考慮時(shí)尚努力投入的服裝零售商動(dòng)態(tài)定價(jià)及訂貨策略研究

史保莉，徐 琪，孫中苗

(東華大學(xué) 旭日工商管理學(xué)院，上海 200051)

新零售時(shí)代，時(shí)尚服裝網(wǎng)絡(luò)銷售勢頭強(qiáng)勁，消費(fèi)者對時(shí)尚服裝的個(gè)性化要求越來越高，市場需求的不確定性逐漸增強(qiáng)。時(shí)尚服裝具有季節(jié)性強(qiáng)、受產(chǎn)品時(shí)尚度影響大等特點(diǎn)，容易導(dǎo)致大量過時(shí)產(chǎn)品庫存積壓和資源浪費(fèi)。海瀾之家2018年上半年存貨賬面余額達(dá)90.26億元，著名的快時(shí)尚品牌H&M公司在2018年未售出產(chǎn)品總值達(dá)到40億美元[1]。零售商可以通過自身的時(shí)尚努力逐步提高產(chǎn)品的時(shí)尚度。例如，利用假人模特、平面廣告等方式提高產(chǎn)品的時(shí)尚度。然而零售商付出時(shí)尚努力需要投入一定的成本。因此，如何根據(jù)顧客需求對庫存的影響以及時(shí)尚度隨時(shí)間不斷衰減的特征，確定零售商的定價(jià)、時(shí)尚努力水平以及訂貨等決策，從而優(yōu)化庫存，提高企業(yè)收益具有重要意義。

服裝公司為了促進(jìn)需求，降低庫存水平紛紛采用動(dòng)態(tài)定價(jià)策略[2]。動(dòng)態(tài)定價(jià)也被廣泛地應(yīng)用于航空、酒店、易逝品、電子產(chǎn)品等行業(yè)[3]。Sato[4]利用動(dòng)態(tài)定價(jià)機(jī)制考慮價(jià)格趨勢，并針對企業(yè)應(yīng)用容量控制策略的情況構(gòu)建動(dòng)態(tài)定價(jià)模型。Lamas等[5]研究兩家公司制造和出售可替代產(chǎn)品時(shí)的聯(lián)合定價(jià)和生產(chǎn)計(jì)劃。林志炳等[6]采用最優(yōu)控制方法求解最優(yōu)價(jià)格和服務(wù)函數(shù)，分析時(shí)間衰變因子對最優(yōu)價(jià)格的影響。王文杰等[7]運(yùn)用最優(yōu)控制的變分法求解存在競爭的兩個(gè)眾包物流服務(wù)商的動(dòng)態(tài)價(jià)格。上述的動(dòng)態(tài)定價(jià)在時(shí)尚服裝行業(yè)的應(yīng)用研究較少，進(jìn)一步考慮服裝時(shí)尚度的屬性特性研究更少。因而，本文考慮時(shí)尚服裝的時(shí)尚度隨時(shí)間不斷衰減的特性，探討企業(yè)通過投入時(shí)尚努力提高產(chǎn)品時(shí)尚度的動(dòng)態(tài)定價(jià)決策問題。

目前關(guān)于時(shí)尚產(chǎn)業(yè)中庫存管理的研究主要分為3個(gè)研究方向。第1個(gè)研究方向是關(guān)于庫存計(jì)劃決策方面的研究。Bowers等[8]構(gòu)建基于服裝生產(chǎn)計(jì)劃和調(diào)度的動(dòng)態(tài)三層模型，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)能夠提高按時(shí)交貨率。Fisher等[9]以銷售損失、拖欠訂單和庫存成本最低為目標(biāo)確定補(bǔ)貨訂單數(shù)量和再次訂購時(shí)間。Tsao[10]構(gòu)建允許貿(mào)易信貸和部分積壓的時(shí)尚產(chǎn)品庫存控制分析模型。第2個(gè)研究方向是供應(yīng)鏈中風(fēng)險(xiǎn)或協(xié)調(diào)的研究。Donohue[11]發(fā)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)帕累托最優(yōu)條件是采用不同的生產(chǎn)策略。Ma等[12]構(gòu)建損失規(guī)避型零售商的兩階段庫存計(jì)劃模型。第3個(gè)研究方向是關(guān)于快速響應(yīng)(quick response,QR)策略的研究。Fisher等[13]提出基于需求概率分布來確定制造商生產(chǎn)數(shù)量的響應(yīng)性方法。Chen等[14]研究具有隨機(jī)性和價(jià)格敏感型需求的兩階段供應(yīng)鏈最優(yōu)化問題。Aviv等[15]考慮消費(fèi)者會(huì)因?yàn)樯碳液笃诘膬r(jià)格折扣推遲購買行為，研究零售商的最優(yōu)定價(jià)決策。

