定積分和二重積分在面積計(jì)算中的應(yīng)用

馬文山

（閩西職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共教學(xué)部， 福建 龍巖 364021）

在實(shí)際生產(chǎn)生活和科學(xué)研究中， 常常需要求出一些不規(guī)則圖形（幾何體）的面積（體積）。 當(dāng)不規(guī)則圖形（幾何體）是由直線段、圓弧、平面、球面、圓錐面或圓柱面等構(gòu)成時(shí)，大都可以通過割、補(bǔ)、拼、湊等手段將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形（幾何體）。 此時(shí)仍然屬于常量數(shù)學(xué)的范疇，應(yīng)用初等數(shù)學(xué)的方法即可解決。當(dāng)圖形（幾何體）的構(gòu)成中含有一般的曲線、曲面因素時(shí)，用初等數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行“割補(bǔ)”就顯得力不從心。此時(shí)就要用到高等數(shù)學(xué)中的微積分的方法進(jìn)行相應(yīng)的幾何計(jì)算[1]。本文主要總結(jié)定積分和二重積分在面積計(jì)算中的應(yīng)用。

定積分是一元函數(shù)微積分中的重要知識， 一種很好的計(jì)算工具，可以很方便地用來求面積、平面曲線弧長和幾何體等的體積[2]。其中，定積分的微元法（也叫元素法），體現(xiàn)了部分到整體的數(shù)學(xué)思維過程。 以閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的曲邊梯形的面積計(jì)算為例，可通過分割、近似替代、求和與取極限4 個(gè)步驟來處理不規(guī)則的曲邊梯形的面積的精確計(jì)算問題。 此過程將圖形的性質(zhì)和定積分的意義有效結(jié)合起來，充分體現(xiàn)化整為零和以直代曲的思想[3]。

二重積分是定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)的積分， 是定積分的推廣。 其幾何意義是以定義區(qū)域D為底面， 以定義區(qū)域上的函數(shù)對應(yīng)的曲面為頂?shù)那斨w的體積的代數(shù)值。 對于多個(gè)曲面所圍成的立體的體積，其即為多個(gè)曲頂柱體體積的代數(shù)和[4]。 在特殊情況下，二重積分可以用于面積的計(jì)算。

1 利用定積分求平面圖形面積

應(yīng)用定積分求平面內(nèi)圖形面積通常分為3 種情況，分別是直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系，以及參數(shù)方程的情形[5]。

1.1 直角坐標(biāo)系下利用定積分計(jì)算圖形的面積

若圖形是由曲線 y=f（x）、y=g（x）（不妨設(shè) f（x）≥g（x））及直線 x=a、x=b（a＜b）所構(gòu)成的曲邊梯形，其面積用定積分計(jì)算表達(dá)式為：

若圖形是由曲線 x=f（y）、x=g（y）（不妨設(shè) f（y）≥g（y））及直線 y=a、y=b（a＜b）所構(gòu)成的曲邊梯形，其面積用定積分計(jì)算表達(dá)式為：

例1 計(jì)算由曲線y=x2和直線y=x+2 所構(gòu)成的圖形的面積（如圖1）。

圖1

解：曲線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，1）、（2，4），該圖形可以看成是由曲線y=x2、y=x+2 以及直線x=-1、x=2 合圍而成的曲邊梯形，在區(qū)間[-1，2]內(nèi) x+2>x2，用定積分計(jì)算其面積為：

解：圖形的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，2）、（2，2），圖 2 在第一象限內(nèi)的部分可以看成是由y=x、y=0 及x=0、x=2圍成的曲邊梯形，在區(qū)間[0，2]內(nèi)x>0，利用定積分計(jì)算其面積為：

圖2

根據(jù)圖形的對稱性，總面積為：

1.2 極坐標(biāo)系下利用定積分計(jì)算圖形的面積

由曲線 ρ=ρ1（θ）、ρ=ρ2（θ）（ρ1（θ）>ρ2（θ））以及射線θ=α，θ=β（α<β）所圍成的圖形的面積，用定積分計(jì)算表達(dá)式為：

例 3 計(jì)算心形線 r=a（1+cosθ）（a>0）所構(gòu)成的圖形面積（如圖3）。

圖3

解：先看極軸上方部分，該部分圖形可以理解為由 r=a（1+cosθ）（a>0）、r=0（極點(diǎn)）以及射線 θ=0、θ=π合圍而成，用定積分計(jì)算其面積為：

根據(jù)圖形的對稱性，其總面積為：

事實(shí)上， 該圖形還可以看成是由r=a （1+cosθ）（a>0）、r=0（極點(diǎn)）以及射線 θ=0、θ=2π 合圍而成，用定積分計(jì)算其面積為：

例 4 計(jì)算對數(shù)螺線 r=aeθ（-π≤θ≤π）與射線θ=π 所構(gòu)成的圖形面積（如圖 4）。

圖4

解：該圖形由 r=aeθ（-π≤θ≤π）、r=0（極點(diǎn)）以及射線θ=-π、θ=π 合圍而成，用定積分計(jì)算其面積為：

1.3 參數(shù)方程下利用定積分計(jì)算圖形的面積

圖5

1.4 利用定積分驗(yàn)證初等數(shù)學(xué)中常見圖形的面積公式

初等數(shù)學(xué)的主要研究對象是常量， 高等數(shù)學(xué)的主要研究對象是變量。常量數(shù)學(xué)是變量數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)、特例，變量數(shù)學(xué)是常量數(shù)學(xué)的發(fā)展，它們辯證統(tǒng)一于數(shù)學(xué)之中。 我們不妨以微積分中的定積分來驗(yàn)證初等數(shù)學(xué)中的面積計(jì)算公式。

