基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的近壁流動(dòng)高分辨率平均速度場(chǎng)預(yù)測(cè)方法

王少飛，潘翀2,,，齊中陽(yáng)

1.北京航空航天大學(xué)寧波創(chuàng)新研究院 先進(jìn)飛行器與空天動(dòng)力創(chuàng)新研究中心，寧波 315100

2.北京航空航天大學(xué) 流體力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100191

0 引 言

在流體邊界層中，由于流體黏性在固體壁面產(chǎn)生摩擦阻力，因此摩擦阻力的精確測(cè)量對(duì)于評(píng)估載運(yùn)工具的力學(xué)特性具有重要意義。常規(guī)摩阻測(cè)量方法可以分為直接法和間接法。直接法使用摩阻天平進(jìn)行測(cè)量，存在諸如安裝誤差、流動(dòng)干擾以及加工成本高等缺點(diǎn)。間接法通過(guò)獲取壁面附近的某些物理量間接測(cè)量摩阻，如采用粒子圖像測(cè)速（Particle Image Velocimetry，PIV）或粒子追蹤測(cè)速（Particle Tracking Velocimetry，PTV）對(duì)邊界層近壁區(qū)流動(dòng)進(jìn)行精細(xì)化測(cè)量，進(jìn)而通過(guò)計(jì)算黏性底層的速度梯度來(lái)估算摩阻，其精度主要依賴于黏性底層中平均速度梯度的精度。

PIV 通過(guò)追蹤跨幀示蹤粒子圖像對(duì)（下文簡(jiǎn)稱粒子圖像對(duì)）中一定查詢窗口區(qū)域內(nèi)粒子群的位移來(lái)得到查詢窗口區(qū)域的平均速度，常用查詢窗口尺寸為32 像素×32 像素，此方法的空間分辨率受限，不適用于速度梯度大（如黏性底層）的場(chǎng)景。 為了提高PIV 在邊界層測(cè)量中的空間分辨率，研究人員提出了多種改進(jìn)方案，如Nguyen 等采用長(zhǎng)方形窗口、Willert和申俊琦等采用單行窗口均可得到法向空間分辨率較高的瞬時(shí)邊界層速度場(chǎng)，進(jìn)而估算瞬時(shí)摩阻。Shen將micro-PIV 中的平均互相關(guān)法擴(kuò)展為單像素系綜平均互相關(guān)法（Single Pixel Ensemble Correlation，SPEC），將速度場(chǎng)的空間分辨率提高至單像素精度。但該方法對(duì)粒子圖像對(duì)樣本總數(shù)要求高，粒子圖像對(duì)的數(shù)量在O（10～10）幀才能獲得較好的結(jié)果。PTV 則通過(guò)追蹤單個(gè)粒子的位移得到高空間分辨率速度場(chǎng)，但需要進(jìn)行粒子識(shí)別和跨幀匹配，且匹配算法自由度大，匹配精度受粒子濃度和跨幀位移的影響較大。

