考慮孔隙水微觀賦存形態(tài)的非飽和粉土有效應(yīng)力方程及其驗證

曾立峰 ，邵龍?zhí)?，牛 庚 ，郭曉霞

（1.工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室（大連理工大學(xué)）, 遼寧 大連 116024；2.大連理工大學(xué)工程力學(xué)系, 遼寧 大連 116024；3.青島理工大學(xué)理學(xué)院, 山東 青島 266033）

非飽和土的有效應(yīng)力方程是非飽和土力學(xué)的基本方程[1]。對于理論問題而言，非飽和土的有效應(yīng)力方程是研究非飽和土的強度[2-3]、變形[4]和水-力耦合[5]等問題的基礎(chǔ)；對于工程問題而言，基于非飽和土有效應(yīng)力方程的抗剪強度公式因形式簡單，物理意義清晰，已被廣泛地應(yīng)用于求解非飽和土的邊坡穩(wěn)定性[6]、地基承載力[7]和擋土墻土壓力[8]等工程問題。鑒于非飽和土有效應(yīng)力方程在理論和工程問題上的重要性，自20世紀50年代以來，大量的學(xué)者從不同的角度提出了眾多的非飽和土有效應(yīng)力方程。其中最具代表性的是Bishop方程[9]：

式中： σ '——非飽和土的有效應(yīng)力/kPa；

(σ-ua)——凈應(yīng)力/kPa；

(ua-uw)——基質(zhì)吸力/kPa；

χ——有效應(yīng)力參數(shù)，與飽和度有關(guān)，其值介于0～1之間。

后來，部分學(xué)者[10-11]認為有效應(yīng)力參數(shù)等于飽和度，在Mohr-Coulomb準則的框架下驗證了其對砂土和部分粉土的適用性。另有學(xué)者[3,12]認為有效應(yīng)力參數(shù)等于有效飽和度，采用同樣的方法驗證了其對砂土和絕大部分粉土的適用性。此外，還有學(xué)者[13-14]認為有效應(yīng)力參數(shù)等于其它形式的飽和度并且從強度的角度驗證了各自的有效性。以上研究極大地推動了非飽和土有效應(yīng)力方程的發(fā)展，然而它們未能較好地考慮孔隙水的微觀賦存形態(tài)對有效應(yīng)力的影響，這在一定程度上制約了有效應(yīng)力方程的適用性。

鑒于以上問題，本文將分析非飽和粉土中孔隙水的微觀賦存形態(tài)；在孔隙水微觀分析的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)非飽和粉土的有效應(yīng)力方程；從抗剪強度的角度驗證推導(dǎo)的有效應(yīng)力方程。

1 非飽和粉土中孔隙水的微觀賦存形態(tài)

一般來講，非飽和土是由礦物顆粒、水和空氣組成的三相系統(tǒng)。然而，由于三相之間存在著極其復(fù)雜的物理化學(xué)作用，導(dǎo)致非飽和土中礦物顆粒、水和空氣已不同于它們各自單獨存在時的狀態(tài)[15]。對于孔隙水而言，在一個非飽和粉土代表性體積單元（representative volume element）中，根據(jù)孔隙水的物理、化學(xué)和力學(xué)性質(zhì)可以將其分為收縮膜（contractile skin）、吸附水（adsorbed water）和毛細水（capillary water），如圖1所示。這3類形態(tài)的孔隙水反映了非飽和粉土中孔隙水的微觀賦存特性。

1.1 收縮膜

對于非飽和土而言，從力平衡的角度來講，水-氣交界面的具體形態(tài)與孔隙水壓強、孔隙氣壓強、水的表面張力及接觸角密切相關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)平衡后，水-氣交界面一般出現(xiàn)在顆粒接觸點附近。由于表面張力的存在，水-氣交界面會像張緊的彈性薄膜一樣將接觸點附近的顆粒聚攏在一起，從而增加非飽和土的強度和剛度[16-17]。為了形象地描述水-氣交界面的力學(xué)作用，常將其稱為收縮膜[18]，如圖1所示。收縮膜對非飽和土力學(xué)行為的影響主要取決于收縮膜的多少，而收縮膜的多少可以通過非飽和土中收縮膜的比表面積表征。當(dāng)土體由飽和狀態(tài)逐漸變?yōu)楹娓蔂顟B(tài)時，收縮膜的比表面積先增大到某一個峰值然后逐漸減小[19]。

圖1 非飽和粉土RVE中孔隙水的微觀賦存形態(tài)Fig.1 Microstructure of the pore water in an RVE of unsaturated silt

