基于MATLAB的小波去噪的研究

張 靜，陶彬彬

基于MATLAB的小波去噪的研究

張 靜，陶彬彬

（皖江工學(xué)院 電氣信息工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243031）

小波分析法去噪是當(dāng)前廣泛應(yīng)用的信號(hào)去噪方法，為研究小波分析去噪效果，本文首先對(duì)小波分析的基本理論進(jìn)行介紹，然后介紹了小波去噪原理，最后通過MATLAB對(duì)小波去噪效果及影響因素進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真。仿真結(jié)果通過波形、信噪比SNR和最小均方誤差MSE進(jìn)行分析。

小波去噪；小波基；閾值；小波包去噪；去噪效果

近些年來，小波分析理論發(fā)展得十分迅速，良好的時(shí)域和頻域特性使得其廣泛地被應(yīng)用于實(shí)際。在現(xiàn)實(shí)中，搜集到的信號(hào)往往都是含有噪聲的，噪聲的存在常常會(huì)將原始信號(hào)所要表達(dá)的信息掩蓋掉，所以，在實(shí)際對(duì)信號(hào)的處理過程中，降噪是首先要進(jìn)行的，并且是非常重要的一個(gè)步驟。

小波分析法去噪是當(dāng)前廣泛應(yīng)用的信號(hào)去噪方法，小波分析法源于傅里葉變換，卻相比傳統(tǒng)的傅里葉分析去噪而言，更適合于對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的去噪問題。傅里葉分析去噪適合于平穩(wěn)信號(hào)去噪，可是生活中非平穩(wěn)信號(hào)是絕大部分的，因此使用傅里葉分析法來去噪就存在著局限性[1]。多分辨率分析是小波分析的特點(diǎn)，并且無論在時(shí)域還是頻域內(nèi)，均具有表征信號(hào)局部特征的能力[2]。因此，在去噪領(lǐng)域中，小波理論受到了廣泛的關(guān)注，并取得了不錯(cuò)的效果[1-7]。

小波分析去噪的核心環(huán)節(jié)包括小波基函數(shù)的選擇，閾值函數(shù)的選擇、分解的層數(shù)等，小波包相對(duì)于小波分析對(duì)于高頻的刻畫更為精細(xì)，小波包去噪也被用于信號(hào)的去噪[8-11]。本文主要研究小波去噪，以及影響最終去噪效果的因素，并通過MATLAB進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。去噪實(shí)驗(yàn)包括3部分：一是研究小波基選擇、閾值選取、分解層數(shù)對(duì)小波分析去噪效果的影響，二是通過對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)去噪，比較小波去噪與傅里葉分析去噪的效果，三是小波包去噪效果的研究。

1 小波理論

1.1 小波變換

其重構(gòu)公式(即小波逆變換)為：

1.2 幾種常見的小波基

小波基選取是小波分析去噪的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一，選擇合適的小波基作為小波分析的基函數(shù)，能夠使小波去噪取得不錯(cuò)的效果。以下為幾種常見的小波基函數(shù)。

(1)Haar小波系

Haar小波的定義為：

Haar小波系為A. Haar提出的一種正交的函數(shù)系，此小波系具備緊支撐性，并且在正交的函數(shù)系中是屬于最簡單的一種[12]。

(2)Daubechies(db)小波系

Daubechies(db)小波函數(shù)也是由Daubechies構(gòu)造的小波函數(shù)，是從兩尺度方程系數(shù){h}出發(fā)而設(shè)計(jì)的離散正交小波函數(shù)[12]。簡便起見，往往記作為db，為小波的階數(shù)。db也為具備緊支撐正交特性的小波基系列，但是，db(≠1)不具備對(duì)稱性的特征，也無顯示表達(dá)式。但是，{h}的傳遞函數(shù)的模的平方卻具備著顯式表達(dá)式。

(3)SymletsA（sym）小波系

SymletsA函數(shù)為一種近似對(duì)稱的，緊支集、雙正交特性小波函數(shù)系，為db小波函數(shù)的一種改進(jìn)，此SymletsA函數(shù)一般表示為sym的形式，其中=2,3,4,5,6,7,8[12]。

