以形輔數(shù)
——從幾道平面向量最值問題的命制談起

◎竺佳菁

(浙江省寧波中學(xué)，浙江 寧波 315000)

一、高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的命題技術(shù)研究

近年來，我國確立了素養(yǎng)立意的命題思想，使得數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析這六個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成為高中數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)，這就要求教師在課堂教學(xué)的各個階段著力培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，以及用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界教師除了在課程設(shè)計中要注意滲透核心素養(yǎng)，編題時也應(yīng)重視對核心素養(yǎng)的考查，即試題的命制不應(yīng)僅追求對數(shù)學(xué)知識的考查，還應(yīng)關(guān)注思維過程，注重對數(shù)學(xué)能力與情感、態(tài)度、價值觀等過程性目標(biāo)的測評一份好的試題可以豐富教學(xué)探究活動，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新性思維和綜合性思維，促進(jìn)學(xué)生全面、可持續(xù)發(fā)展核心素養(yǎng)貫穿整個數(shù)學(xué)教育，本文主要針對直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算這兩個核心素養(yǎng)進(jìn)行命題設(shè)計與研究

向量作為一種數(shù)學(xué)工具，很好地溝通了數(shù)與形之間的關(guān)系平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何特性，平面向量基本定理以及在特定的基底下向量的坐標(biāo)表示，以基向量和坐標(biāo)系為橋梁，使向量的運(yùn)算與圖形性質(zhì)之間的轉(zhuǎn)化最終得以實現(xiàn)縱觀近幾年各地高考題，每年都有直接考查平面向量概念和運(yùn)算的基礎(chǔ)題，或綜合考查與其他數(shù)學(xué)知識相結(jié)合的向量應(yīng)用問題，甚至還有一些題目并不考查向量知識，但是可以運(yùn)用向量的方法進(jìn)行簡化和求解，因此，研究平面向量的命題技術(shù)具有典型性和延伸價值下面筆者結(jié)合自身的編題經(jīng)驗，淺談數(shù)形結(jié)合思想在向量命題中的應(yīng)用，為后續(xù)其他命題設(shè)計提供參考

二、以形輔數(shù)，從平面向量最值問題談起

(一)典型試題賞析

A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6)

【賞析】本題以正六邊形為背景，求向量數(shù)量積的取值范圍，可由向量數(shù)量積的幾何意義求解，也可用坐標(biāo)法求解

【賞析】本題要求向量模的最小值，并非直接給出幾何圖像，但可通過計算得出向量終點(diǎn)的軌跡，再利用投影的定義求解

反思總結(jié)：綜合近幾年各地典型高考試題來看，平面向量最值問題的命題設(shè)計基本上有兩種類型：一種是直接提供幾何背景，將具體情境下的相關(guān)知識與向量知識相結(jié)合，考查平面向量的坐標(biāo)法和對向量運(yùn)算法則的靈活運(yùn)用，主要體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；另一種是在題干的描述中隱藏部分幾何特性，讓學(xué)生通過轉(zhuǎn)化與向量計算畫出具體圖形，考查平面向量的基本概念、性質(zhì)和幾何意義，主要體現(xiàn)直觀想象的核心素養(yǎng)

平面向量最值問題一般難度較大，綜合性強(qiáng)，常在填空題或選擇題中壓軸出現(xiàn)，如果單純用計算求解，過程很煩瑣，如果只考慮幾何方法，技巧性又太強(qiáng)，因此常用數(shù)形結(jié)合的方法，既化繁為簡，又能給出解題思路

命題與解題是相通的，因此，數(shù)形結(jié)合既是一種重要的解題方法，同樣也可以成為很好的命題策略命題時，我們嘗試給一個復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算問題以幾何背景，豐富代數(shù)運(yùn)算的內(nèi)涵，也可以實現(xiàn)一題多解，拓展學(xué)生的思維，達(dá)到數(shù)與形的統(tǒng)一

(二)新編試題嘗試

命題過程：

1確立命題目標(biāo)本題的母題來自2020年浙江卷第17題，其解法多樣化，既可以坐標(biāo)化，結(jié)合不等式和三角函數(shù)等知識求解，也可以幾何化，利用圓與正余弦定理等知識求解編制新題時，要巧妙地結(jié)合向量數(shù)與形的特性，同時與其他數(shù)學(xué)知識建立聯(lián)系，考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，滲透核心素養(yǎng)

