“直線的傾斜角與斜率”教學(xué)設(shè)計

彭生才

直線的傾斜角與斜率是高中平面解析幾何的起始概念，傾斜角與點的坐標以斜率為橋梁建立了聯(lián)系，為以后推導(dǎo)直線方程和用代數(shù)方法解決與直線有關(guān)的幾何問題奠定了基礎(chǔ)。直線的傾斜角與斜率分別從幾何位置關(guān)系和代數(shù)結(jié)構(gòu)的角度描述了直線的傾斜程度，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，滲透了解析幾何的基本思想和基本研究方法。此外，斜率不僅僅是平面解析幾何的重要概念，也為以后理解函數(shù)的平均變化率與導(dǎo)數(shù)的幾何意義提供了支持。

教學(xué)目標：1.創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生理解直線的傾斜角和斜率的概念，初步掌握經(jīng)過兩點的直線的斜率公式，理解傾斜角與斜率的對應(yīng)關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生運用斜率的定義與公式解決一些簡單的問題;2.通過斜率概念的建立和公式的推導(dǎo)，讓學(xué)生體驗解析幾何的一般研究方法，體會數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度;3.通過概念的建立、公式的推導(dǎo)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

教學(xué)過程：

環(huán)節(jié)一：設(shè)置情境，感知直線方向，提升直觀想象素養(yǎng)

將兩組直線放在同一個平面直角坐標系中，一組直線為平行線（不與坐標軸平行，直線向右傾斜），另一組直線為交于同一點的相交直線。教師提問：平行的這組直線有什么共同特征？相交的這組直線有什么不同？通過這兩個問題，使學(xué)生認識到直線的傾斜程度是直線的一個非常重要的幾何特征，受平面幾何定理“同位角相等，兩直線平行”的影響，學(xué)生會想到用直線與x軸相交所成的角來描述直線的傾斜程度。

環(huán)節(jié)二：引入傾斜角刻畫直線方向，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

1.直線的方向是直線的重要特征，幾何上我們經(jīng)常用角度刻畫方向，那么在直角坐標系下，我們是否也可以引入角度來刻畫直線的傾斜程度呢？如果這樣的角度存在，我們不妨將其稱為直線的傾斜角，如何準確定義直線的傾斜角呢？

教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上引導(dǎo)其將概念嚴謹化。如果有學(xué)生提出“一條直線與x軸相交所成的銳角叫這條直線的傾斜角”，教師可追問這個定義是否合適，是否有不嚴謹?shù)牡胤健Ｍㄟ^舉例的方式，體會定義進一步嚴謹化的意義。

2.怎樣定義傾斜角才能保證方向相同的直線有相同的傾斜角，方向不同的直線有不同的傾斜角呢？

學(xué)生可以通過逆時針旋轉(zhuǎn)x軸與直線l重合所轉(zhuǎn)過的角度來定義傾斜角，也可以通過x軸正向與直線l（直線l與x軸平行或重合除外）向上的方向之間所成的角來定義傾斜角。為了保證直線的方向 與傾斜角之間形成一一對應(yīng)的關(guān)系，當(dāng)直l線與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0。因此，直線傾斜角的范圍是[0，π）。

環(huán)節(jié)三：引入斜率完成代數(shù)表示，進一步提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

1.我們知道，兩點確定一條直線，那么能否用直線l上兩點P1（x1，y1）和P2（x2，y2）的坐標來刻畫直線的方向呢？直線l的傾斜角α與直線l上的兩點P1（x1，y1）和 P2（x2，y2）又有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧初中學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)，進一步回顧在高一時學(xué)習(xí)的不同增長類型的函數(shù)模型，知道一次函數(shù)y=kx+b（k>0）屬于勻速增長模型。當(dāng)傾斜角為銳角時，直線的傾斜程度可以用函數(shù)的增長速度來描述，增長速度越大，直線越陡峭，傾斜角越大。而且知道一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b（k>0）中的參數(shù)k的大小可以決定直線的不同方向。與此同時，教師引導(dǎo)學(xué)生類比勻速直線運動中質(zhì)點的速度，把自變量x看成時間，把函數(shù)值y看成位移，對于一次函數(shù)y=kx+b（k>0），任取兩個“時間點”x1，x2，對應(yīng)的“位移”分別為y1，y2，這樣，就表示一次函數(shù)的增長速度了，計算得。

2.一次函數(shù)的增長速度k與直線的傾斜角是什么關(guān)系呢？當(dāng)直線的傾斜角α為銳角時，學(xué)生通過作圖不難發(fā)現(xiàn)，k==tanα。當(dāng)α為鈍角時，這個等式還成立嗎？請學(xué)生自行證明。至此就完成了傾斜角的坐標表示。在解析幾何中，稱k為斜率。傾斜角是刻畫直線方向的幾何量，而斜率是刻畫直線方向的代數(shù)量。

3.請學(xué)生畫出k=tanα的圖象，并敘述斜率隨著傾斜角的變化而變化的過程：隨著傾斜角α的增大，斜率先從0遞增到+∞，再從-∞遞增趨近于0。

環(huán)節(jié)四：鞏固概念，提升數(shù)學(xué)運算和幾何直觀素養(yǎng)

1.已知A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），

（1）求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角。

（2）若點D為△ABC的邊AB上一動點，求直線CD斜率k的變化范圍。

通過（1）鞏固斜率的坐標公式及斜率與傾斜角之間的對應(yīng)關(guān)系，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，通過（2）滲透數(shù)形結(jié)合的思想，提升運算和直觀想象素養(yǎng)。

環(huán)節(jié)五：小結(jié)作業(yè)，提升幾何直觀和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的知識、方法、難點等，重點是觀念上的提升。比如，確定一條直線的位置需要哪些幾何要素;從函數(shù)圖象與性質(zhì)的角度理解傾斜角與斜率的關(guān)系;通過斜率公式體會幾何對象與代數(shù)結(jié)構(gòu)的對應(yīng)。課后作業(yè)除了選擇教材中的練習(xí)和習(xí)題之外，建議學(xué)生寫一寫本節(jié)課自己感受最深的地方，總結(jié)活動經(jīng)驗。

吳鵬老師點評

直線的傾斜角和斜率是解析幾何中的基本概念，分別從“形”和“數(shù)”的角度刻畫了直線的“方向”，其中，斜率的引入是學(xué)生首次將幾何要素代數(shù)化的具體例子，具有重要作用。本教學(xué)設(shè)計突出了數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在邏輯和發(fā)展脈絡(luò)，即先確定直線的幾何要素，再分別用幾何方法和代數(shù)方法刻畫幾何要素，遵循了先定性后定量、先幾何度量后代數(shù)量化的探究過程，也突出了坐標法的本質(zhì)特征。本案例突出素養(yǎng)導(dǎo)向，先是在“傾斜角”的概念教學(xué)上，突出幾何直觀素養(yǎng)的同時關(guān)注學(xué)生思維的嚴謹性，而在“斜率”概念的教學(xué)上，與學(xué)生原有的知識建立聯(lián)系，通過與“變化率”的類比使得斜率概念的引入水到渠成，有效提升了學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

編輯 _ 于萍