基于新息突變約束的自適應卡爾曼濾波研究

鄧義廷，方 針,2，彭 慧，馮 偉，劉 宇

(1.重慶郵電大學 自主導航與微系統(tǒng)重慶市重點實驗室，重慶 400065; 2.中國電子科技集團公司第二十六研究所，重慶 400060)

0 引言

微慣性測量單元(MIMU)雖已廣泛用于無人機、吊艙、慣性定位導航等各領域，但是微機電系統(tǒng)(MEMS)慣性器件的低精度和高漂移限制了系統(tǒng)的測量精度和性能，因此，MEMS陀螺儀的誤差分析和校正不補償具有重要意義[1-4]。

MEMS陀螺儀誤差包括系統(tǒng)誤差和隨機誤差[5]。系統(tǒng)誤差能夠使用高精度轉臺設備校準，以減小對測量結果的影響[6]，而隨機漂移誤差是MEMS陀螺儀在外界因素的影響下偏離實際方向產(chǎn)生的，并隨時間和周圍環(huán)境條件不斷變化，難以用標定進行處理[7]。隨機誤差是提高MEMS慣性器件精度的主要限制因素之一。目前用于MEMS慣性器件誤差分析的方法主要有時間序列分析法、Allan方差分析法和小波神經(jīng)網(wǎng)絡等[8]。

本文使用Allan方差分析陀螺儀的隨機噪聲，并對MEMS陀螺儀的隨機誤差進行了時間序列分析和建模。然后在經(jīng)典卡爾曼濾波器的基礎上加入衰減因子和基于新息突變約束的誤差矩陣進行自適應估計補償，再結合MEMS陀螺儀試驗，并利用Allan方差對濾波前后的數(shù)據(jù)進行對比分析。

1 Allan方差分析原理

Allan方差分析常用于定量地對陀螺儀各項隨機誤差進行辨識[9]，作為對MEMS陀螺儀濾波前后評價其性能的重要指標。

(1)

Allan方差定義為

(2)

MEMS陀螺儀隨機噪聲主要包括量化噪聲、角度隨機游走、零偏不穩(wěn)定性、速率隨機游走及速率斜坡5種。本文使用Allan方差法進行定性分析[9-10]，各種隨機誤差源與Allan方差的關系為

(3)

用最小二乘法對Allan方差的曲線進行擬合，求得相應參數(shù)。MEMS陀螺儀的隨機誤差的的計算公式和Allan方差對數(shù)圖如表1所示[9]。

表1 Allan分析與5種噪聲的對應關系

Allan分析不一定能得出量化噪聲和速率斜坡結果，而由于MEMS陀螺儀中的隨機誤差主要包括角度隨機游走、零偏不穩(wěn)定性和隨機噪聲角速率隨機游走，因此，重點關注這3個誤差。另外再引入標準差判斷數(shù)據(jù)的離散性。

2 時間序列分析與建模

時間序列分析模型主要有自回歸模型(AR)、滑動平均模型(MA)及自回歸滑動平均模型(ARMA)。首先對采集的數(shù)據(jù)進行預處理，再判斷模型類別，估計模型參數(shù)[11]。

2.1 時間序列模型的確定

數(shù)據(jù)經(jīng)去粗差、去趨勢項及去周期項等預處理后，可以進行時間序列模型建模[12]。通過自相關函數(shù)圖(ACF)和偏相關函數(shù)圖(PACF)的“拖尾/截尾”性質識別時間序列的模型結構[13]。對試驗所用1號MEMS陀螺儀進行自相關和偏自相關檢測，如圖1、2所示。

由圖1、2可得出試驗所用1號MEMS陀螺儀的ACF圖和PACF圖都是拖尾，判斷對該陀螺儀建模采用ARMA模型。平穩(wěn)、正態(tài)時間序列xk的ARMA(p,q)模型[8]為

(4)

式中：φi(i=1,2,…,p)表示自回歸系數(shù)；θi(i=1,2,…,q)表示滑動平均系數(shù)；εs,εt為新息；E(εt)是εt的方差；E(εtεs)，E(Xsεt)代表期望。