(4)Coiflet(coif)小波系

Coiflet小波基具有緊支撐正交特性，是由Daubechies構(gòu)造的小波函數(shù)，函數(shù)有coif(=1，2，3，4，5)這一系列，Coiflet小波基比db小波基對(duì)稱性更好，而且coif與db3、sym3具有相同的支撐長度，與db2、sym2具有相同的消失矩?cái)?shù)目[12]。

雖然小波系有很多種，但是在小波分析中，對(duì)于小波基函數(shù)的選取并沒有固定的準(zhǔn)則，通常按照染噪信號(hào)的特征以及小波基函數(shù)本身的屬性來進(jìn)行選取[11]。

1.3 小波包理論

小波變換是一種將時(shí)域分析、頻域分析聯(lián)系在一起的分析方法，多分辨率分析法是將信號(hào)分解為高頻部分和低頻部分的分析方法，可是，通常是將低頻部分保留下來，而對(duì)于高頻部分的分析處理往往不知所措[13]。

小波包分析與小波分析相比，突出優(yōu)勢在于，不僅可以對(duì)低頻部分進(jìn)行分解，而且可以對(duì)高頻部分也實(shí)施了分解，(如圖1所示為3層小波包分解圖)，因此，局部分析能力更加精確。

2 小波去噪原理

2.1 小波分析去噪原理

小波去噪一般分為染噪信號(hào)的分解、閾值的處理、信號(hào)的重構(gòu)3個(gè)步驟。

(1)信號(hào)的分解：選取小波基對(duì)染噪的信號(hào)進(jìn)行小波變換。

(2)閾值的處理：事先設(shè)定一個(gè)閾值，然后將比設(shè)定閾值低的小波系數(shù)去掉，保留比設(shè)定閾值高的小波系數(shù)，從而可以將噪聲去除，保留住有用信號(hào)的信息。

(3)信號(hào)的重構(gòu)：用處理后的小波系數(shù)進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)。

2.2 閾值去噪

模極大值法、空域相關(guān)法、小波閾值法是小波濾波去噪的3種主要的方法，相比較于前2種濾波方法，小波閾值法濾波具有算法簡單、計(jì)算量小、濾波效果好等特點(diǎn)，對(duì)于信噪比低的信號(hào)的處理也比較適用[13]，因此，關(guān)于小波閾值法信號(hào)濾波的研究及應(yīng)用較為廣泛[14-16]。

圖1 3層小波包分解圖

小波閾值去噪通?？梢苑譃橛查撝等ピ爰败涢撝等ピ?種。

Donoho提出的硬閾值函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

軟閾值的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

常見的閾值選擇規(guī)則有以下4種：①固定閾值sqtwolog規(guī)則，閾值=2In()；②啟發(fā)式閾值Heursure規(guī)則，為最優(yōu)預(yù)測變量閾值選擇；③自適應(yīng)閾值選擇Rigruse規(guī)則，此種規(guī)則是基于無偏估計(jì)；④極大極小閾值Minmaxi規(guī)則，此規(guī)則也是一種固定的閾值選擇規(guī)則[13]。其中，Rigruse、Minmaxi閾值選取規(guī)則在處理噪聲時(shí)較為保守，僅將部分系數(shù)置零，而sqtwolog、Heursure閾值選取規(guī)則則將所有系數(shù)處理掉，前者可能會(huì)造成去噪不足，后者可能會(huì)造成有用信號(hào)的高頻部分被當(dāng)成噪聲而去除掉[11]。

閾值函數(shù)以及閾值選取規(guī)則是最終對(duì)小波濾波去噪效果產(chǎn)生影響的關(guān)鍵性因素。

2.3 小波包去噪

與小波分析去噪相比，小波包對(duì)信號(hào)的分解以及重構(gòu)愈加精細(xì)，對(duì)低頻部分以及高頻部分均實(shí)施分解，因而具有更強(qiáng)、更精確的局部分析能力[11]。

小波包閾值去噪的基本步驟如下：①對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波包分解；②選擇最優(yōu)小波基；③小波包分解系數(shù)的閾值化；④信號(hào)的小波包重構(gòu)。

3 去噪實(shí)驗(yàn)仿真

3.1 不同小波基下信號(hào)去噪

本實(shí)驗(yàn)為仿真小波基函數(shù)選取、分解的層數(shù)、閾值選取對(duì)小波分析最終去噪效果的影響。如圖2為原始信號(hào)以及加噪信號(hào)。