2細(xì)化調(diào)整變題

①將原題中的定向量用直線的方向向量表示方式轉(zhuǎn)化為動向量，由此得到一稿

一稿：已知平面單位向量,，滿足|+2|≤2，設(shè)=+t,∈[1,+∞)，設(shè)向量,的夾角為，則cos的最大值為________

②利用線性規(guī)劃使向量的變動更加自然，由此得到二稿

二稿：若平面單位向量,,，滿足|+2|≤2，·≤·，設(shè)=2+，設(shè)向量,的夾角為，則cos的最大值為________

③減少計算量，由此形成三稿

三稿：若平面單位向量,,，滿足|+2|≤2，·≤·，則·(2+)的最大值是________

④用單位向量表示突出幾何特點(diǎn)，提供解題思路，得到終稿

3校驗答案解析

如圖所示，由·≤·?·(-)≤0，得只能在陰影區(qū)域

(自編試題一圖)

由·≤·,

得cos≤coscos+sinsin=cos(-)，

當(dāng)=2時可以取等號

4反思命題亮點(diǎn)本題是利用數(shù)形結(jié)合來簡化問題的典型例題，既可以利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和三角恒等變換求解，也可以根據(jù)命題思路想到結(jié)合圖像和數(shù)量積的幾何意義去找到特殊位置，進(jìn)而求解本題的思想方法暗含其中，既有運(yùn)算量，又提供多種做題思路，在平淡中考查學(xué)生能力，在穩(wěn)扎穩(wěn)打中見真功，體現(xiàn)了命題的創(chuàng)新性和綜合性

(自編試題二圖)

本題可以根據(jù)菱形的幾何特征，由向量運(yùn)算知識結(jié)合三角函數(shù)的有關(guān)公式用坐標(biāo)法求解，也可以應(yīng)用圓的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)與不等式綜合求解，命題時充分挖掘了菱形所具有的幾何性質(zhì)，從而達(dá)到以形輔數(shù)的目的

自編試題三：已知,,是平面向量，其中是單位向量，向量滿足-2·=0，若·=4，則|-|的最小值是

2由條件可得·(-2)=0，即與-2垂直，作圖可知的終點(diǎn)在圓上，而從投影的角度分析·=4,可得的終點(diǎn)在直線上，因此|-|表示圓心為(1,0)、半徑為1的圓上的點(diǎn)到直線=4上的點(diǎn)之間的距離，故有最小值2，即圓心到直線的距離減去半徑

本題給出的條件淡化了幾何元素，但是如果熟練掌握數(shù)量積的幾何意義，就可以迅速還原幾何圖形，再結(jié)合直線與圓的有關(guān)性質(zhì)得出結(jié)論，這樣就簡化了代數(shù)運(yùn)算過程

(自編試題三圖)

向量除了可以表示直線與圓這兩個幾何元素，還可以用模長關(guān)系等表示圓錐曲線教師要掌握用多元的代數(shù)形式表示幾何圖形的方法，并由此進(jìn)行變式命題，從而實現(xiàn)試題難度的靈活調(diào)整

(三)命題技術(shù)總結(jié)

在應(yīng)用以形輔數(shù)技術(shù)進(jìn)行命題時，可以直接給出問題的幾何背景，讓學(xué)生從幾何條件中提取信息，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言并運(yùn)算求解，也可以用圖形輔助，與其他數(shù)學(xué)知識緊密結(jié)合起來，通過一定轉(zhuǎn)化使原問題中的幾何性質(zhì)隱藏起來，從而考查學(xué)生綜合解決問題的能力應(yīng)用以形輔數(shù)技術(shù)命題，在出題的時候就抓住了問題的本質(zhì)，也給予一個復(fù)雜問題幾何直觀，為學(xué)生解題提供思路在命題中融入數(shù)形結(jié)合的思想，可以有效考查學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)

三、關(guān)注問題本質(zhì)，一法通用，延伸命題

以形輔數(shù)的命題技術(shù)并不僅限于平面向量最值問題的命題，很多數(shù)學(xué)問題都有相應(yīng)的幾何背景，我們可以深入研究問題的本質(zhì)，找出它們的幾何直觀，進(jìn)一步進(jìn)行命題設(shè)計

本題可以直接用常規(guī)方法設(shè)直線計算，也可以將所求結(jié)果利用向量的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用向量的坐標(biāo)形式簡化后直接求解，極大地降低了運(yùn)算強(qiáng)度