2.2 ARMA模型定階及參數(shù)確定

首先要確定ARMA模型的階數(shù)。常用的判斷方法有AIC準則、BIC準則、FPE準則及新息值等[14]。此次建模選用AIC、BIC準則判定模型階數(shù)。

赤池信息量準則(AIC)是估計隨機序列模型階次的一種優(yōu)良的度量[14]:

(5)

貝葉斯信息準則(BIC)與AIC類似，用于模型階數(shù)的選擇[14]:

BIC(p,q)=-2ln(L)+(p+q)ln(N)

(6)

式中：L為最大似然函數(shù)；N為樣本總數(shù)。

經(jīng)過AIC和BIC準則計算，得到本文使用的1號MEMS陀螺儀的ARMA模型為ARMA(3,2)。

采用自回歸逼近法估計[11]本文ARMA模型參數(shù)。估計參數(shù)為：φ1=0.138 11，φ2=0.158 41，φ3=-0.110 56，θ1=0.273 14，θ2=-0.180 75。1號MEMS陀螺儀x軸ARMA模型的表達式為

xk=0.138 11xk-1+0.158 41xk-2-

0.110 56xk-3+εk-0.273 14εk-1+

0.180 75εk-2

(7)

3 卡爾曼濾波器設計

基于式(7)建立ARMA(3,2)模型，采用卡爾曼濾波對MEMS陀螺儀隨機誤差進行補償。由ARMA(3,2)模型得到1號MEMS陀螺儀的狀態(tài)方程和量測方程可表示為

(8)

式中：Ak/k-1表示系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣；Xk-1=[xk-1xk-2xk-3]T；Bk/k-1表示系統(tǒng)的噪聲矩陣；Qk-1表示k-1時刻的系統(tǒng)噪聲；Hk為k時刻的量測矩陣；Vk為k時刻的量測噪聲。采用文獻[14]中的設置方法得到濾波器參數(shù)為

(9)

(10)

(11)

傳統(tǒng)的卡爾曼濾波遞推方程[15]為

(12)

有時測試的數(shù)據(jù)中含有一些異常值，其量測方程為

zk=Hkxk+Vk+sigk

(13)

式中sigk為k時刻的異常測量值。含有異常值的新息為

(14)

誤差矩陣為

(15)

矩陣每一行表示對MEMS數(shù)據(jù)新息的約束參數(shù)：

yk(k)=ci1+ci2yk(k-1)+…+cijyk(k-j)

(i=1,2,3;j=1,2,…,n)

(16)

每個參數(shù)的值隨輸入信號而變化，通過對短時間的新息進行曲線擬合，再通過互補對新息進行更新，其中曲線參數(shù)采用遞推最小二乘法進行參數(shù)更新。

同時考慮到被測噪聲參數(shù)不穩(wěn)定的特點，在濾波算法中加入了衰減記憶系數(shù)，采用衰減記憶加權算法自適應估計，減小舊值對濾波算法的影響[4]。引入新息誤差矩陣和衰減記憶系數(shù)之后的卡爾曼濾波算法為

(17)

式中b(0

4 數(shù)據(jù)分析和結果驗證

實驗中采用實驗室自研1號和2號MEMS陀螺儀進行測試，轉臺采用我國自主研發(fā)制造的特定型號3軸速度位置轉臺，如圖3所示。采樣頻率為200 Hz，用于測試濾波方法的可靠性和補償效果。

4.1 1號MEMS陀螺儀測試

4.1.1 1號MEMS陀螺儀靜態(tài)測試

進行數(shù)據(jù)采集時，將1號MEMS陀螺儀固定到三軸速率轉臺上，調至水平，實驗室溫控制在常溫。在室溫、零激勵條件下采集2 h靜止數(shù)據(jù)，選取穩(wěn)定部分進行濾波處理。部分數(shù)據(jù)測試結果如圖4、5所示。

由圖4、5可見，KF和自適應KF濾波后的數(shù)據(jù)起伏明顯變小，但KF濾波的結果存在較多明顯尖峰，即突變值。自適應KF引入了新息突變約束矩陣，新息在補償前后有明顯區(qū)別，對數(shù)據(jù)的突變值有很好的抑制效果，相比之下數(shù)據(jù)更平滑，不存在明顯尖峰。由表2標準差對比可以看出，濾波前后的數(shù)據(jù)發(fā)生突變的概率減小，角度隨機游走精度提高0.96倍和9.13倍，零偏不穩(wěn)定性精度提高1倍和9.84倍，角速率隨機游走精度提高2.72倍和26.74倍。