1.2 吸附水

當(dāng)?shù)V物顆粒與水接觸以后，它們之間會形成固-液交界面，其直觀的現(xiàn)象是顆粒被一定厚度的吸附水膜包裹。吸附水膜的形成主要源于交界面附近的短程物理化學(xué)作用，這種短程作用主要包括電場力作用和范德華力作用[20]。短程物理化學(xué)作用使得吸附水的勢能顯著降低、正壓強明顯提高。特別地，短程物理化學(xué)作用在黏性土中尤其顯著，從而導(dǎo)致黏土礦物表面被包裹著較厚的吸附水膜[15]。當(dāng)土體由飽和狀態(tài)逐漸變?yōu)楹娓蔂顟B(tài)時，礦物顆粒表面的吸附水分子會不斷地轉(zhuǎn)換為孔隙氣中的水分子和毛細水中的水分子，進而通過孔隙氣和毛細水排出土體。因此，吸附水膜的厚度會逐漸減小。當(dāng)土體處于飽和狀態(tài)時，吸附水膜的厚度達到最大值；當(dāng)土體接近烘干狀態(tài)時，吸附水膜的厚度達到最小值[21]。吸附水對非飽和土力學(xué)行為的影響在很大程度上取決于吸附水膜的厚度。

1.3 毛細水

當(dāng)烘干狀態(tài)的土體與水接觸以后，礦物顆粒表面首先會形成一定厚度的吸附水膜。隨著飽和度的增加，顆粒接觸點周圍會形成互不連通的彎月水，常被稱為懸索狀毛細水（pendular water）。當(dāng)飽和度進一步增加時，懸索狀毛細水會相互連通，形成纖維狀毛細水（funicular water），如圖1所示。毛細水的基質(zhì)勢或應(yīng)力狀態(tài)主要受水的表面張力、礦物顆粒與水之間的接觸角以及礦物顆粒圍成的孔隙的幾何特性（如孔隙的形狀、尺寸、分布及連通性等）控制，在微觀上，其可以由Young-Laplace方程表征。當(dāng)基質(zhì)吸力大于某一較大值時，毛細水會發(fā)生空化，從而使得毛細水逐漸減少直至消失。與吸附水的正壓強狀態(tài)不同的是，毛細水呈現(xiàn)出負壓強狀態(tài)，這種負壓強狀態(tài)有利于毛細水周圍的顆粒聚集，從而提高非飽和土的強度和剛度[22]。盡管從微觀上看，毛細水具有不同于常規(guī)液態(tài)水的屬性，但是從宏觀上看，毛細水仍然呈現(xiàn)出液態(tài)水的流動行為。

2 考慮孔隙水微觀賦存形態(tài)的有效應(yīng)力方程

2.1 非飽和粉土的擴展三相孔隙介質(zhì)模型

基于孔隙水微觀賦存形態(tài)的分析結(jié)果，可以得知：位于顆粒接觸點附近的收縮膜是一層張緊的彈性薄膜，所以其能夠承擔(dān)并傳遞荷載；位于顆粒表面的吸附水膜具有一系列不同于常規(guī)液態(tài)水的獨特性質(zhì)，例如高度規(guī)律排列的結(jié)構(gòu)[23]、更高的密度[24]、更大的黏度[25]以及更高的剪切模量[26]。正是由于這些獨特的物理力學(xué)性質(zhì)，吸附水膜表現(xiàn)出類似于固體物質(zhì)的行為，這意味著吸附水可以被視為一種能夠承擔(dān)并傳遞荷載的結(jié)構(gòu)。與此同時，非飽和土中還存在能夠承擔(dān)并傳遞荷載的核心結(jié)構(gòu)—礦物顆粒骨架。鑒于收縮膜、吸附水膜（其含量會隨飽和度或基質(zhì)吸力發(fā)生變化）和礦物顆粒骨架均能承擔(dān)并傳遞荷載，在此將三者組合成一個廣義相，稱為廣義土骨架相（generalized soil skeleton）。于是，廣義土骨架、毛細水和孔隙氣組成了非飽和土，在此情況下，非飽和粉土可用擴展的三相孔隙介質(zhì)模型描述，如圖2所示。

圖2 非飽和粉土的擴展三相孔隙介質(zhì)模型Fig.2 An extended three-phase porous medium model for unsaturated silt

基于擴展的三相孔隙介質(zhì)模型，在一個非飽和粉土RVE內(nèi)可以定義一組明確的體積—飽和度關(guān)系（圖3）。非飽和粉土RVE內(nèi)各單獨相的體積應(yīng)滿足以下關(guān)系：