近年來(lái)，眾多研究人員受深度學(xué)習(xí)在計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域內(nèi)所取得的重大突破的啟發(fā)，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于邊界層流動(dòng)特性預(yù)測(cè)中，開(kāi)辟了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)邊界層預(yù)測(cè)的新方向。如，Cai 等提出了PIV–NetS網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)，其具有典型的光流網(wǎng)絡(luò)特點(diǎn)，將粒子圖像對(duì)灰度圖作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入、已知的高分辨率速度場(chǎng)作為真值訓(xùn)練光流神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。在訓(xùn)練完成后，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠基于實(shí)驗(yàn)獲得的粒子圖像對(duì)輸出高分辨率速度場(chǎng)。Lagemann 等提出了RAFT–PIV 架構(gòu)，先將粒子圖像對(duì)通過(guò)卷積層進(jìn)行特征提取，然后對(duì)特征圖進(jìn)行互相關(guān)操作，將相關(guān)信息輸入到卷積循環(huán)單元中預(yù)測(cè)高分辨率速度場(chǎng)。以上研究的一個(gè)實(shí)際限制在于均需預(yù)知高分辨率速度場(chǎng)信息作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出端的真值，因此大部分研究均基于數(shù)值計(jì)算得到的速度場(chǎng)構(gòu)造虛擬粒子圖像對(duì)，形成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練集。在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，粒子濃度、粒徑、形狀、分布和光照條件等圖像信息千差萬(wàn)別，通過(guò)虛擬粒子圖像對(duì)訓(xùn)練出來(lái)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能否適用于實(shí)驗(yàn)測(cè)量獲得的示蹤粒子圖像對(duì)是一個(gè)需要考慮的制約性條件。因此，本文并未采用此類(lèi)技術(shù)路線，而是提出了一種新的基于PTV 思想的耦合卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Convolution Neural Network，CNN）高分辨率平均速度場(chǎng)預(yù)測(cè)方法，即CNN–PTV。該方法先將實(shí)驗(yàn)獲得的粒子圖像對(duì)樣本集作為CNN 的輸入和輸出，訓(xùn)練獲得僅能預(yù)測(cè)該樣本集所包含的平均流動(dòng)的CNN，再進(jìn)一步使用該CNN 預(yù)測(cè)單個(gè)粒子的跨幀位移。該方法解決了訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)真值難以獲取的問(wèn)題，也規(guī)避了傳統(tǒng)PTV 需要進(jìn)行多粒子跨幀匹配的難點(diǎn)，可獲得基于粒子圖像對(duì)樣本集的高分辨率平均速度場(chǎng)。

1 CNN-PTV 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)

圖1為基于CNN–PTV 的邊界層平均速度場(chǎng)預(yù)測(cè)思想示意圖，其分為CNN 訓(xùn)練和平均速度場(chǎng)預(yù)測(cè)兩個(gè)階段。在訓(xùn)練階段，將實(shí)驗(yàn)測(cè)量獲得的一組跨幀粒子圖像對(duì)樣本集中的第一幀和第二幀分別作為CNN 的輸入和輸出真值，使用均方誤差函數(shù)作為訓(xùn)練損失，使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出的粒子灰度分布信息逼近第二幀真值的灰度分布信息。遍歷整個(gè)圖像對(duì)樣本集，使得CNN 收斂。訓(xùn)練完成后，CNN 隱含了訓(xùn)練樣本集在整個(gè)像素空間中的平均光學(xué)流動(dòng)信息。在流場(chǎng)預(yù)測(cè)階段，將人工合成的只含單個(gè)粒子的圖像輸入到CNN 中，輸出圖像即為該粒子經(jīng)過(guò)當(dāng)?shù)仄骄鲃?dòng)的對(duì)流在第二幀上的成像。通過(guò)高斯擬合確定單個(gè)粒子的中心位置（達(dá)到亞像素精度），即可對(duì)單個(gè)粒子進(jìn)行跨幀追蹤。將單個(gè)粒子遍歷整個(gè)像素空間，即可獲得空間分辨率達(dá)到像素精度的二維平均速度場(chǎng)。

圖1 基于CNN-PTV 的平均速度場(chǎng)預(yù)測(cè)流程Fig.1 The ensemble velocity field predicted process by CNN-PTV

圖2 CNN 結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic view of complete network architecture

