不同角度探究均勻帶電圓環(huán)環(huán)面內的電場強度分布

張國泉　王峰　王道平　房頤

摘? ?要：在高中學習電磁學知識過程中，學生常常會將“均勻帶電球殼內部電場強度處處為零”這個結論錯誤地遷移應用于均勻帶電圓環(huán)，認為“均勻帶電圓環(huán)環(huán)面內任意一點的場強也為零”。雖然利用均勻帶電圓環(huán)電荷分布的對稱性可以分析得出“圓環(huán)圓心處場強為零”的結論，但環(huán)內其他點的場強并不為零。針對這個常見的認識誤區(qū)，采用三種方法，從不同角度分析了均勻帶電圓環(huán)環(huán)面內的場強特點，幫助學生正確認識該知識點。先巧妙運用等效法逆向證明“圓環(huán)上電荷均勻分布時，環(huán)面內不可能處處場強為零”;然后對比分析了利用微元法計算均勻帶電球殼和均勻帶電圓環(huán)內部電場強度分布時所取微元的差異，解釋了不能將均勻帶電球殼場強分布結論遷移應用到均勻帶電圓環(huán)的原因;最后利用數學Desmos軟件進行定量計算，給出了均勻帶電圓環(huán)直徑上的電場強度分布。

關鍵詞： 均勻帶電圓環(huán);電場強度;等效法;微元法;Desmos 軟件

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2022）6-0069-4

人民教育出版社出版的普通高中《物理》必修第三冊第九章第三節(jié)“靜電場及其應用”提到“一個半徑為R的均勻帶電球殼（球體）在球外部產生的電場，與一個位于球心、電荷量相等的點電荷在同一點產生的電場相同”[1]，但教材并未給出球殼內場強的分布情況。郭今戈討論認為“均勻帶電球殼內部任意一點的電場強度均為零”[2]。近年來，基于這個結論命制的高考物理試題時常出現，如2014年山東卷第19題，2021年江蘇卷第10題等。筆者在實際教學過程中發(fā)現，部分學生經常錯誤地將這個結論直接遷移到均勻帶電圓環(huán)，認為“電荷均勻分布的細圓環(huán)，環(huán)內任意一點的場強也處處為零”。文獻[2]只討論了均勻帶電圓環(huán)在垂直環(huán)面且過中心的軸線上的電場強度分布特征，而沒有討論環(huán)面內任意點的場強。利用電荷分布的對稱性，可以分析得出圓環(huán)圓心處的場強為零，但環(huán)面內其他點的場強實際并不為零。針對學生這個認識誤區(qū)，筆者分別采用等效法、微元法和Desmos 軟件定量計算三種方法，抽絲剝繭，由定性分析到定量計算，從不同角度分析討論了均勻帶電圓環(huán)在環(huán)平面內的電場分布特點，幫助學生突破該認識誤區(qū)。

1? ? 妙用等效，逆向證明

筆者先從學生的錯誤認知出發(fā)，引導學生進行如下思考：均勻帶電球殼內部場強處處為零，所以球殼內任一直徑上各點的場強自然也為零。若要使得均勻帶電圓環(huán)內任一直徑上的場強也處處為零，那么帶電圓環(huán)的電荷分布與均勻帶電球殼的電荷分布是否存在某種等效關系呢？從球殼與圓環(huán)的幾何對稱性特點出發(fā)，引導學生作如下操作：用與直徑AB垂直的平面分割均勻帶電球殼，可以得到無數細圓環(huán)帶（圖1）。由于圓環(huán)帶上的電荷相對于直徑AB對稱分布，所以可以得出結論“每個均勻帶電圓環(huán)帶在過環(huán)心且垂直環(huán)面的軸線AB上的任意一點M的電場強度方向一定沿軸線AB”。對于半徑與球殼相同的圓環(huán)來說，如果環(huán)上電荷分布關于直徑AB是對稱的，那么關于直徑AB對稱的兩個帶電弧線微元P和P在M處產生的電場場強矢量和一定也沿AB方向（圖2）。另一方面，若使得圖2中的弧線微元P和P所帶電量相等，均為圖1中對應圓環(huán)帶所帶電量的一半[圖1中細圓環(huán)帶的寬度Δl對應圖2中弧線微元的長度Δl，圓環(huán)帶寬度與弧線微元P（P）對應的θ角相等]，則圓環(huán)面內直徑AB上的場強與帶電球殼直徑AB上的場強分布特點是等效的，即處處為零。

這表明只有當圓環(huán)上的電荷分布滿足（3）式時，才能使得直徑AB上的場強處處為零。需要指出的是，（3）式表示的電荷分布滿足的是軸對稱分布，而不是圓對稱分布。當直徑AB在環(huán)面內繞圓心旋轉任意角度成為新的直徑A'B'，圓環(huán)上的電荷分布也需隨之改變。只有當圓環(huán)上的電荷分布對新的直徑A'B' 滿足（3）式的軸對稱分布時，方可使得新的直徑A'B'上電場場強處處為零。反推之，如果圓環(huán)上的電荷均勻分布[也就是不滿足（3）式]，環(huán)面內直徑AB上的場強并不處處為零，那環(huán)面內任意點的場強更不可能處處為零了。

2? ? 追根溯源，甄別細節(jié)

3? ? 借助軟件，定量分析

4? ? 教學反思

《普通高中物理課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：物理學科核心素養(yǎng)主要包括“物理觀念”“科學思維”“科學探究”和“科學態(tài)度與責任”四個方面。正確的物理觀念形成途徑之一就是具備問題意識，善于發(fā)現問題，能夠基于事實證據對不同觀點和結論提出質疑和批判，從不同角度思考問題，進行科學探究和思維加工，然后在此基礎上檢驗修正，甚至創(chuàng)造性地提出見解。在問題的解決過程中實現各種思維方法的內化，提升使用科學證據進行推理論證的意識和能力，滲透科學態(tài)度與責任的培養(yǎng)。

作為一名物理教師，在日常教學過程中，對學生的一些錯誤認識不能簡單否定之，而應該善于運用等效、類比、微元等思維方法引導學有余力的學生進行探討分析，同時引導學生在分析問題時注意甄別不同方法的細節(jié)差異。對于需要通過復雜數學計算加以解釋的問題，可以借助如Desmos、GeoGebra等數學軟件給出定量結果，并將結果以圖像形式呈現，幫助學生更加直觀地認清問題。當學生經歷了分析問題的全過程，不但能突破錯誤認識，加深對問題的正確理解，還有利于學生熟練運用和掌握各種思維方法，培養(yǎng)學生關注細節(jié)、主動從多角度思考問題的良好思維習慣，全面提升學生的物理核心素養(yǎng)。

參考文獻：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書物理必修第三冊[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2]郭今戈.均勻帶電球殼、球體、圓環(huán)的電場強度探究[J].物理教學探討，2016，34（2）：57-59.

[3]范小輝.新編高中物理奧賽指導[M].南京：南京師范大學出版社，2017.

[4]歐陽榮華，歐陽子琪.用Desmos直觀展示均勻帶電圓環(huán)中軸線上電場與電勢分布規(guī)律[J].中學物理教學參考，2020，49（7）：47-50.

（欄目編輯? ? 邱曉燕）