(lián)系更緊密總而言之，要挖掘?qū)W生的最大潛能，不能滿足于單一簡(jiǎn)單問(wèn)題，要設(shè)計(jì)諸多代表不同層次的典型性題目，以體現(xiàn)出所講內(nèi)容的梯度

(五)自主創(chuàng)新原則

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)往往更注重刷題，企圖讓學(xué)生在多做多練中掌握同一題型的規(guī)律，從而忽視了創(chuàng)新理念，這樣不僅給學(xué)生帶來(lái)繁重的負(fù)擔(dān)，而且不利于他們主觀能動(dòng)性的培養(yǎng)如今有了新的教學(xué)理念，教師開(kāi)始注重創(chuàng)新，但就現(xiàn)狀來(lái)說(shuō)，變式教學(xué)的創(chuàng)新程度還不夠，多數(shù)還是采用變式練習(xí)，并沒(méi)有與互聯(lián)網(wǎng)相結(jié)合，教師需要不斷創(chuàng)新，賦予有限的知識(shí)以無(wú)限的變化方式，結(jié)合自身班級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，找到最合適的創(chuàng)新方法

三、“圖形與幾何”變式教學(xué)的方法

(一)內(nèi)容變式

1概念變式

關(guān)于“圖形與幾何”相關(guān)概念的引入，教師需要同時(shí)考慮幾何的抽象性與學(xué)生有限的空間想象能力，如果只是照本宣科地解釋概念，那么學(xué)生就難以理解，這個(gè)時(shí)候就需要教師能夠設(shè)置好問(wèn)題情境，從具體的生活實(shí)際出發(fā)，比如列舉生活中經(jīng)常碰到的幾何模型，進(jìn)行延伸，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力與動(dòng)手能力，激發(fā)他們的興趣，帶著他們探究概念的來(lái)源，讓他們能夠深刻理解抽象的幾何的概念另外，針對(duì)概念辨析，即不同知識(shí)點(diǎn)之間容易混淆的問(wèn)題，需重點(diǎn)講解，教師可以現(xiàn)場(chǎng)演示伸縮、平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等變換，讓學(xué)生觀察差異，從而讓他們更深層次地理解概念的內(nèi)涵與外延概念的深化變式需要學(xué)生有更強(qiáng)的理解能力，這是需要建立在前面初步了解與辨析的基礎(chǔ)之上的，主要包括對(duì)概念進(jìn)行拓展，將特殊規(guī)律一般化，以及加大圖形變換的難度概念的鞏固變式出現(xiàn)頻率最高，這里圖形題的鞏固多以刷題形式進(jìn)行，教師應(yīng)該設(shè)置適量的典型的由易到難的有梯度的題目，可以按照學(xué)生的學(xué)習(xí)情況布置不同層次的作業(yè)，讓所有學(xué)生都最大限度地鞏固自己所掌握的知識(shí)

2公式變式

公式變式多出現(xiàn)在“代數(shù)”中，“圖形與幾何”中的公式較少，初中階段多出現(xiàn)在邊角關(guān)系中，如勾股定理等對(duì)公式可以變形，包括移項(xiàng)、配方、平方等，也可以替換公式中的數(shù)據(jù)，對(duì)于一些沒(méi)有證明過(guò)程的公理，教師可以介紹公理背后的小故事，比如科學(xué)家研究的過(guò)程，借此激發(fā)學(xué)生的興趣通常情況下，課本中的設(shè)置是引導(dǎo)學(xué)生觀察、探究，然后證明得到公式，但是教師不應(yīng)拘泥于課本，應(yīng)該想到一題多證，從而拓寬學(xué)生的知識(shí)面，也起到反復(fù)鞏固的效果另外，在一題多證的過(guò)程中，教師盡量選擇學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)的解題方法，帶著學(xué)生一起證明，以防止學(xué)生出現(xiàn)畏難心理