表1 所測(cè)試CNN 的不同配置參數(shù)及損失Table 1 The parameters set in various tested cases

2 粒子圖像對(duì)訓(xùn)練樣本集

本文采用人工合成的虛擬粒子圖像對(duì)測(cè)試CNN–PTV 算法預(yù)測(cè)近壁平均流動(dòng)的能力，將預(yù)測(cè)的平均速度場(chǎng)與真實(shí)流場(chǎng)進(jìn)行對(duì)比，并分析其誤差特性。采用S.I.G 框架生成虛擬粒子圖像對(duì)，依據(jù)已知速度場(chǎng)生成在像素空間內(nèi)具有高斯分布特性的灰度粒子圖像對(duì)。用于生成虛擬粒子圖像對(duì)的參數(shù)設(shè)置如表2所示，共生成2 000 對(duì)粒子圖像對(duì)。圖像尺寸為68 像素×128 像素，接近真實(shí)近壁測(cè)量實(shí)驗(yàn)中近壁黏性底層的圖像分辨率，便于后續(xù)直接應(yīng)用。每一對(duì)圖像上粒子團(tuán)位移均服從邊界層近壁平均流動(dòng)的壁面率，即壁面傾斜角度為5°，兩幀圖像上平行于壁面方向的粒子最大位移為12 像素，垂直于壁面方向的粒子移動(dòng)速度為0。 本文暫不考慮時(shí)序脈動(dòng)量，速度場(chǎng)均為平均速度場(chǎng)。平均粒子直徑為4 像素，灰度分布符合二維高斯分布。粒子濃度首先設(shè)置為32 像素×32 像素的窗口中存在約12.8 個(gè)粒子，單個(gè)像素位置上的粒子數(shù)，即單像素粒子濃度（particle per pixel，p.p.p.）為0.012 5。圖3為人工合成的粒子圖像對(duì)及速度分布示意。為簡(jiǎn)化討論，后文中速度的單位均為像素/單位時(shí)間。

表2 人工合成虛擬粒子圖像對(duì)的參數(shù)設(shè)置Table 2 List of particle image parameters

圖3 人工合成虛擬粒子圖像對(duì)及速度示意Fig.3 One snapshot of synthetic particle image in a steady near-wall flow field

3 平均流動(dòng)運(yùn)動(dòng)預(yù)測(cè)

圖4為不同神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)配置和訓(xùn)練策略下CNN的損失曲線，其中實(shí)線為驗(yàn)證集損失，虛線為訓(xùn)練集損失。在不增加激活層的前提下，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)非線性擬合能力弱，損失一直保持較高值，輸出粒子圖像對(duì)上的大部分粒子邊緣虛化，無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)粒子移動(dòng)。增加Relu 激活層并增加卷積核大小和深度后，CNN 中可訓(xùn)練參數(shù)增多，對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的擬合能力增強(qiáng)，損失持續(xù)減小。在Case 8～10 測(cè)試中采用了多層加權(quán)損失作為損失函數(shù)，可以看到收斂后的損失進(jìn)一步減少。此外，經(jīng)過(guò)測(cè)試，改變學(xué)習(xí)率以及訓(xùn)練批大小對(duì)減小損失沒(méi)有明顯效果。

圖4 不同配置神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過(guò)程中的損失曲線Fig.4 Loss curves in various cases

CNN 對(duì)第一幀輸入粒子圖訓(xùn)練后的輸出結(jié)果及其與真實(shí)第二幀粒子圖進(jìn)行的對(duì)比如圖5所示。其中，紅色為真實(shí)粒子，綠色為預(yù)測(cè)粒子，當(dāng)二者重合時(shí)則呈現(xiàn)為黃色。當(dāng)訓(xùn)練損失減小到一定程度但未完全收斂時(shí)（Epoch=100，圖5（a）），如圖5（b）所示，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出圖像上下側(cè)已出現(xiàn)清晰的粒子光斑，預(yù)測(cè)粒子位置已與該區(qū)域內(nèi)真實(shí)粒子接近重合；僅在圖像中部存在一些較為虛化的粒子，在流向上呈現(xiàn)拖尾現(xiàn)象，預(yù)測(cè)的虛化粒子也基本位于真實(shí)粒子附近，此時(shí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不能完全確定此區(qū)域內(nèi)粒子的移動(dòng)位置。隨著訓(xùn)練的持續(xù)進(jìn)行，訓(xùn)練集和樣本集上損失持續(xù)減小，完全收斂后（Epoch=200，圖5（c）），如圖5（d）所示，CNN 預(yù)測(cè)得到的第二幀圖像中虛化拖尾粒子減少，預(yù)測(cè)得到的粒子在大部分位置上與真實(shí)粒子重合。

圖5 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)粒子圖及與真實(shí)粒子圖對(duì)比Fig.5 Comparation of predicted particles with real ones

