Laplace變換在第一類高振蕩 Volterra方程求解中的應(yīng)用

嚴睿琪，李 斌，王 佩，陳松良

(貴州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，貴州 貴陽 550018)

0 引言

卷積形式的積分方程在物理和工程等領(lǐng)域有許多的應(yīng)用，如在散射問題中合成積分方程是卷積型的[1]。在物理學(xué)、工程學(xué)等眾多領(lǐng)域的積分方程中常含有雙曲函數(shù)[2]。在這篇文章里，我們主要研究帶貝塞爾高振蕩核函數(shù)和雙曲函數(shù)的第一類Volterra積分方程

(1.1)

的解，這里f(x)為光滑的函數(shù)，f(0)=0，y(x)為未知函數(shù)，Jv(wx)為第一類貝塞爾函數(shù)，v>-1，w，r為振動參數(shù)。

最近關(guān)于Volterra積分方程的求解問題的文獻較多[3-4]，但對于方程(1.1)而言，最顯著的特點就是含有高振蕩性，當(dāng)w，r?1時，核函數(shù)將變得高振蕩，標準的配置方法和不連續(xù)的Galerkin方法無法有效的計算，因為與空間網(wǎng)格相關(guān)的長度尺度過小，導(dǎo)致得到的是一個大規(guī)模的病態(tài)線性系統(tǒng)[5]。而Laplace變換法是計算第一類Volterra積分方程的有效方法，特別是對卷積形式的積分方程有效。2007年，Rahman[6]比較系統(tǒng)的介紹了通過Laplace變換計算各類Volterra積分方程的方法；2014年，向[3]使用Laplace變換和Laplace逆變換來求解帶高振蕩貝塞爾核函數(shù)的沃爾特拉積分方程

(1.2)

這里w?1，v為非負整數(shù)，f(x)為光滑的函數(shù)。大多數(shù)情況下，這類方程的解不能以封閉形式解析求解，只能寫成高振蕩積分解的形式。2018年， Uddin M[7]通過Laplace變換的應(yīng)用，將積分方程(1.2)轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，然后利用Laplace逆變換的方法，將解表示為沿延伸到復(fù)平面左半部分的光滑曲線的積分，再求積分。2019年，李[8]等考慮來自電磁與聲散射問題，例如平面波是空間時諧波，通過Laplace變換來求解兩端帶高振蕩核函數(shù)的第一類Volterra積分方程

(1.3)

并通過克倫肖·柯蒂斯型方法求出方程的高精度近似解。本文的所有數(shù)值結(jié)果都是在臺式機上用Matlab R2014a實現(xiàn)的(8gb內(nèi)存，2個2.50 GHz的處理器，Windows 10操作系統(tǒng))。

1 多項式逼近

例1設(shè)方程(1.3)中f(x)=x2sin(x)，r=1000，m=0，則|f(x)e-irx-xm+1qN(x)|和|f(x)-xm+1qN(x)|在x=0.4處的誤差分別為表1和表2所示。

表1 例1中f(x)e-irx-xm+1qN(x)在x=0.4處的絕對誤差

表2 例1中f(x)-xm+1qN(x)在x=0.4處的絕對誤差

稱為函數(shù)f(t)的Laplace變換，這里的逆Laplace變換記為

2 方程(1.1)的精確解

(2.1)

將(2.1)的解yN(x)作為方程(1.1)的近似解，然后令N→∞，則得到方程(1.1)的精確解y(x).

引理1[8]定義m=「ν?為小于或等于ν的最小整數(shù)，若f(x)∈Cm+1[0，1]，m是非負整數(shù)，則(1.3)有唯一解y(x)∈C[0，1]的充要條件是

f(0)=f′(0)=…=f(m)(0)=0.

定理1假設(shè)f(x)∈Cm+1[0，1]，v0=m-ν，f(0)=f′(0)=…=f(m)(0)=0，則方程(1.1)的解可以表示為：

(2.2)

這里

(2.3)

證明(1)方程(2.1)是有卷積形式的積分方程，兩邊同時采用Laplace變換有

L[yN(x)]

這里

由于L1，L2類似，若算出其中一個，就可得到另外一個。下面先考慮L2的Laplace變換。

則有

這里ν=m-ν0，ν0≥0.下面討論上面最后一個等式中的第二個和式

則有

接下來考慮Laplace逆變換，上式結(jié)合下面的式子(見[10])

(2.4)

(2.5)

=w-δJδ(wx)，δ>-1，

(2.6)

δ>0，

(2.7)

可得

根據(jù)下面的Laplace逆變換公式

(2.8)

易得

同理，可得關(guān)于L1的逆Laplace變換計算公式

從而得到了方程(2.1)的精確解為

(2)當(dāng)ν∈Z+，m=ν≠0時，ν0=0，下面考慮m=ν=0時方程(1.1)的解。

這里

從而得到方程(2.1)的解為

3 數(shù)值計算

例2求Volterra積分方程

的解，這里f(0)=f'(0)=0.

解由于v=0.2，則m=1，v0=0.8， 結(jié)合公式(2.3)可得方程的解為

例3求Volterra積分方程

的解，這里f(x)為連續(xù)函數(shù)，且滿足f(0)=0.

解由于v=0， 結(jié)合公式(1.4)可得方程的解為

(3.1)

這里

例4求Volterra積分方程

通過Laplace變換得到積分方程積分形式的精確解，這些解的形式為

(3.2)

其中f(x)在區(qū)間[0，1]上是連續(xù)函數(shù)。

如果需要Volterra積分方程的高精度數(shù)值解，可通過克倫肖·柯蒂斯型方法[11]計算得到在不同x處的高精度近似解(如表3所示)，其誤差如圖1和圖2所示，誤差分析為下面的定理2。

定理2[11]采用克倫肖·柯蒂斯型方法計算積分(3.2)可得到如下的誤差：

(1)若f在伯恩斯坦橢圓Eρ上是分析性，則I[f]-QN[f]=O(ρ-N)；

(2)如果f，f'，…，f(m-1)在區(qū)間[0，1]上是絕對連續(xù)的，且Var(f(m))<∞，則I[f]-QN[f]=O(N-m).

表3 例題4中，當(dāng)r=1000時，由克倫肖·柯蒂斯型方法[11]在不同的x，w處得到的誤差

圖1 數(shù)值解的誤差分析圖

圖2 數(shù)值解絕對誤差分析圖

4 結(jié)束語