關(guān)于時(shí)尚產(chǎn)業(yè)中庫存管理的研究，較少明確地考慮定價(jià)和訂貨策略。進(jìn)一步，考慮時(shí)尚產(chǎn)品的屬性進(jìn)行定價(jià)和庫存決策的研究更少。因此，本文根據(jù)時(shí)尚服裝易受季節(jié)性、時(shí)尚度等影響的特點(diǎn)，建立依賴價(jià)格和時(shí)尚度的時(shí)變需求函數(shù)，構(gòu)建零售商通過投入時(shí)尚努力提高產(chǎn)品時(shí)尚度的動(dòng)態(tài)定價(jià)和訂貨策略模型，并運(yùn)用Pontryagin最大值方法分析服裝零售商應(yīng)如何動(dòng)態(tài)調(diào)整價(jià)格和時(shí)尚努力投入使自身收益最大化。

1 模型描述與構(gòu)建

1.1 問題描述

考慮單一的零售商銷售單一的時(shí)尚服裝產(chǎn)品，消費(fèi)者均為價(jià)格和時(shí)尚度敏感型。零售商有I0單位的初始庫存的時(shí)尚服裝，單位產(chǎn)品訂購成本為c，零售商的銷售周期為T。本文采用與文獻(xiàn)[16]類似的需求函數(shù)形式，構(gòu)建需求函數(shù)為D(p(t),ω(t))=γω(t)(α?βp(t))。相關(guān)符號(hào)描述如表1所示。

由于服裝零售商的庫存水平僅隨著需求的增大而逐漸減少[16]，則時(shí)尚服裝庫存的減少率為=?D(p(t),ω(t))，I(T)=0表示銷售期末庫存水平為零。隨著產(chǎn)品逐漸普及，產(chǎn)品時(shí)尚度逐漸降低甚至出現(xiàn)“過時(shí)”現(xiàn)象。服裝零售企業(yè)時(shí)尚努力水平的高低影響著產(chǎn)品的時(shí)尚度，則零售商投入時(shí)尚努力時(shí)，服裝產(chǎn)品的時(shí)尚度隨時(shí)間的變化率為=?ρω(t)+u(t)，ω(0)=ω0。

1.2 目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)以上問題描述，在單個(gè)銷售周期內(nèi)，服裝零售商的期望收益函數(shù)為

2 模型求解與分析

2.1 零售商投入時(shí)尚努力的情形

使用Pontryagin 極大值原理，對上述利潤目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解分析。由于式(1)利潤函數(shù)難以得到解析解，為此，引入拉格朗日乘子 λ1和 λ2(也稱影子價(jià)格)，對零售商投入時(shí)尚努力時(shí)的最優(yōu)控制問題構(gòu)建漢密爾頓函數(shù)并進(jìn)行求解。

由于以上最優(yōu)控制問題中的服裝的初始庫存水平I(t)和季末時(shí)尚度水平 ω(t)是自由狀態(tài)，因此，根據(jù)橫截條件，則共態(tài)變量為 λ1?(t)=ht。即影子價(jià)格λ1*(t)是時(shí)間的增函數(shù)，且斜率為h。由于影子價(jià)格λ1*(t)表示庫存約束條件對目標(biāo)函數(shù)的影響，因而，隨著時(shí)間的推移，庫存變化率對服裝零售商期望收益的影響逐漸增大。

根據(jù)漢密爾頓函數(shù)關(guān)于時(shí)尚努力水平和銷售價(jià)格的最優(yōu)性條件，可知?H/?u=?ku(t)+λ2(t)=0和?H/?p=αγω(t)?2γω(t)βp(t)+βγω(t)λ1(t)=0。

定理1服裝零售商投入時(shí)尚努力時(shí)的最優(yōu)零售價(jià)格為p*(t)=(α+htβ)/2β。

證明由上述整理得γω(t)[α?2βp(t)+λ1(t)β]=0，則α?2βp(t)+λ1(t)β=0，因此，可得服裝零售商的最優(yōu)零售價(jià)格p*(t)，證畢。

由定理1可知，服裝零售商的最優(yōu)零售價(jià)格隨時(shí)間單調(diào)遞增，且斜率為h/2。這說明在銷售期初較低的價(jià)格可以刺激需求。服裝零售商的最優(yōu)零售價(jià)格僅與市場初始規(guī)模、單位庫存持有成本、時(shí)間和價(jià)格敏感系數(shù)有關(guān)，且隨著市場初始規(guī)模、單位庫存持有成本的增大而增大，隨著價(jià)格敏感系數(shù)的增大而減小。