訓(xùn)練結(jié)束后，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中已經(jīng)隱含了平均速度場(chǎng)信息。將只包含單個(gè)粒子的圖像輸入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，此時(shí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將預(yù)測(cè)出此粒子在圖像上的位移。因只包含單個(gè)粒子，無(wú)需進(jìn)行粒子匹配，只需通過(guò)高斯擬合即可確定粒子中心位置，進(jìn)而得到當(dāng)?shù)匚灰菩畔?。通過(guò)將此虛擬粒子遍歷圖像所有位置即可獲得高分辨率平均速度場(chǎng)。圖6為不同神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)得到的高分辨率速度云圖和真實(shí)速度云圖?？梢钥吹?，Case 8 得到的速度場(chǎng)已經(jīng)十分接近真實(shí)值，而Case 6 和Case 7 得到的速度場(chǎng)在圖像中部仍存在一定的偏差，即在x 方向上中部區(qū)域存在階梯狀誤差，在y 方向上速度分量數(shù)值較小，預(yù)測(cè)得到的速度場(chǎng)明顯不光滑。

圖6 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)高分辨率速度場(chǎng)云圖Fig.6 Contour plot of high-resolution predicted velocity field in Case 6-8 compared with real ones

圖7為Case 8 的預(yù)測(cè)速度場(chǎng)絕對(duì)誤差以及與相同樣本集下單像素系綜互相關(guān)（SPEC）所得結(jié)果的對(duì)比。e和e分別為水平和垂直速度分量誤差，e為絕對(duì)速度誤差。f（|e|）和F（|e|）分別為絕對(duì)速度誤差概率密度函數(shù)及累計(jì)分布函數(shù)。 SPEC 算法將互相關(guān)窗口縮小為單個(gè)像素，通過(guò)增加樣本數(shù)量可以得到高精度、高分辨率的邊界層速度場(chǎng)，但需要的粒子圖像對(duì)數(shù)量較多。對(duì)比二者速度分量誤差分布圖（圖7（a）和（d））可以發(fā)現(xiàn)，采用2 000 對(duì)粒子圖像對(duì)時(shí)，SPEC 算法兩個(gè)方向上速度分量誤差均控制在0.1 像素內(nèi)；CNN–PTV 方法得到的誤差分布圖則將誤差控制在了更小的范圍內(nèi)，水平方向絕對(duì)誤差略高于垂直方向，但基本均小于0.05 像素。兩個(gè)方向上速度分量誤差的差異可能是由于CNN 在預(yù)測(cè)粒子圖像對(duì)時(shí)存在偏差，在速度分量高的方向上偏差更為明顯。這一點(diǎn)可以從未收斂的虛化粒子圖像對(duì)上體現(xiàn)，如果第二幀粒子圖像對(duì)上的粒子在流向上出現(xiàn)拖尾，則難以精準(zhǔn)確定其中心的流向位置。從速度分量的概率密度分布（圖7（c）和（f））可以看出，CNN–PTV 在x 方向上存在約0.02 像素的系統(tǒng)偏離。將絕對(duì)速度值累計(jì)分布的95%置信區(qū)間位置作為測(cè)速誤差，對(duì)比CNN–PTV 與SPEC 的測(cè)速誤差可以看出： CNN –PTV 的測(cè)速誤差約為0.052 像素，SPEC 的測(cè)速誤差則為0.095 像素（圖7（b）和（e））。因此，此工況下CNN–PTV 對(duì)平均速度場(chǎng)的預(yù)測(cè)精度略高于SPEC。

圖7 速度場(chǎng)預(yù)測(cè)絕對(duì)誤差Fig.7 The absolute error of predicted velocity in image coordinate system