3問(wèn)題變式

問(wèn)題變式指的就是將一道題通過(guò)變換問(wèn)法或者變換相應(yīng)的條件等形式拓展為多道題，改變可以很微小，也可以較大，比如說(shuō)模仿變式，同一類題改變一個(gè)小條件，呈現(xiàn)出一定變化，讓學(xué)生學(xué)會(huì)觸類旁通，或者調(diào)換結(jié)論與條件的位置，看反方向是否能證明，也可以設(shè)置螺旋式問(wèn)題，一步一步拔高，考慮變式的層次梯度教師要結(jié)合學(xué)生的實(shí)際接受能力設(shè)置問(wèn)題變式另外，除了數(shù)學(xué)題目的問(wèn)法中體現(xiàn)了問(wèn)題變式外，教師的教學(xué)方法中也應(yīng)該將其融入進(jìn)去，比如在引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題時(shí)要具有一定的邏輯性與目標(biāo)性，從而給學(xué)生帶來(lái)切實(shí)地指導(dǎo)初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常被使用的變式法除了有模仿法、逆向思考法、條件與結(jié)論顛倒法外，還包括演變法、操作化和一般化，這些方法都有助于練習(xí)題目的設(shè)置，從而起到鞏固知識(shí)的作用，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)能力穩(wěn)步提升

(二)方法變式

1一題多解

一題多解就是將單一的題目多樣化，提供各式各樣的解題方法，一題多解在數(shù)學(xué)中十分常見(jiàn)，知識(shí)面越廣，解題技巧就越多教師一方面可以變換題目中的條件，另一方面也可以研究求解的過(guò)程，當(dāng)然也要充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，畢竟一題多解是針對(duì)學(xué)生解題能力的一種變式，在這個(gè)過(guò)程中，教師要留給學(xué)生充足的時(shí)間，鍛煉他們獨(dú)立思考的能力，可以小組討論，在難點(diǎn)處教師也可以給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，總之不可填鴨式教學(xué)，教師要激發(fā)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力，學(xué)生在解答問(wèn)題時(shí)，教師要及時(shí)給予鼓勵(lì)，在學(xué)生解題方法單一的情況下，教師可以適時(shí)地提醒學(xué)生從別的角度思考問(wèn)題，完善解題思路，拓展學(xué)生的解題思維，從而提升他們的綜合分析能力與實(shí)際運(yùn)用能力

2一法多用

一法多用指的是總結(jié)一些特定的解題套路、解題規(guī)律，將其運(yùn)用到同類型的題目中以往教師是通過(guò)大量刷題加深學(xué)生對(duì)同類型題目的理解，學(xué)到什么知識(shí)，教師就針對(duì)該章節(jié)布置大量相似的題目，期望他們熟能生巧，讓學(xué)生經(jīng)過(guò)反復(fù)實(shí)踐后鞏固所學(xué)，雖然會(huì)有一定的效果，但是這樣無(wú)形中加重了學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，反倒會(huì)影響學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)如今一法多用方法的出現(xiàn)使得教師在設(shè)置題目時(shí)學(xué)會(huì)了有所取舍，教師要選擇更有說(shuō)服力與代表性的案例，便于學(xué)生快速掌握該方法要求教師在習(xí)題的選擇上更有針對(duì)性，同一知識(shí)點(diǎn)盡量多設(shè)置一些具有代表性的題目，幫助學(xué)生總結(jié)規(guī)律，同時(shí)要考慮題目與實(shí)際的聯(lián)系、與教材的聯(lián)系，切不可脫離教材，難易程度與班級(jí)學(xué)生的實(shí)際情況相契合，并逐步上升，適度拓展，幫助學(xué)生建立系統(tǒng)的方法論

四、“圖形與幾何”變式教學(xué)實(shí)踐——以平行線為例

(一)引入概念

1概念形成

針對(duì)這種抽象的幾何知識(shí)，我們需要從實(shí)際生活出發(fā)，舉現(xiàn)實(shí)生活中平行線的例子，接著再?gòu)臄?shù)學(xué)的角度加以分析，從而引入概念，讓學(xué)生理解直線的位置關(guān)系

練習(xí)：仔細(xì)觀察下面這組圖片，你總結(jié)出了什么？

變式1：教師在黑板上畫(huà)出一組相交線，固定一條直線，在另一條直線上取不重合且不為交點(diǎn)的兩點(diǎn)、，將該直線繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，觀察旋轉(zhuǎn)過(guò)程中直線交點(diǎn)數(shù)量的變化，并據(jù)此判斷位置關(guān)系

