尋“ 路”探“ 徑”,讓思維向深處漫溯

楊鴻

“雞兔同籠”問題是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)第九單元“數(shù)學(xué)廣角”中的內(nèi)容，《孫子算經(jīng)》中最早記錄這個(gè)趣題，在我國民間廣泛流傳。教材的編寫意圖是通過對(duì)該問題的學(xué)習(xí)既讓學(xué)生感受我國數(shù)學(xué)文化的源遠(yuǎn)流長，又使學(xué)生在經(jīng)歷解決問題的過程中學(xué)會(huì)解決問題的策略。在教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)有很多學(xué)生難以理解該問題的解決策略：教材中呈現(xiàn)的列表法思路比較簡單，但是有局限性;假設(shè)法容易運(yùn)算，但要求學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯推理能力。大多數(shù)學(xué)生只會(huì)生搬硬套，于是會(huì)出現(xiàn)遇到題目變式便無從下手的困境。因而需要教師幫助學(xué)生找到解決問題、突破難點(diǎn)的路徑。

一 、以尊重認(rèn)知為落腳點(diǎn)，降低學(xué)習(xí)難度

數(shù)學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知水平和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，“數(shù)學(xué)廣角”的學(xué)習(xí)價(jià)值不僅僅是停留于得到一個(gè)答案和結(jié)果，更多的應(yīng)體現(xiàn)在教給學(xué)生解決新問題的方法和策略，因而教師要找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)展開教學(xué)。

此類問題人教版教材中呈現(xiàn)的是運(yùn)用列表法解決，由此可見列表的價(jià)值。列表法雖然費(fèi)時(shí)間、效率低，但卻是研究數(shù)學(xué)常用且本源的方法，是一種重要的數(shù)學(xué)方法。筆者對(duì)本校四年級(jí)130個(gè)學(xué)生展開學(xué)前調(diào)研，在沒有提前預(yù)習(xí)和提供參考的情況下，發(fā)現(xiàn)至少有的學(xué)生對(duì)該題列式無從入手，因而回歸到學(xué)習(xí)最原始的狀態(tài)是很有必要的。教師通過讓學(xué)生用猜一猜、試一試、算一算的方法從未知開始，嘗試在解決問題的過程中逐步探索、積累感悟、獲得經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而對(duì)方法進(jìn)行優(yōu)化和提升。教學(xué)中教師出示教材中的空表格，引入問題，啟發(fā)學(xué)生思考：“你從幾只開始猜，猜幾次猜到結(jié)果？請(qǐng)把幾次猜得的數(shù)據(jù)填在表格中?！睂W(xué)生有逐一列表的、有取中列表的、也有跳躍列表的。教師可以給予每種列表法的學(xué)生展示其表格和充分發(fā)表想法的機(jī)會(huì)。列表法直觀易懂，降低了學(xué)習(xí)難度，增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)逐一調(diào)整變化，從而得出答案的過程。教師在教學(xué)中，瞄準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，在簡單易懂的列表法教學(xué)中給予學(xué)生充足的思考時(shí)間和空間，由于有了時(shí)間與空間的保障，學(xué)生有序思考、比較分析、歸納概括等能力都得到充分發(fā)展。

二、以核心問題為落腳點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)

有效的數(shù)學(xué)問題是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)關(guān)注度和積極性的關(guān)鍵要素，是推進(jìn)學(xué)習(xí)活動(dòng)的重要抓手。優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)問題能夠指引學(xué)習(xí)方向、激發(fā)學(xué)生探究欲望，也是促進(jìn)學(xué)生高階思維發(fā)展的重要載體。

為了讓學(xué)生深刻理解“假設(shè)法”的本質(zhì)，在深度學(xué)習(xí)中獲取知識(shí)，更重要的是拉長學(xué)生學(xué)習(xí)假設(shè)法的體驗(yàn)過程，因?yàn)槌浞值奶骄靠梢詾榧僭O(shè)法作更深厚的鋪墊。教師引入“假設(shè)全是雞”或“假設(shè)全是兔”的這種“逼近”和“假設(shè)”的數(shù)學(xué)思想方法在列表法中已有滲透，但如何溝通列表法和假設(shè)法的聯(lián)系，是學(xué)生介入假設(shè)法并理解假設(shè)法的關(guān)鍵。于是筆者瞄準(zhǔn)“8只雞0只兔”的特例來設(shè)計(jì)問題引出假設(shè)法，通過提出核心問題：“如果猜測(cè)8只都是雞，你能根據(jù)腳數(shù)的變化推算出雞兔正確的只數(shù)嗎？”引發(fā)學(xué)生深度思考。教師可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過前期猜測(cè)調(diào)整的經(jīng)驗(yàn)，在列表法中發(fā)現(xiàn)雞兔只數(shù)變化導(dǎo)致腳數(shù)變化的規(guī)律，即雞兔的總只數(shù)不變，雞每增加1只，則兔減少1只，腳的總數(shù)減少2只;兔每增加1只，則雞減少1只，腳的總數(shù)增加2只。進(jìn)而學(xué)生利用教師提出的假設(shè)整合出解決問題能夠運(yùn)用到的條件“如果籠子里8只全是雞，總腳數(shù)是8×2=16只，而題目的條件有總腳數(shù)是26只腳，則多出26-16=10只腳”，接著根據(jù)腳數(shù)差推算出雞兔正確只數(shù)，即兔有10÷2=5（只），雞有8-5=3（只）。接著教師通過課件播放生動(dòng)的“雞兔表演”視頻，借助數(shù)形結(jié)合讓學(xué)生理解得更加深刻，逐步完善對(duì)假設(shè)法的深度體驗(yàn)。此環(huán)節(jié)的教學(xué)，有了核心問題的驅(qū)動(dòng)，假設(shè)法的體驗(yàn)過程被拉長了，給予沒有接觸過“雞兔同籠”問題或理解能力薄弱的學(xué)生一個(gè)體驗(yàn)感悟的機(jī)會(huì)，給予似懂非懂的學(xué)生一個(gè)深刻理解知識(shí)點(diǎn)的機(jī)會(huì)，從而避免了部分學(xué)生套用公式，讓他們?cè)谏疃葘W(xué)習(xí)中探索知識(shí)，從本質(zhì)上真正理解假設(shè)法的內(nèi)涵。