圖3 非飽和粉土的擴展三相孔隙介質(zhì)模型的體積—飽和度關(guān)系Fig.3 Schematic diagram of the volume-saturation relations of an extended three-phase porous medium model for unsaturated silt

式中：Va——孔隙氣相的體積/m3；

Vcw——毛細水相的體積/m3；

Vgs——廣義土骨架相的體積/m3；

V——非飽和粉土RVE的總體積/m3。

非飽和粉土RVE中孔隙氣、毛細水和廣義土骨架的體積分數(shù)可以表示為：

式中：na——孔隙氣相的體積分數(shù)/%；

ncw—毛細水相的體積分數(shù)/%；

ngs—廣義土骨架相的體積分數(shù)/%。

聯(lián)立式（2）和式（3），可得：

在擴展的三相孔隙介質(zhì)模型下，非飽和粉土的有效孔隙體積是孔隙氣的體積與毛細水的體積之和：

非飽和粉土的有效孔隙的體積分數(shù)（或有效孔隙率）可以表示為：

在此情況下，飽和度的定義應(yīng)為毛細水的體積與有效孔隙體積之比：

2.2 有效應(yīng)力方程的推導(dǎo)

在擴展的三相孔隙介質(zhì)模型建立之后，可以在其基礎(chǔ)上采用分相平衡分析法[1]推導(dǎo)非飽和粉土的有效應(yīng)力方程。

選取一個非飽和土整體微元體并對其進行受力分析，見圖4（a）。在此整體微元體中分離出孔隙氣相、毛細水相和廣義土骨架相并分別分析各單獨相的受力情況，見圖4（b）—（d）。由于收縮膜已被視為廣義土骨架相的組成部分，所以孔隙氣相與毛細水相之間并不直接接觸，這就意味著孔隙氣相與毛細水相之間不存在相互作用力。

圖4 非飽和土整體及各分相的微元體的受力示意Fig.4 Illustration for the forces acting on the unsaturated soil, pore air, capillary water and generalized soil skeleton

非飽和土整體微元體的力平衡微分方程為：

式中： σx、 σz——作用在非飽和土整體微元體上的總正應(yīng)力/kPa；

τzxτxz、 ——作用在非飽和土整體微元體上的總剪應(yīng)力/kPa；

ρ——非飽和土的密度/（kg·m-3）；

g——重力加速度/（m·s-2）。

孔隙氣相微元體的力平衡微分方程為：

式中：ua——孔隙氣壓強/kPa；

——廣義土骨架相對孔隙氣相的作用力，其是一種體積力/（kN·m-3）；

ρa——孔隙氣的密度/（kg·m-3）。

毛細水相微元體的力平衡微分方程：

式中：uw——毛細水壓強/kPa；

ρw——毛細水的密度/（kg·m-3）。

廣義土骨架相微元體的力平衡微分方程：

分開考慮孔隙氣壓強和毛細水壓強作用下廣義土骨架相微元體的受力情況，結(jié)合式（3）—（7），可以計算得：

將孔隙氣相、毛細水相和廣義土骨架相微元體的平衡微分方程式（9）—（11）疊加并考慮到以下條件：

3 有效應(yīng)力方程的驗證

3.1 驗證思路

本次將從抗剪強度的角度驗證有效應(yīng)力式（13）。在Mohr-Coulomb準則框架下，基于有效應(yīng)力式（13），破壞面上的抗剪強度式可表示為：

式中： τf——破壞面上的抗剪強度/kPa；

c'——飽和土的有效內(nèi)黏聚力/kPa

φ'——飽和土的有效內(nèi)摩擦角/（°）。

有效應(yīng)力式（13）的驗證問題轉(zhuǎn)變?yōu)榭辜魪姸仁剑?4）的驗證問題。為了驗證式（14），首先需要確定計算毛細水有效飽和度的方法?？疾斓谋磉_式（7），改寫為如下形式：

式中：Vaw——吸附水的體積/m3；

Vv——孔隙的體積/m3，Vv=Va+Vcw+Vaw；

Scw——毛細水的飽和度；

Saw——吸附水的飽和度。

根據(jù)式（15）可知，當(dāng)毛細水和吸附水的飽和度隨基質(zhì)吸力的變化規(guī)律明確以后，隨基質(zhì)吸力的變化規(guī)律即可相應(yīng)地明確。為此，本文采用了Lu[21]建立的持水特征曲線（SWRC）模型。該模型不僅可以分別量化毛細水和吸附水的飽和度隨基質(zhì)吸力的變化規(guī)律，而且也可以考慮空化效應(yīng)（cavitation）對持水行為的影響，所以其在物理機制上更為合理。這意味著通過Lu[21]的SWRC模型計算的具有更高的精度，該模型的基本思想包括3 個方面：