第二個(gè)問(wèn)題是對(duì)教材中模型的一個(gè)拓展，結(jié)合幾何畫(huà)板，可以讓學(xué)生感受到直線的旋轉(zhuǎn)過(guò)程，理解直線無(wú)限延長(zhǎng)的特性，從而更好地認(rèn)識(shí)平行線的概念

(2)概念辨析

在同一平面內(nèi)，兩條直線如果不是重合，那它們有且僅有兩種位置關(guān)系，一種是相交，另一種是平行，注意垂直是相交的特殊情況這種時(shí)候?qū)W生很容易混淆不同的位置關(guān)系，教師需要通過(guò)帶著他們觀察多種多樣的圖形去判斷，可以數(shù)交點(diǎn)，讓他們發(fā)現(xiàn)同一平面內(nèi)，兩條相交的直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，平行的情況下交點(diǎn)數(shù)為零，反之同理通過(guò)以上概念辨析的變式教學(xué)，學(xué)生可以加深對(duì)平行線的概念的理解，這樣他們不僅知曉內(nèi)涵，還能做一定延伸注意學(xué)生很容易忘記重合的情況，教師要加以強(qiáng)調(diào)

練習(xí)：列舉同一平面內(nèi)兩直線的所有位置關(guān)系

變式 1兩條直線如果不平行，此時(shí)在同一平面內(nèi)這兩條直線有幾個(gè)交點(diǎn)？改變直線的數(shù)量會(huì)有什么變化？

(3)概念深化

平行的情況有很多，可以水平平行，可以豎直平行，也可以呈現(xiàn)一定的角度平行，學(xué)生容易忽略有角度的平行，教師可以在此運(yùn)用變式教學(xué)，加深他們對(duì)概念的理解

(4)概念鞏固

學(xué)生對(duì)概念理解透徹后，還需要做一些練習(xí)進(jìn)行鞏固，下面這種在所學(xué)知識(shí)上的一種拔高變式的練習(xí)題更有助于鍛煉學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生認(rèn)清概念的本質(zhì)

練習(xí)：①不相交的兩條直線是平行線；②在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種；③若線段與沒(méi)有交點(diǎn)，則∥;④若∥,∥，則與不相交上述語(yǔ)句中正確的個(gè)數(shù)是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

(二)證明公理

1公理引入

同前面一樣，此部分也是引入生活中熟悉的場(chǎng)景，以引發(fā)學(xué)生的興趣，注意目標(biāo)導(dǎo)向性原則，選擇的場(chǎng)景一定要有針對(duì)性

練習(xí)：如圖所示，有一扇長(zhǎng)方形的門(mén)，在門(mén)及門(mén)框邊沿取線段,線段,線段,通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，門(mén)在打開(kāi)的過(guò)程中始終有∥,你知道為什么嗎?

2公理探究

推出平行公理需要讓學(xué)生主動(dòng)觀察，然后思考及動(dòng)手操作得出，這里設(shè)置練習(xí)題就是希望學(xué)生可以提出猜想然后自行驗(yàn)證，提升他們的分析總結(jié)能力，題的設(shè)置由易到難，體現(xiàn)了變式教學(xué)，一定程度上調(diào)動(dòng)了學(xué)生的主觀能動(dòng)性

變式1：給出兩條相交直線，當(dāng)其中一條沿著固定的某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，總會(huì)出現(xiàn)一條平行于另一條的情況，且經(jīng)過(guò)該點(diǎn)與固定的那條直線平行的直線有且僅有一條引導(dǎo)學(xué)生自己拿尺動(dòng)手畫(huà)，看看是否會(huì)出現(xiàn)別的情況

回顧平行線作法:“放”“靠”“移”畫(huà)線

變式 1：已知直線外一點(diǎn),思考如何過(guò)點(diǎn)作一條直線平行于已知直線

變式 2：過(guò)點(diǎn)可以作多少條直線與已知直線平行？

變式 3：點(diǎn)可以在直線上嗎？此時(shí)可以作一條直線與已知直線平行嗎？通過(guò)學(xué)生動(dòng)手及思考得出平行公理的內(nèi)容

總之，在教學(xué)過(guò)程中，每一步都要用到變式教學(xué)，明確教學(xué)目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，只有這樣才能幫助學(xué)生形成有序的知識(shí)系統(tǒng)，培養(yǎng)他們的分析能力與綜合應(yīng)用能力