三、以溝通融合為落腳點(diǎn)，促進(jìn)聯(lián)結(jié)提升

教師要注重引導(dǎo)學(xué)生在感性認(rèn)知的基礎(chǔ)上，及時(shí)溝通知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，厘清知識(shí)間的關(guān)系，將具有相同屬性的知識(shí)抽取概括，培養(yǎng)思維的概括性和融通性。

筆者在教學(xué)中進(jìn)行了三次的溝通融合活動(dòng)，第一次是在列表法的“一一列舉”和“取中列舉”教學(xué)中，教師先引導(dǎo)學(xué)生通過比較發(fā)現(xiàn)：“一一列舉”法有序，“取中列舉”法快速，共同點(diǎn)是都先假設(shè)一個(gè)答案，再進(jìn)行驗(yàn)證調(diào)整，最后總能得到正確的答案，從而學(xué)會(huì)調(diào)整的策略。第二次溝通是當(dāng)學(xué)生學(xué)會(huì)了兩種假設(shè)法求解后，教師引導(dǎo)思考：為什么假設(shè)全是雞先求兔，假設(shè)全是兔先求雞？學(xué)生在充分的思考、討論中明確：假設(shè)全是雞，要把部分雞換成兔，所以先求兔;假設(shè)全是兔，要把部分兔換成雞，所以先求雞。這樣學(xué)生在討論、辨析、反芻過程中，經(jīng)歷了從懵懂到豁然，從模糊到清晰的過程，從而發(fā)現(xiàn)知識(shí)深層次的原理。第三次是比較“列表法與假設(shè)法”之間的相同點(diǎn)，教師組織學(xué)生通過思考和交流，在思維碰撞中發(fā)現(xiàn)假設(shè)法與列表法本質(zhì)是相同的，假設(shè)法只不過是舉特殊的例子，而列表法則是從最簡單的情況開始列舉，其本質(zhì)是一樣的，都是假設(shè)、驗(yàn)證、調(diào)整的過程，直指“雞兔同籠”問題本質(zhì)，讓學(xué)生頓悟，深刻感受到了知識(shí)的來龍去脈，從而提升了思維能力。

四、以精選習(xí)題為落腳點(diǎn)，經(jīng)歷建模過程

教師要善于設(shè)計(jì)能抓住知識(shí)本質(zhì)和難點(diǎn)的習(xí)題，實(shí)現(xiàn)從一道題走向一類題的建構(gòu)，經(jīng)歷建模過程，形成問題模型，拓寬學(xué)生思維，促使所有的學(xué)生都能得到發(fā)展。

例如，在模型的應(yīng)用推廣環(huán)節(jié)，教師故意設(shè)問：“籠子里關(guān)的一定是雞和兔嗎？一定是四只腳和兩只腳的動(dòng)物嗎？在課本第105頁的練習(xí)題1中是龜、鶴站在一起，你們也會(huì)解決嗎？”讓學(xué)生安靜思考后嘗試運(yùn)用學(xué)到的策略解決生活中的類似問題。教師利用課本中的“龜鶴問題”，讓學(xué)生在其他情境中識(shí)別出“雞兔”，聯(lián)結(jié)“雞兔”和“龜鶴”的關(guān)系，溝通它們的相同點(diǎn)，為建立“雞兔同籠”問題模型作鋪墊。另外設(shè)計(jì)“停車問題”：“停車場有自行車和三輪車共10輛，總共26個(gè)輪子，自行車和三輪車各多少輛？”由于在“雞兔”情境中，雞、兔腿數(shù)的相差數(shù)“2”與雞的腿數(shù)“2”的數(shù)字相同，容易產(chǎn)生混亂，于是通過“停車問題”來突破學(xué)習(xí)瓶頸。這道題通過相差數(shù)“1”，讓學(xué)生運(yùn)用相同的方法解決問題。從一道題走向一類題，初步建立這一類問題的模型，從而在應(yīng)用模型中拓展了“雞兔同籠”概念的外延，同時(shí)也培養(yǎng)了類推遷移能力。既深化了認(rèn)知，又養(yǎng)成善于思考的良好思維品質(zhì)，凸顯了本節(jié)課的學(xué)習(xí)價(jià)值。

（作者單位：福建省平潭麒麟小學(xué)）