圖8為近壁處壁面法向和水平方向平均速度曲線及其絕對(duì)誤差分布，其中黑色為真值，紅色為Case 8 中CNN–PTV 預(yù)測(cè)結(jié)果，綠色為SPEC 預(yù)測(cè)結(jié)果。橫坐標(biāo)y為垂直于壁面方向的像素距離，u和v分別為平行和垂直于壁面的速度分量，e和e分別為其絕對(duì)誤差。從圖中可以看出，CNN–PTV 預(yù)測(cè)得到的邊界層平均速度曲線分布與真值貼合，偏離點(diǎn)比SPEC 更少。從垂直和平行壁面速度分量的絕對(duì)誤差分布上可以看出，CNN–PTV 方法的絕對(duì)誤差比SPEC 略小，大部分區(qū)域不超過(guò)0.03 像素。

圖8 壁面法向和水平方向平均速度曲線及其絕對(duì)誤差分布Fig.8 Mean velocity profile in wall coordinate system and the absolute errors in two dimensions

4 粒子濃度和訓(xùn)練集樣本數(shù)對(duì)預(yù)測(cè)精度的影響

Shen 等的研究已經(jīng)表明，在使用SPEC 獲得平均速度場(chǎng)信息時(shí)，其預(yù)測(cè)精度受粒子圖像對(duì)樣本數(shù)以及粒子濃度影響較為明顯。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法作為典型的監(jiān)督型學(xué)習(xí)方法，其擬合效果也同樣受限于樣本本身包含的信息。因此，有必要考察粒子濃度和樣本數(shù)對(duì)本文發(fā)展的CNN–PTV 方法預(yù)測(cè)精度的影響。

圖9為粒子濃度對(duì) CNN–PTV 方法的訓(xùn)練損失和速度場(chǎng)預(yù)測(cè)誤差的影響。粒子濃度度量標(biāo)準(zhǔn)采用p.p.p.，絕對(duì)速度誤差（|e|）采用第3 節(jié)中定義的誤差累積分布95%置信區(qū)間位置。第3 節(jié)采用的粒子濃度為32 像素×32 像素內(nèi)存在約12.8 個(gè)粒子，對(duì)應(yīng)的p.p.p.濃度為0.012 5。如圖9所示，當(dāng)粒子濃度持續(xù)降低時(shí)，驗(yàn)證集損失持續(xù)降低，且未出現(xiàn)過(guò)擬合現(xiàn)象。粒子濃度對(duì)CNN–PTV 方法的平均速度場(chǎng)預(yù)測(cè)誤差的影響并不顯著，約為0.05～0.08 像素，說(shuō)明該方法對(duì)粒子濃度不敏感。當(dāng)粒子濃度降低至32 像素×32 像素內(nèi)只存在約3.2 個(gè)粒子（p.p.p.=0.003）時(shí)，仍能取得較好的預(yù)測(cè)精度。與之相比， SPEC 算法對(duì)粒子濃度十分敏感，平均速度場(chǎng)預(yù)測(cè)誤差隨粒子濃度減小而持續(xù)增大，當(dāng)p.p.p.低于0.006 時(shí)，只采用2 000 對(duì)粒子圖像對(duì)時(shí)無(wú)法得到可信的平均速度場(chǎng)。CNN–PTV 方法相對(duì)于SPEC 算法的優(yōu)勢(shì)之一可做如下解釋：對(duì)于CNN–PTV 方法而言，在訓(xùn)練過(guò)程中，只要求CNN 的輸出與第二幀粒子圖灰度分布一致即可。當(dāng)粒子濃度降低時(shí)，計(jì)算得到的灰度均方誤差也會(huì)相應(yīng)減小，但訓(xùn)練完成后其仍能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)出不同位置處灰度的整體變動(dòng)，即不論粒子濃度大小，CNN 總能預(yù)測(cè)出訓(xùn)練樣本上粒子的整體平均位移。

圖9 粒子濃度對(duì)訓(xùn)練損失及速度場(chǎng)預(yù)測(cè)誤差的影響Fig.9 Dependence of loss and velocity field prediction error on particle density