推論1影子價(jià)格，即共態(tài)變量λ2(t)≥0恒成立，且隨著時(shí)間t的增大而減小。

證明利用反證法，設(shè)t∈[0,T]時(shí)，λ2(t)＜0。整理得=ρλ2?γ(α?βλ1)2/4β≤0，即 λ2隨著時(shí)間t的增大而減小，這與λ2(T)=0 相矛盾，故共態(tài)變量λ2(t)≥0恒成立。證畢。

影子價(jià)格λ2*(t)表示時(shí)尚度約束條件對目標(biāo)函數(shù)的影響。由推論1可知，λ2(t)隨著時(shí)間t的增大而減小，因而隨著時(shí)間的推移，時(shí)尚度衰減變化率對服裝零售商期望收益的影響逐漸減小。所以，服裝零售商在銷售期初通過投入時(shí)尚努力能夠獲得顯著效果，而在銷售后期投入時(shí)尚努力來提高收益的效果不佳。

定理2由u?(t)=，則服裝零售商投入的最優(yōu)時(shí)尚努力水平為

由定理2可知，服裝零售商的最優(yōu)時(shí)尚努力水平與投入成本系數(shù)成反比，即當(dāng)服裝零售商的時(shí)尚努力水平投入成本系數(shù)較高時(shí)，服裝零售商應(yīng)投入較少的時(shí)尚努力；相反，當(dāng)投入成本系數(shù)較低時(shí)，服裝零售商應(yīng)投入較多的時(shí)尚努力。

推論21)u?(t)≥0恒成立，且隨著時(shí)間t的增大而減小。

2) 最優(yōu)時(shí)尚努力水平u?(t)關(guān)于價(jià)格敏感系數(shù)β和市場初始規(guī)模 α是凸函數(shù)，且隨著銷售周期的T的增大而增大。

由推論2可知，服裝零售商在銷售期初投入較高的時(shí)尚努力水平能夠有效提高產(chǎn)品的時(shí)尚度，進(jìn)一步刺激市場需求，且當(dāng)銷售周期越長，投入更高的時(shí)尚努力越能夠有效減緩時(shí)尚度衰減。

推論3服裝零售商通過投入時(shí)尚努力達(dá)到的時(shí)尚度 ω*(t)為

其中，C2=ω0?A1(2?eρT)/2ρk+B1/k(1/ρ2+Te?ρT/2ρ)?h2βγ/4ρk(T2e?ρT/2ρ?2/ρ3)。

推論4時(shí)尚度影響下服裝零售商的最優(yōu)庫存水平I?(t)為

當(dāng)時(shí)尚努力投入越多，產(chǎn)品的時(shí)尚度越高，產(chǎn)品市場需求也越多。推論4說明，服裝零售商在投入時(shí)尚努力較多時(shí)，應(yīng)訂購更多的產(chǎn)品來滿足市場需求。

2.2 零售商不投入時(shí)尚努力的情形

同理，利用Pontryagin極大值原理對零售商不投入時(shí)尚努力時(shí)的最優(yōu)控制問題進(jìn)行求解。采用和2.1同樣的方法，此處省略具體的推導(dǎo)過程，得到相應(yīng)的最優(yōu)解為

由式(7)可知，零售商不投入時(shí)尚努力與投入時(shí)尚努力時(shí)的價(jià)格變化軌跡相同，且隨著市場初始規(guī)模、單位庫存持有成本的增大而增大，隨著價(jià)格敏感系數(shù)的增大而減小。

推論5零售商不投入時(shí)尚努力時(shí)，服裝零售商的最優(yōu)時(shí)尚度為=ω0e?ρt。

推論6零售商不投入時(shí)尚努力時(shí)，服裝零售商的最優(yōu)庫存水平為=(γω0α?hβγω0t)(e?ρt?e?ρT)/2ρ?hβγω0(e?ρt?e?ρT)/2ρ2。同理，可得零售商不投入時(shí)尚努力時(shí)，服裝零售商的最優(yōu)訂貨數(shù)量為

3 數(shù)值分析

為了進(jìn)一步探討服裝零售商投入時(shí)尚努力對自身收益的有效性，接下來將采用數(shù)值計(jì)算分別對服裝零售商投入時(shí)尚努力與不投入時(shí)尚努力(u(t)=0)的最優(yōu)策略進(jìn)行對比分析。且探討一些關(guān)鍵因子對零售商期望收益和最優(yōu)訂貨數(shù)量的影響。為了書寫及敘述方便，下標(biāo)1和2分別代表零售商投入時(shí)尚努力的情況和不投入時(shí)尚努力的情況。相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下。α=80，β=4，γ=0.5，ρ=0.4，k=2，h=0.2，ω0=5，c=4，T=2，K=50。