圖2 原始信號(hào)及加噪信號(hào)

表1 3層分解的小波分析去噪

coif3sym5db4haar 軟閾值MSE0.14190.13520.13120.1601 硬閾值MSE0.23750.23760.27100.2555 軟閾值SNR30.130330.338830.471129.6059 硬閾值SNR27.893727.890727.320227.5752 加噪SNR21.440921.440921.440921.4409

表2 5層分解的小波分析去噪

coif3sym5db4haar 軟閾值MSE0.05620.05760.05820.1155 硬閾值MSE0.15280.17050.19460.2143 軟閾值SNR34.151934.047633.997331.0237 硬閾值SNR29.807629.334028.758128.3400 加噪SNR21.440921.440921.440921.4409

由表1、表2可得，同一種小波基下，5層分解與3層分解相比，具有更高的信噪比SNR，更低的最小均方根誤差MSE。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，分解的層數(shù)越多，去噪效果就越好，同時(shí)也增大了計(jì)算量。

通過表1和表2的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)軟閾值情況下，具有更高的信噪比SNR，更小最小均方誤差MSE，說明噪聲更小，去噪后的信號(hào)與原始信號(hào)更為接近。

通過4種小波基去噪結(jié)果的數(shù)據(jù)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，coif3、sym5、db4 3種小波基情況下的濾波效果要好于haar小波基情況。coif3小波基、sym5小波基處理噪聲效果比db4小波基略好。因此，小波基的選擇不唯一，沒有一種小波基對(duì)任何一種信號(hào)去噪都能取得最優(yōu)的效果。所以，實(shí)際去噪時(shí)，應(yīng)根據(jù)具體情況來選擇適合的小波基函數(shù)對(duì)小波進(jìn)行分解。

圖3～圖6分別為不同小波基情況下的去噪波形圖，從中可以發(fā)現(xiàn)coif3、sym5、db4 3種小波基下的去噪效果要好于haar小波基情況。軟閾值去噪效果好于硬閾值，去噪之后跟原信號(hào)更接近。但是haar小波基特更適合于連續(xù)性較差的信號(hào)的小波去噪，比如block信號(hào)。coif3、sym5更適合于連續(xù)性較好的信號(hào)的去噪，比如Doppler信號(hào)的去噪。

圖3 haar小波基分解的小波去噪

圖4 coif3小波基分解的小波去噪

圖5 sym5小波基分解的小波去噪

圖6 db4小波基下的小波去噪

3.2 小波去噪與傅里葉分析去噪效果比較

首先，產(chǎn)生測試信號(hào)—Doppler信號(hào)，Doppler信號(hào)為一種非平穩(wěn)信號(hào)，加入白噪聲，得到原始信號(hào)和染噪信號(hào)如圖7所示。然后通過小波分析和傅里葉分析分別對(duì)加噪的非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行去噪。其中，小波分析法選取sym4小波基對(duì)加噪信號(hào)進(jìn)行4層分解，閾值選擇采用最優(yōu)預(yù)測變量閾值heursure，軟閾值去噪。

圖7 原始信號(hào)及加噪信號(hào)

由圖8可知小波分析去噪結(jié)果好于傅里葉分析去噪。在非平穩(wěn)信號(hào)的去噪方面，小波分析去噪相對(duì)于傅里葉分析具有很大的優(yōu)勢，并且在實(shí)際工程應(yīng)用中，大多數(shù)的信號(hào)也都為非平穩(wěn)信號(hào)。

圖8 小波去噪及傅里葉分析去噪比較

3.3 小波包去噪

3.3.1 分解層數(shù)對(duì)去噪效果的影響

先產(chǎn)生bumps測試信號(hào)，然后高斯白噪聲加入bumps信號(hào)，得到原始信號(hào)及加噪信號(hào)如圖9所示。然后運(yùn)用小波包分析對(duì)染噪信號(hào)進(jìn)行去噪處理，實(shí)驗(yàn)中，小波包分解層數(shù)分別設(shè)置為2層、4層、5層、8層，得到去噪后信號(hào)波形如圖10所示。

圖9 bumps信號(hào)及加噪信號(hào)