圖10 為訓(xùn)練樣本數(shù)對(duì)CNN–PTV 方法的訓(xùn)練損失和速度場(chǎng)預(yù)測(cè)誤差的影響。32 像素×32 像素內(nèi)的平均粒子數(shù)為12.8（p.p.p.=0.012 5），CNN 結(jié)構(gòu)為表1中的Case 8。圖10 還顯示了同樣本集下SPEC的結(jié)果以便對(duì)比，如圖所示，訓(xùn)練樣本數(shù)減小時(shí)，CNN–PTV 方法的訓(xùn)練損失增大，且速度場(chǎng)預(yù)測(cè)誤差相應(yīng)提高。對(duì)于所有的測(cè)試樣本數(shù)量，SPEC 的速度場(chǎng)預(yù)測(cè)誤差均高于CNN–PTV 方法，且當(dāng)樣本數(shù)低于1 000 時(shí)SPEC 算法失效，而CNN–PTV 在樣本數(shù)為200 時(shí)的誤差仍小于0.1 像素。

術(shù)前，兩組焦慮、強(qiáng)迫、抑郁、恐怖、人際關(guān)系、偏執(zhí)評(píng)分比較，差異均無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義(P>0.05)。手術(shù)當(dāng)日及術(shù)后2 d，兩組焦慮抑郁評(píng)分比較，差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義(P<0.05)，其余評(píng)分比較，差異無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義(P>0.05)。術(shù)前、手術(shù)當(dāng)日及術(shù)后2 d強(qiáng)迫因子得分于均高于陽(yáng)性分值(2分)，術(shù)前偏執(zhí)因子得分高于陽(yáng)性分值。見(jiàn)表1。

圖10 訓(xùn)練樣本數(shù)對(duì)訓(xùn)練損失及速度場(chǎng)預(yù)測(cè)誤差的影響Fig.10 Dependence of loss and velocity field prediction error on sample size

5 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)了一種CNN–PTV 架構(gòu)，主要用于預(yù)測(cè)邊界層近壁區(qū)（黏性底層以內(nèi)）的平均速度場(chǎng)。其包含了兩個(gè)步驟：在訓(xùn)練階段，采用真實(shí)粒子圖像對(duì)構(gòu)成的訓(xùn)練樣本集對(duì)CNN 進(jìn)行訓(xùn)練，使其具備預(yù)測(cè)單個(gè)粒子的平均跨幀位移的能力；在預(yù)測(cè)階段，使用CNN 預(yù)測(cè)任意像素位置上單粒子的移動(dòng)，最終得到像素級(jí)的平均速度場(chǎng)。此方法無(wú)需預(yù)知速度場(chǎng)信息，訓(xùn)練獲得的CNN 僅能預(yù)測(cè)樣本集所涵蓋的平均流動(dòng)，不具有泛化能力。但是，正是這種特應(yīng)性使得CNN 的訓(xùn)練不需要傳統(tǒng)光流CNN 所依賴的大樣本訓(xùn)練集，因此其訓(xùn)練過(guò)程簡(jiǎn)單、收斂容易。

通過(guò)優(yōu)化CNN 的網(wǎng)絡(luò)構(gòu)型和訓(xùn)練策略，CNN 可以精準(zhǔn)預(yù)測(cè)粒子的灰度分布，進(jìn)而得到高精度的平均速度場(chǎng)分布。仿真測(cè)試表明，本文提出的CNN–PTV 方法對(duì)平均速度場(chǎng)的預(yù)測(cè)精度略高于傳統(tǒng)的SPEC 算法，且對(duì)粒子濃度不敏感，在訓(xùn)練樣本較少的條件下仍能取得對(duì)邊界層近壁平均速度場(chǎng)較為可信的預(yù)測(cè)。

本研究中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用還僅限于黏性底層內(nèi)人工合成的虛擬粒子，在后續(xù)研究中將擴(kuò)展到真實(shí)實(shí)驗(yàn)獲取的黏性底層粒子圖像對(duì)，對(duì)諸如環(huán)境噪聲、流場(chǎng)脈動(dòng)等因素引起的粒子圖像對(duì)不穩(wěn)定導(dǎo)致的誤差進(jìn)行分析。

本文得到國(guó)家自然科學(xué)基金 （項(xiàng)目號(hào)：91952302，12002022）的資助。