①非飽和土的飽和度可分為毛細水的飽和度和吸附水的飽和度：

式中：S——非飽和土的飽和度；

ψ——基質(zhì)吸力/kPa。

②毛細水SWRC方程為：

式中： ψcav——平均空化基質(zhì)吸力/kPa；

α——進氣值的倒數(shù)/kPa-1；

n——與孔隙尺寸分布相關(guān)的參數(shù)；

erf( )——誤差函數(shù)。

③吸附水SWRC方程為：

式中：Saw0——基質(zhì)吸力為1 kPa時吸附水的飽和度，即吸附水飽和度的最大值；

ψd——烘干狀態(tài)對應(yīng)的基質(zhì)吸力，即基質(zhì)吸力的最大值，取為106kPa；

l——與吸附作用程度有關(guān)的參數(shù)。

考慮到砂土和一部分粉土試驗數(shù)據(jù)難以有效地評價不同抗剪強度公式的優(yōu)劣[27-28]，本文從現(xiàn)有文獻[29]中選取了一組重塑粉質(zhì)黏土（成分為20%的Speswhite高嶺土、10%的倫敦黏土和70%的HPF4 硅微粉）的試驗數(shù)據(jù)。該數(shù)據(jù)既包含一組廣吸力范圍內(nèi)的SWRC數(shù)據(jù)，也包含5種不同圍壓（0，50，100，200，400 kPa）下的抗剪強度數(shù)據(jù)，這為式（14）的驗證提供了較為全面和可靠的試驗數(shù)據(jù)。另外，為了全面地評價抗剪強度式（14）的有效性和合理性，在此也給出了其它2 種通用的抗剪強度公式[10,12]：

式中：Se——非飽和土的有效飽和度；

Sres——殘余飽和度。

飽和度S、Se和Sres的值均由VG模型確定。

3.2 驗證結(jié)果

圖5（a）顯示了VG模型和Lu[21]模型關(guān)于重塑粉質(zhì)黏土SWRC數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果。從圖中可以看出，2種模型對實測數(shù)據(jù)均具有較好的擬合結(jié)果，其中VG模型的擬合相關(guān)系數(shù)R2=0.990 5，Lu[21]模型的擬合相關(guān)系數(shù)R2=0.990 8。當(dāng)基質(zhì)吸力超過28 MPa時，VG模型預(yù)測的飽和度隨基質(zhì)吸力的增加基本保持不變，Lu[21]模型預(yù)測的飽和度隨基質(zhì)吸力的增加緩慢減小，直至基質(zhì)吸力達到最大值106kPa?，F(xiàn)有的實測數(shù)據(jù)[21,30]表明：在高吸力階段，隨著基質(zhì)吸力的增加，飽和度仍然會不斷減小。這就意味著Lu[21]模型更符合實際的物理過程。

圖5 兩種SWRC模型的擬合結(jié)果Fig.5 Fitting results of two SWRC models

圖5（b）顯示了Lu[21]模型分解為毛細水SWRC和吸附水SWRC的結(jié)果。從圖中可以看出，對于毛細水SWRC而言，隨著基質(zhì)吸力的增加毛細水飽和度先大致保持不變；當(dāng)基質(zhì)吸力達到800 kPa左右（即進氣值附近）時，毛細水開始從土體孔隙中迅速排出，毛細水飽和度相應(yīng)地迅速減??；當(dāng)基質(zhì)吸力達到4 900 kPa左右（即平均空化基質(zhì)吸力附近）時，毛細水會發(fā)生空化現(xiàn)象。隨著基質(zhì)吸力的進一步增加，空化現(xiàn)象會不斷地進行。當(dāng)基質(zhì)吸力達到10 MPa附近時，毛細水飽和度將趨近于0。然而，由于現(xiàn)有的SWRC模型[14,31]未能較好地考慮毛細水的空化現(xiàn)象，從而導(dǎo)致高吸力階段毛細水飽和度普遍被高估。對于吸附水SWRC而言，當(dāng)基質(zhì)吸力小于4 900 kPa時，吸附水飽和度隨基質(zhì)吸力的增加基本保持不變；當(dāng)基質(zhì)吸力大于4 900 kPa時，吸附水飽和度開始迅速減小。當(dāng)基質(zhì)吸力進一步增加至43 MPa時，吸附水飽和度開始緩慢減小，直至基質(zhì)吸力達到最大值106kPa。