圖10 不同分解層數(shù)的小波包去噪比較

從圖10可以發(fā)現(xiàn)，分解的層數(shù)越多，信號(hào)的去噪效果就越好，但是，超過4層分解之后，去噪效果改善并不明顯，而更高層的分解反而會(huì)增大計(jì)算量，因此，小波包分析去噪通常采用4層分解即可。

3.3.2 小波包與小波分析去噪比較

先產(chǎn)生quadchirp測試信號(hào)，然后將高斯白噪聲加入quadchirp，得到原始信號(hào)及加噪信號(hào)的波形如圖11所示。對(duì)加噪的quadchirp信號(hào)分別采用小波包和小波分析進(jìn)行去噪處理。

圖11 quadchirp信號(hào)及加噪信號(hào)

小波包去噪方法采用軟閾值去噪，4層分解；小波分析去噪，閾值選擇采用最優(yōu)預(yù)測變量閾值heursure，分別采用軟閾值和硬閾值2種方式，分解層數(shù)為4層。實(shí)驗(yàn)分別選用coif3、sym5、db4、haar 4種小波基作為小波分解的基函數(shù)。仿真結(jié)果如圖12所示。

圖12 小波包去噪與小波去噪比較

圖12為小波包去噪與小波分析軟閾值去噪以及小波硬閾值去噪比較。從圖12可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于quadchirp信號(hào)而言，小波包去噪的效果明顯好于小波去噪，因?yàn)樾〔òピ敫`活，對(duì)低頻部分和高頻部分同時(shí)進(jìn)行分解，局部分析能力更為精確。

表3為小波包去噪和小波去噪的結(jié)果數(shù)據(jù)，通過表3可以發(fā)現(xiàn)，小波包去噪相比較小波硬閾值去噪、小波軟閾值去噪具有更高的信噪比SNR和更低的最小均方誤差MSE，表明對(duì)于quadchirp信號(hào)而言，小波包去噪的效果要優(yōu)于小波分析去噪。

表3 小波包去噪和小波去噪的比較

heursurecoif3sym5db4haar 軟閾值MSE1.39811.64271.47958.5560 硬閾值MSE1.03871.07561.04287.5115 小波包MSE0.54090.56130.72221.7632 軟閾值SNR10.52139.821010.27542.6539 硬閾值SNR11.811911.660111.79483.2194 小波包SNR14.645714.484513.38989.5135 染噪信號(hào)SNR12.154512.154512.154512.1545

仿真實(shí)驗(yàn)中原始信號(hào)的獲取采用MATLAB中自帶的小波去噪測試信號(hào)：信號(hào)Bumps、Doppler和Quad-chirp等，信號(hào)Block、Bumps、Heavysine、Doppler以及Quad-chirp，這些信號(hào)基本已經(jīng)涵蓋了地震、圖像、光譜以及其他科學(xué)各領(lǐng)域中所涉及的信號(hào)特征[10]。

4 結(jié)束語

小波基、閾值、分解層數(shù)都影響著小波分析去噪的效果優(yōu)劣，因此，根據(jù)實(shí)際情況選擇適合小波基、分解層數(shù)、閾值可以提高去噪質(zhì)量。在對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)去噪方面，小波分析更適合。實(shí)際上，小波包去噪是一種更為精細(xì)的去噪方法，對(duì)于高頻部分也能夠細(xì)致地刻畫，使得去噪后的信號(hào)更接近原始信號(hào)。

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Research on Wavelet Denoising Based on MATLAB

ZHANG Jing, TAO Bin-bin

（School of Electrical and Information Engineering, Wanjiang University of Technology, Ma'anshan 243031, China）

Wavelet analysis denoising is a widely used signal denoising method at present. In order to study the denoising effect of wavelet analysis, this paper first introduces the basic theory of wavelet analysis, then introduces the principle of wavelet denoising, and finally carries out experimental simulation on the effect and influencing factors of wavelet denoising through MATLAB. The simulation results were analyzed by waveform, SNR and MSE.

wavelet denoising; wavelet basis; threshold; wavelet packet denoising; denoising effect

10.15916/j.issn1674-3261.2022.03.008

TP391

A

1674-3261(2022)03-0177-06

2021-03-17

張靜(1984-)，女，江蘇徐州人，副教授，碩士。

責(zé)任編輯：孫 林