逆向思維在初中數(shù)學解題教學中的應用

◎謝小兵

(甘肅省天水石馬坪中學，甘肅 天水 741000)

初中階段的學生比小學階段的學生在解題思路上更加靈活對于初中學生心理特點上的變化教師如果能夠加以運用，就能夠對學生的思維進行一定程度上的優(yōu)化，更好地培養(yǎng)學生的解題能力逆向思維在數(shù)學學習環(huán)節(jié)中呈現(xiàn)出極大的優(yōu)勢，數(shù)學思維要求的就是一種理性思維，所有的思維模式不是正向被推倒就是反向被推倒，所以說，在數(shù)學學習環(huán)節(jié)中，在答案上沒有兩面性，但是在題目的思維推導上卻是有多面性，逆向思維就是其中一種

一、逆向思維——逆向判定數(shù)學知識定理

在初中數(shù)學中學生所接觸到的逆向判定教學知識定理是最基礎的反推數(shù)理思維模式在數(shù)學教學中，這一領域所涵蓋的內(nèi)容受到了許多教育研究者的重視逆向思維解決數(shù)學知識定理有著數(shù)學特有的抽象性和邏輯性逆向思維對于現(xiàn)代化教學有很大價值

例如，在初中數(shù)學《平行線的性質(zhì)和平行線的判定》的學習過程中，教師面臨的教學難點以及學生將要掌握的難點就是對于平行線性質(zhì)定理和判定定理的區(qū)分教師可以將教學大致分為兩部分，首先，理解和分析“性質(zhì)”和“判定”這兩個詞的含義平行線的性質(zhì)就是已知兩直線平行的關系，得出兩角之間的關系，也就是說，性質(zhì)是一種由線定角的過程如一條直線被平行線所截：(如圖1所示)直線和平行，這兩條直線被所截，產(chǎn)生的角是∠1和∠2，證明∠1=∠2就是平行線的性質(zhì)反過來說，如果在圖1中，已知的是∠1=∠2，那么,求證∥就是平行線的判定教師利用逆向思維給學生講解完判定和性質(zhì)的區(qū)別之后，就可以讓學生學著在證明題中學會運用判定和性質(zhì)(如圖2所示)已知∥，∥,求證∠=∠,∠=∠在證明過程中，已知的是兩直線平行，要判定的是角之間的關系，也就是說，這一題是由線定角，用到的是平行線的性質(zhì)，在已知中，學生可以提取到的要點是∠+∠=180°，∠+∠=180°，所以，根據(jù)量的等同轉換，∠=∠;然后同理就可以證明∠=∠；對于學生來說，數(shù)學知識具有一定的抽象性，其中所包含的數(shù)學理論知識很難用生活道理解釋，這就造成學生很難將數(shù)學理論運用到數(shù)學的解題過程中，逆向思維能夠以一種簡易的方式進行反向解題

圖1

圖2

數(shù)學理論是抽象的，很多數(shù)學問題難以用具象的東西解釋清楚，所以開發(fā)學生的逆向思維有助于學生巧妙解題學生可以從逆向的角度去理解定理，而避免死記硬背又不會運用的艱難境況突破常規(guī)思維，轉換學習方法，創(chuàng)新思維能力

二、逆向思維——逆向求解數(shù)學錯題難題

逆向思維是學生解決問題的重要手段，一道題目并不是只能通過正向思維解決或者只能通過逆向思維解決，當正向思維解題過程過于復雜，可以尋求另一種方式解決問題用逆向思維解題，能夠使題目的困難程度大幅度的降低逆向思維的應用是將未知的數(shù)已知化，然后利用未知數(shù)求解已知數(shù)看其是否和所給的已知的數(shù)相同，從而理清整個解題思路，問題解決之后，學生可以將逆向思維正向化，重新求解