例6 應(yīng)用定積分驗(yàn)證長為a，寬為b 的長方形的面積公式S=ab。

驗(yàn)證如下：

長方形 ABCD 中 AB=a，AD=b。 以 A 為原點(diǎn)，AB所在的直線為x 軸，AD 所在的直線為y 軸， 建立直角坐標(biāo)系（如圖6）。

圖6

于是長方形ABCD 可以看成是由y=b、y=0、x=0及x=a 圍成的圖形，其面積用定積分計(jì)算為：

驗(yàn)證完畢。

例7 應(yīng)用定積分驗(yàn)證以r 作為半徑的圓的面積公式 S=πr2。

驗(yàn)證如下：

方法1： 以圓心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系 （如圖7），則圓的方程為 x2+y2=r2。

圖7

進(jìn)行三角代換，

驗(yàn)證完畢。

2 利用二重積分求平面圖形的面積

二重積分是多元函數(shù)積分學(xué)中的一個(gè)主要內(nèi)容，其計(jì)算方法與定積分類似，是把二重積分化成有次序的兩個(gè)定積分，又稱為二次積分[6]。

2.1 直角坐標(biāo)系下利用二重積分計(jì)算閉區(qū)域（平面圖形）的面積

若閉區(qū)域 D 是由 x=a，x=b（a

若閉區(qū)域 D 是由 y=a、y=b（a

2.2 極坐標(biāo)系下利用二重積分計(jì)算平面圖形的面積

若閉區(qū)域D 是由極坐標(biāo)系下的射線θ=α、θ=β（α<β）以及曲線 ρ=φ1（θ）、ρ=φ2（x）（φ1<φ2）構(gòu)成，則閉區(qū)域D 的面積為：

圖8

解： 該圖形在第一象限內(nèi)的部分可以看成是由x=0、x=1 及函數(shù) y=x2、y=x 圍成的閉區(qū)域， 在此區(qū)域內(nèi)x2

由圖形的對稱性得總面積為：

由圖形的對稱性得總面積為：

例9 利用二重積分計(jì)算ρ=2acosθ 所圍成的面積（如圖 9）。

圖9

3 定積分與二重積分求面積的應(yīng)用比較

方法1，應(yīng)用定積分求圖形的面積

將圖形看成是由 y=sinx、y=0、x=0、x=π 合圍而成的曲邊梯形，其面積為：

方法2，應(yīng)用二重積分求圖形的面積

將圖形看成是由 x=0、x=π 及函數(shù) y=sinx、y=0構(gòu)成的x 型閉區(qū)域D，其面積為：

例11 計(jì)算兩條拋物線y=x2、x=y2所圍成圖形的面積。

方法1，應(yīng)用定積分求圖形的面積

方法2，應(yīng)用二重積分求圖形的面積

由例10、 例11 可見， 用定積分計(jì)算圖形面積時(shí)，要點(diǎn)在于把圖形理解成一個(gè)曲邊梯形，進(jìn)而正確確定被積函數(shù)及相應(yīng)的積分區(qū)間。 用二重積分計(jì)算圖形面積時(shí)， 要點(diǎn)在于把圖形理解為x 型閉區(qū)域或者y 型閉區(qū)域，進(jìn)而正確確定第一次積分的積分上、下限及第二次積分的積分區(qū)間。

事實(shí)上， 上述例子的方法2 中第一次積分的結(jié)果，恰好就是方法1 中定積分的被積函數(shù)，方法2 中第二次積分的積分區(qū)間， 恰好就是方法1 中定積分的積分區(qū)間。

4.結(jié)束語

定積分和二重積分是一元函數(shù)和多元函數(shù)微積分學(xué)重要而基礎(chǔ)的內(nèi)容，在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、建筑學(xué)等許多領(lǐng)域應(yīng)用非常廣泛。 鑒于數(shù)學(xué)的高度抽象性，對于很多人來說，要學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)是比較困難的。 筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中，深刻領(lǐng)會到，就定積分和重積分而言， 讓學(xué)生充分準(zhǔn)確地理解并掌握其幾何意義， 能熟練地在幾何計(jì)算中加以應(yīng)用是至關(guān)重要的?；诖?，本文就定積分求平面圖形面積總結(jié)了3 種情況，分別是直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系以及參數(shù)方程的情形；二重積分求平面圖形的面積，總結(jié)了直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系下的2 種情況。 通過定積分驗(yàn)證初等數(shù)學(xué)中的面積公式， 初步揭示了常量數(shù)學(xué)與變量數(shù)學(xué)的關(guān)系。 通過定積分與二重積分計(jì)算面積的比較， 反映了一元函數(shù)微積分到二元 （多元）函數(shù)微積分的推廣拓展。