(1)若點(diǎn)在以為直徑的圓上，求直線的方程

(2)若為上的動點(diǎn)，求||+||的最小值

(自編試題四圖)

本題可以利用圓的幾何特性和對稱點(diǎn)的相關(guān)性質(zhì)，再結(jié)合不等式運(yùn)算輕松求解解析幾何是將幾何問題用代數(shù)方法解決，但是我們不能將解法局限在代數(shù)運(yùn)算中，先利用幾何性質(zhì)把問題簡化，再用代數(shù)運(yùn)算來解決，這樣就實現(xiàn)化繁為簡了

(1)若函數(shù)()有且只有一個零點(diǎn)，求的值

所有與函數(shù)相關(guān)的問題都與函數(shù)圖像密不可分，本題可以利用導(dǎo)數(shù)先畫出函數(shù)草圖，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解零點(diǎn)問題

四、教學(xué)啟示與實踐應(yīng)用

命題是高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)具備的基本技能隨著時代的發(fā)展與進(jìn)步，高考數(shù)學(xué)試卷在考試內(nèi)容及命題形式等方面一直在變化，這對一線教師的命題技術(shù)與能力提出了更高的要求，因此，研讀新課標(biāo)、研析高考真題以及反思自身命題經(jīng)歷都是非常必要的

高中數(shù)學(xué)考試以課程標(biāo)準(zhǔn)和考試說明為指揮棒，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評價需要將知識技能的掌握與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)達(dá)成有機(jī)結(jié)合，因此不論是課堂小測、課后習(xí)題還是正式考試，教師都應(yīng)該重視試題的命制和其導(dǎo)向作用，讓試題不僅具有評價與選拔功能，還能引導(dǎo)學(xué)生逐步拓展知識，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，深入理解數(shù)學(xué)思想方法，提高創(chuàng)新能力和綜合解決問題的能力數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個長期的、隱性的過程，需要教師不斷強(qiáng)化課改意識，最終實現(xiàn)育人的目標(biāo)

高考命題趨勢備受師生關(guān)注，各個地區(qū)的模擬試題中，創(chuàng)新試題不斷涌現(xiàn)，但試題原型大多出自教材或常用的模型，考查的也是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識日常教學(xué)中，教師要有意識地積累素材，深入挖掘每一道題目背后隱藏的命題思路，為自身命題實踐打下良好的基礎(chǔ)常見的命題思路有很多，例如利用向量對代數(shù)運(yùn)算和幾何分析論證等問題進(jìn)行“包裝”；又如線性規(guī)劃、數(shù)列以及不等式恒成立或存在性等問題，本質(zhì)上就是研究函數(shù)與方程的問題等要命制一道好題，必須注重知識模塊之間的銜接，注意聯(lián)系圖像或幾何意義，實現(xiàn)精準(zhǔn)命題

好的試題是不斷打磨出來的，命制一道好題必然要花費(fèi)無數(shù)精力和時間幼兒的學(xué)習(xí)是從模仿大人的言行開始的，教師命題能力的提升也是如此，模仿實踐是命制試題的第一步剛開始命題時，我們可能只會改變一些數(shù)據(jù)或更換一下題目背景，但當(dāng)我們不斷嘗試轉(zhuǎn)變思路，一遍遍試錯之后，就能總結(jié)出一套命題經(jīng)驗，甚至形成獨(dú)特的命題風(fēng)格在改編或原創(chuàng)試題時，必然會碰到一個問題，那就是調(diào)控難度，有時教師的命題思路很好，但是對學(xué)生來說運(yùn)算量比較大，這時就要反復(fù)斟酌更換數(shù)據(jù)；也有可能命題時融合了很多元素，導(dǎo)致入口過窄，學(xué)生想不到解題方向，這就要求教師在命題時要做好鋪墊俗話說得好，臺上一分鐘，臺下十年功，教師只有通過不斷學(xué)習(xí)、實踐和反思，才能形成自己的命題經(jīng)驗

總之，以形輔數(shù)這一命題技術(shù)要求教師平時注意積累素材，善于挖掘不同類型的數(shù)學(xué)問題中隱含的幾何直觀，然后在命題過程中有意識地鍛煉數(shù)形結(jié)合的命題能力，使得命題設(shè)計更加科學(xué)有效，也更具有教育價值