例如，對于初中數(shù)學一元二次方程的求解問題，問：有一個兩位數(shù)，它的十位數(shù)和個位數(shù)相加和是5，將個位數(shù)和十位數(shù)對調(diào)位置之后，原來的兩位數(shù)與對調(diào)后新的兩位數(shù)的乘積是736，求原來的兩位數(shù)是多少？這道題要運用一元二次方程求解，設十位上的未知數(shù)為，個位上的未知數(shù)是,由已知個位數(shù)與十位數(shù)相加和是5可以列出第一個方程+=5，由已知原來的兩位數(shù)(10+)與對調(diào)位置后得到的新的兩位數(shù)(10+)的乘積是736,能夠得到第二個方程(10+)(10+)=736然后連立這兩個方程求解在求解的過程中，一些學生由于計算能力欠缺，可能會導致思路是正確的，答案是錯誤的這種現(xiàn)象的出現(xiàn)，所以，教師可以提醒一些計算能力欠佳的學生，在計算完之后，可以將已知的和代到題目中，計算帶入之后加是否等于5？以及(10+)(10+)是否等于736？逆向思維可以幫助學生認識數(shù)學解題思路和方式上的創(chuàng)新對于數(shù)學學習的重要作用逆向思維幫助學生在一定程度上避免了在解題過程中進入思維誤區(qū)還不自知的情況

逆向思維能夠幫助學生及時發(fā)現(xiàn)錯誤學生習慣于從因到果去分析數(shù)學問題，而這個果究竟正不正確，是需要學生謹慎求證的，因而要求學生學會從果到因地去分析數(shù)學答案是否正確這樣做可以大大降低學生做題的錯誤率，同時培養(yǎng)學生解題的耐心和反向思維邏輯能力逆反思可以使學生從關注解題本身轉向關注數(shù)學思維訓練本身，激發(fā)學生對數(shù)學問題的探索心和求知欲，將數(shù)學學習變成自身的樂趣

三、逆向思維——逆向解決數(shù)學證明誤區(qū)

在解證明類題目時，一些學生盲目將數(shù)學中的定理套用在數(shù)學證明的過程中，學生自以為寫出來的證明過程是正確的，實則在其中存在著很多漏洞初中數(shù)學的證明題求解就相當于小學生在做計算題時，教師要求學生在正向計算的旁邊再進行反向的驗算一樣所以教師在證明題解答的教學環(huán)節(jié)中，可以讓學生利用逆向思維更好的完善數(shù)學題里存在的證明誤區(qū)這種方式在數(shù)學解題教學中叫作反證法，學生的正向證明如果是正確的話，那么學生進行證明流程反向推理時是不會出現(xiàn)矛盾的，如果在反向證明中出現(xiàn)了矛盾，也就是說學生在證明時還存在著一些漏洞

例如：如圖3所示，已知正方形中存在一點,且∠=∠=15°，證明正方形中所含的三角形是否為等邊三角形？學生在證明過程中一定要找到每一個可以證明的點，避免在做證明題時出現(xiàn)一種意念證明的現(xiàn)象，就是學生自以為某個條件是客觀存在的，所以教師在對于學生證明題的訓練過程中，一定要講清楚，每一道題的證明都要有理有據(jù)，有因有果因為∠=∠=15°，所以=，又因為在正方形中，∠=∠,∠=∠=15°,所以∠=∠,在三角形和三角形中，由于=,∠=∠,=,所以三角形≌三角形，然后就能得出=，且還能計算出∠=60°，這幾點就可以證明三角形是正三角形在這個證明環(huán)節(jié)中，證明過程比較簡單，但簡單的證明過程不代表學生可以在做題環(huán)節(jié)中將其忽略，證明題對于初中學生來說也是一項思維上的挑戰(zhàn)，要求學生的做題思維不僅僅要靈活還要縝密，學生在做證明題時，一定要主動挖掘所給的已知條件在證明過程中的作用，要知道，在一般性的證明題目中，沒有一項所給的條件可以被學生在做題過程中忽略掉，題目中的每一句話都有設題者的意圖