零售商最優(yōu)時(shí)尚投入努力水平u?(t)變化軌跡如圖1所示。零售商在銷售期初應(yīng)投入較高的時(shí)尚努力，且時(shí)尚努力水平隨時(shí)間不斷減少，在銷售期結(jié)束時(shí)將不再投入時(shí)尚努力。相對于時(shí)尚衰減率較低時(shí)的情況，如果產(chǎn)品的時(shí)尚衰減率越高，則需要投入較高的時(shí)尚努力成本才能彌補(bǔ)時(shí)尚度衰減的損失，而投入過多的時(shí)尚努力成本會(huì)對零售商的收益造成不利影響。

圖1 零售商最優(yōu)時(shí)尚努力水平u?(t)變化軌跡Figure 1 The change trajectory of retailers' optimal fashion effort levelu?(t)

從圖2可以看出，在銷售期初期和中期，零售商通過投入時(shí)尚努力可以顯著提高服裝產(chǎn)品的時(shí)尚度，進(jìn)而刺激需求；銷售后期，零售商的時(shí)尚努力無法彌補(bǔ)服裝產(chǎn)品時(shí)尚度的衰減。

圖2 時(shí)尚度變化軌跡Figure 2 The change trajectory of fashion degree

為了進(jìn)一步說明關(guān)鍵因子對服裝零售商最優(yōu)收益及訂貨量的影響，通過數(shù)值計(jì)算，結(jié)果如表2所示。

表2 關(guān)鍵因子靈敏度分析Table 2 Sensitivity analysis of key factors

由表2可知，時(shí)尚度衰減率、時(shí)尚努力水平投入成本系數(shù)、價(jià)格敏感系數(shù)越高，服裝零售商的收益越少，訂貨量越少。零售商投入時(shí)尚努力時(shí)的收益和訂貨量總是大于不投入時(shí)尚努力時(shí)的收益和訂貨量。這說明，零售商投入時(shí)尚努力后，服裝產(chǎn)品時(shí)尚度衰減變慢，對需求帶來正效應(yīng)，零售商需訂購更多產(chǎn)品來滿足市場需求。但當(dāng)時(shí)尚努力水平投入成本系數(shù)k較大時(shí)，零售商投入時(shí)尚努力時(shí)的收益逐漸趨于未投入時(shí)尚努力時(shí)的收益。

時(shí)尚度敏感系數(shù)或初始時(shí)尚度 ω0越高，服裝零售商的收益和訂貨量越高。這是由于時(shí)尚度敏感系數(shù)越大，時(shí)尚服裝相對普通服裝越受消費(fèi)者歡迎，顧客對產(chǎn)品的需求增多，使得服裝零售商訂購更多產(chǎn)品來滿足需求，從而帶來更多的收益。

4 結(jié)論

本文構(gòu)建了市場需求同時(shí)依賴于價(jià)格和時(shí)尚度的時(shí)變效應(yīng)函數(shù)，考慮庫存隨需求不斷減少、時(shí)尚服裝的時(shí)尚水平隨時(shí)間不斷衰減的兩種變化狀態(tài)，運(yùn)用最優(yōu)控制論構(gòu)建零售商的收益最大化動(dòng)態(tài)模型，探討零售商是否應(yīng)該通過投入時(shí)尚努力來提高產(chǎn)品的時(shí)尚度，探討服裝零售商應(yīng)如何動(dòng)態(tài)調(diào)整投入時(shí)尚努力，制定價(jià)格策略和訂貨策略使自身收益最大化。

研究結(jié)果表明：1) 銷售期初，零售商應(yīng)設(shè)置較低的零售價(jià)格刺激需求。隨著品牌知名度的提升，服裝零售商價(jià)格變化軌跡隨時(shí)間單調(diào)遞增。2) 服裝零售商的最優(yōu)時(shí)尚努力水平隨著時(shí)間的增大而減小。且時(shí)尚度衰減率較高時(shí)，零售商需要投入更多的時(shí)尚努力才能彌補(bǔ)時(shí)尚度衰減損失。3) 當(dāng)消費(fèi)者對產(chǎn)品價(jià)格的敏感程度較高時(shí)，零售商不應(yīng)投入時(shí)尚努力；反之，零售商通過投入時(shí)尚努力能獲得更高的收益。4) 零售商通過投入時(shí)尚努力，能夠提高產(chǎn)品的時(shí)尚度，進(jìn)而刺激產(chǎn)品的市場需求，此時(shí)，零售商應(yīng)訂貨較多的產(chǎn)品數(shù)量。

本文僅僅考慮一個(gè)服裝零售商，未來可以探討存在兩個(gè)或多個(gè)零售商，且零售商之間存在競爭時(shí)，零售商應(yīng)如何決策的問題。