表2 原始數(shù)據(jù)與濾波結果指標比較

4.1.2 1號MEMS陀螺儀動態(tài)速率測試

試驗流程類似于靜態(tài)試驗，MEMS陀螺儀固定后，在三軸轉臺30(°)/s的激勵下進行數(shù)據(jù)采集。其建立的ARMA(3,2)模型為

xk=0.131 37xk-1-0.708xk-2+0.629 18xk-3+

εk+0.472 85εk-1-0.656 87εk-2

(18)

測試結果如圖6所示。

由圖6可見，原始數(shù)據(jù)波動較大，導致卡爾曼濾波后也有小幅波動，但自適應濾波后結果較平滑，新息補償前后也有很大區(qū)別，濾波后突跳減少。由表3標準差對比可以看出，濾波前后數(shù)據(jù)發(fā)生突變的概率減小，角度隨機游走精度提高1倍和7.28倍，零偏不穩(wěn)定性精度提高1.09倍和4.33倍，角速率隨機游走精度提高1.05倍和8.89倍。

表3 原始數(shù)據(jù)與濾波結果指標比較

4.2 2號MEMS陀螺儀測試

4.2.1 2號MEMS陀螺儀靜態(tài)測試

采用相同的處理過程對2號MEMS陀螺儀進行處理，建立ARMA(3,1)模型，其表達式為

xk=0.063 78xk-1-0.166 94xk-2+

0.237 99xk-3+εk-0.124 52εk-1

(19)

最終測試結果如圖7、8所示。

根據(jù)圖7、8可以看出，2號MEMS陀螺儀的測試結果和1號的測試結果基本相同。數(shù)據(jù)變化更平緩，基本不存在突變值。由表4可見，濾波后標準差明顯減小，角度隨機游走精度提高0.98倍和6.35倍，零偏不穩(wěn)定性精度提高1倍和5.96倍，角速率隨機游走精度提高1.02倍和6.07倍。

表4 原始數(shù)據(jù)與濾波結果指標比較

4.2.2 2號MEMS陀螺儀動態(tài)速率測試

同1號MEMS陀螺儀在三軸轉臺上采用30(°)/s的激勵進行數(shù)據(jù)采集。建立的ARMA(3,1)模型為

xk=0.167 68xk-1-0.070 765xk-2+

0.223 29xk-3+εk-0.444 82εk-1

(20)

測試結果如圖9所示。

由圖9可見，與原始數(shù)據(jù)和卡爾曼濾波后數(shù)據(jù)波動相比，自適應濾波后數(shù)據(jù)波動減小，新息補償前后也有很大區(qū)別，濾波后突跳減少。由表5標準差對比可以看出，濾波前后的數(shù)據(jù)發(fā)生突變的概率減小，角度隨機游走精度提高1.09和3.19倍，零偏不穩(wěn)定性精度提高1.21和8.99倍，角速率隨機游走精度提高1.04和5.08倍。

表5 原始數(shù)據(jù)與濾波結果指標比較

試驗中使用的兩個MEMS陀螺儀的靜態(tài)和速率測試結果表明，標準差顯著降低了濾波前后數(shù)據(jù)發(fā)生突變的概率，包括角隨機游動、偏置不穩(wěn)定性和角速度隨機游動，結果至少均小1個數(shù)量級。試驗表明，基于新息突變約束的自適應KF濾波算法有效地抑制了數(shù)據(jù)的突變值，隨機誤差明顯較小，提高了MEMS陀螺儀的精度。

5 結束語

本文首先建立了ARMA模型，然后分別對數(shù)據(jù)進行經(jīng)典卡爾曼和基于新息突變約束的自適應卡爾曼濾波濾波補償，并進行了靜態(tài)和速率實驗驗證。Allan分析表明，實驗建立的ARMA模型適用于本文使用的1號和2號MEMS陀螺儀，具有顯著的濾波效果，明顯減少了隨機誤差并提高了MEMS陀螺儀的性能。