圖3

以上案例表明，反證法是學生運用逆向思維解決數(shù)學證明問題的一個具體操作法對于數(shù)學能力比較貧乏的學生而言，學會這個方法能夠清晰地認識到自身思維上的漏洞，避免做題時盲目自信逆向思維能夠幫助學生彌補分析漏洞，加強學生的嚴謹性和思路的清晰性

四、逆向思維——逆向運用數(shù)學公式和運算法則

“授人以魚，不如授人以漁”，初中數(shù)學中很多公式和運算法則其實都具有雙向性，即是可逆的因此，教師在課堂上不僅要講授數(shù)學公式的具體運用方法，讓學生將數(shù)學公式和運算法則銘記于心，同時，還需要要求學生在運用數(shù)學公式和運算法則時懂得融會貫通面對數(shù)學問題，可以正向操作也可以逆向解決教師要善于找到數(shù)學運用中的典型例子，讓學生運用逆向思維思考逆向思維能夠培養(yǎng)學生的抽象思維，因為數(shù)學理論知識是抽象的，很多數(shù)學題目的解答難以用具象的東西解釋清楚，所以開發(fā)學生的逆向思維有助于學生巧妙解題

五、逆向思維——逆向對數(shù)學知識進行二次回顧

在解答數(shù)學問題時，學生可以先用正向思維解答題目，然后再用逆向思維重新定位題目，這樣就能夠對數(shù)學知識點進行雙重的理解和記憶如學生在做自己曾經(jīng)做錯的題目時，題目的答案對于學生來說是明確的，但是正向的用流程解答題目對于學生來說確實困難，遇到這種情況學生可以使用逆向思維倒推正向解題所需要的條件和結論也就是說，如果正向推理題目是一種由因到果的過程，那么逆向思維下的解題就是一種由果到因的過程

例如，在學習初中數(shù)學等腰三角形這一節(jié)內(nèi)容時，學生首先要對等腰三角形有一定程度的了解等腰三角形是一種特殊形式的三角形，其不僅僅是兩腰、兩底角相等，還具有三線合一的性質(zhì)，不管是在平時考試中還是在中考中，等腰三角形三線合一的性質(zhì)都是必不可少的重要考點對于這一知識點中存在的錯題，學生在整理時不要一概而論，要進行分門別類，這也是做題上的逆向思維，如這一章的題目可分為三種，第一種考察的是等腰三角形的性質(zhì)，第二種考察的是等邊三角形的性質(zhì)，第三種考察的是垂直平分線的性質(zhì)學生將自己做錯的題劃分到這三大領域，然后對于同領域的題目進行對比分析，不斷總結自己對于這一類型題目的解題技巧

由以上案例表明，逆向思維是一個幫助學生學好數(shù)學的好方法數(shù)學題目就好似有七十二變，但萬變不離其宗，任何一道題目都可以追根溯源到課本的概念中概念能夠幫助學生解決數(shù)學問題，但同時數(shù)學問題的解決也有助于學生對概念的理解因而，在數(shù)學的復習當中，學生可以多從題目中回顧所學的知識點，加深記憶

逆向思維是新課標教育理念的有效教學實踐，其在教育環(huán)節(jié)中的優(yōu)勢是在現(xiàn)代教學成果反應中顯而易見的，所以，現(xiàn)代教師還需在逆向思維的教學方法和教學流程上不斷做出改變和創(chuàng)新根據(jù)學生的反映情況和課后效果的展現(xiàn)情況及時作出應對和改變將逆向思維融入教師的每一節(jié)數(shù)學課堂教學當中，將其作為重中之重，讓學生在平常的數(shù)學學習當中，潛移默化地學會用逆向思維思考問題，提高數(shù)學邏輯分析能力，提高思維創(chuàng)新力，為以后的數(shù)學學習添磚加瓦