圖6顯示了不同凈圍壓下重塑非飽和粉質(zhì)黏土的實測抗剪強度及3種抗剪強度公式，見式（14）（19）（20），的預(yù)測結(jié)果。從圖中可以看出，對于實測抗剪強度而言，在相同的凈圍壓下，重塑粉質(zhì)黏土的抗剪強度隨基質(zhì)吸力的變化規(guī)律大致可以分為4 個階段：①抗剪強度快速增加階段，此階段的基質(zhì)吸力范圍約為0～500 kPa（近似飽和階段）；②抗剪強度緩慢增加階段，此階段的基質(zhì)吸力范圍約為500～900 kPa；③抗剪強度的峰值階段，此階段的基質(zhì)吸力約為1 000 kPa；④抗剪強度下降階段，此階段的基質(zhì)吸力超過1 000 kPa。與此同時，在相同的基質(zhì)吸力下，重塑粉質(zhì)黏土的抗剪強度隨凈圍壓的增加而增加。對于重塑粉質(zhì)黏土的抗剪強度隨基質(zhì)吸力和凈圍壓的變化規(guī)律，現(xiàn)有的2 種抗剪強度公式，式（19）（20），未能很好地預(yù)測這種變化規(guī)律，但是本文提出的抗剪強度式（14）較好地預(yù)測了這種變化規(guī)律（圖6）。

圖6 不同凈圍壓下重塑非飽和粉質(zhì)黏土的3種抗剪強度公式的預(yù)測結(jié)果Fig.6 Predictions of three shear strength equations for a reconstituted unsaturated silty clay under different net confining pressures

與式（14）相比，式（19）（20）在基質(zhì)吸力超過500 kPa時嚴重地高估了重塑粉質(zhì)黏土的抗剪強度，其中式（19）的高估程度更甚。這主要是因為當(dāng)基質(zhì)吸力超過500 kPa時，有效應(yīng)力參數(shù)的大小會顯著地影響有效應(yīng)力和抗剪強度的大小。由于式（19）采用了飽和度S作為有效應(yīng)力參數(shù)，認為毛細水和吸附水均對有效應(yīng)力有貢獻，從而高估了抗剪強度的大小。盡管式（20）通過采用有效飽和度Se分離了部分吸附水，在一定程度上改進了式（19），但仍然高估了抗剪強度的大小。這主要是由于有效飽和度Se中引入的殘余飽和度Sres并不能描述吸附水飽和度隨基質(zhì)吸力的變化。與上述不同的是，式（14）采用了毛細水有效飽和度作為有效應(yīng)力參數(shù)，從而合理地區(qū)分了毛細水和吸附水對有效應(yīng)力的貢獻，然后借助Lu[21]SWRC模型量化了毛細水和吸附水飽和度隨基質(zhì)吸力的變化規(guī)律，最后較為準確地預(yù)測了重塑粉質(zhì)黏土的抗剪強度。

4 結(jié)論

（1）微觀分析表明，非飽和粉土中的孔隙水可分為收縮膜、吸附水和毛細水。由于收縮膜和吸附水具有類固體的性質(zhì)，它們可以與顆粒骨架組合在一起形成廣義土骨架。因此，非飽和粉土可以用擴展的三相孔隙介質(zhì)模型（即孔隙氣、毛細水和廣義土骨架）表征，其為非飽和粉土有效應(yīng)力方程的推導(dǎo)提供了物理基礎(chǔ)。

（2）通過采用毛細水有效飽和度，本文推導(dǎo)的非飽和土有效應(yīng)力方程較好地考慮了毛細水對有效應(yīng)力的影響。借助Lu模型，本文較為精確地確定了毛細水和吸附水飽和度隨基質(zhì)吸力的變化規(guī)律，這為準確計算有效應(yīng)力奠定了基礎(chǔ)。

（3）在不同的凈圍壓下，當(dāng)基質(zhì)吸力超過500 kPa時，現(xiàn)有的2種抗剪強度公式均嚴重地高估了重塑非飽和粉質(zhì)黏土的抗剪強度。但是，本文提出的抗剪強度公式較好地預(yù)測了不同凈圍壓下重塑非飽和粉質(zhì)黏土的抗剪強度隨基質(zhì)吸力的變化規(guī)律。囿于篇幅，本文僅從不同凈圍壓的角度進行了驗證。從不同土類的角度進行驗證將是下一步工作的重點。