換元法思想在初中數(shù)學教學中的應用

李光寰

（甘肅省莊浪縣南湖中學，甘肅莊浪 744603）

換元法是初中數(shù)學常用的思想方法，能夠降低數(shù)學知識的難度，強化學生的數(shù)學邏輯思維，提高解決數(shù)學問題的能力。在新課程背景下，初中數(shù)學教學迎來了新的機遇，換元法的應用范圍更加廣泛，給學生提供了更快捷的解題思路，有利于數(shù)學綜合素養(yǎng)的培養(yǎng)。但是在實際運用過程中還存在著一些誤區(qū)，有的教師設元不準確，有的教師忽視新變量的取值范圍，還有的教師只講述換元理論卻忽視實際訓練，阻礙了學生的思維發(fā)散，需要引起高度重視。在實際教學中，初中數(shù)學教師應該從學生實際出發(fā)積極培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)化以及化歸思想，設計多樣化的數(shù)學實踐活動，將換元法思想融入課堂教學的各個環(huán)節(jié)，指導學生靈活解決各種數(shù)學問題，強化學習的主動性和自覺性，使學生學會辯證地看待數(shù)學問題。

一、換元法的應用原則

（一）注意應用性

換元法在應用的時候需要注意場合，并不是每一個數(shù)學題都適合換元，有時候?qū)W生會出現(xiàn)盲目性，隨意進行換元，從而影響解題效果。在日常學習中，因式分解、不等式證明和求值問題通常會用到換元法，基本思路就是將原有的變量用新的變量替換，使數(shù)學問題迎刃而解。在課堂授課時，教師可以靈活使用換元法思想展開教學，逐步滲透換元的理念，使學生掌握換元法的使用技巧，學會將復雜的問題進行合理的分解和轉(zhuǎn)化，將其變?yōu)楹喴最}目。隨著教育體制改革的深入，中考試卷中的數(shù)學題考查范圍更加寬泛，其中有很多題型用到換元法，因此教師要指導學生進行歸納和整合，較好地形成數(shù)學能力，實現(xiàn)素質(zhì)教育的目標。

（二）注重結(jié)構(gòu)性

換元法是一種重要的解題方法，在實際運用的時候要注重結(jié)構(gòu)性，任何一道數(shù)學題都有其內(nèi)在結(jié)構(gòu)，只有把握數(shù)學問題的規(guī)律，才能夠正確地運用換元法，達到事半功倍的效果。根據(jù)數(shù)學知識的結(jié)構(gòu)特征，可以通過整體換元法、三角換元法、均值換元法來解題，在不同的題型中具有不同的作用。比如，在遇到根號問題的時候，我們可以選擇三角換元法，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題。但是當遇到定義域或者奇偶性問題的時候就不適合運用換元法，因為換元會改變原函數(shù)的自變量。通常情況下，運用換元法分為四個步驟：第一是設新元，引進適當?shù)妮o助元作為新元；第二是換元，用新元代替原問題中的舊元；第三是求解新元，使數(shù)量關(guān)系形象化；第四是求解原問題的未知元，提高解決問題的能力。

（三）注重等價性

在解決數(shù)學問題時，要善于利用變量替換展現(xiàn)出數(shù)學知識的本質(zhì)特征。數(shù)學教師要注重等價性，準確把握學生經(jīng)常犯的錯誤，新變量的允許值和原變量的可取值范圍之間保持等價，否則就會出現(xiàn)偏差，從而影響解題效率。因此，在日常訓練中可以加入針對性的練習，引導學生自主換元和等價轉(zhuǎn)換，并且說出自己的想法，然后教師做出相應的指導和糾正，這樣有利于學生快速找到問題的突破口，開拓學生的創(chuàng)新思維。等價思想是貫穿整個數(shù)學體系的一種重要思想，數(shù)學中特別重視等價關(guān)系，教師要指導學生用等價思想來解決數(shù)學題，從不同的側(cè)面去接觸事物的本質(zhì)，滲透等價的漸進性和長期性。

二、換元法在初中數(shù)學教學中的應用策略

（一）高次向低次的換元

方程是中考必考的內(nèi)容，初中階段接觸到的方程主要包括一元一次方程、一元二次方程、分式方程、二元一次方程組等，牢固掌握這些內(nèi)容將會極大地提高學生的學習效率。但是有時為了考查學生的數(shù)學思維，在試題中會出現(xiàn)求解高次方程的問題，雖然數(shù)學教材中沒有涉及，但是只要學生認真思考和嘗試就可以通過換元法進行解答。運用所學數(shù)學知識將高次方程轉(zhuǎn)化為低次方程，這正是換元法的完美體現(xiàn)，有利于學生提高做題的準確率，享受到數(shù)學運算的樂趣。在證明不等式的時候也會涉及換元，有時候甚至會聯(lián)系到三角函數(shù)，但是學生需要注意題目中的陷阱，避免出現(xiàn)錯誤換元，耽誤學生的解題進度。當遇到求方程的根之間的關(guān)系時，學生可以利用韋達定理進行換元，把握好題目中的各個條件就很容易找出它們之間的關(guān)系。換元的關(guān)鍵是設元，設元要根據(jù)具體問題而定，學生需要先觀察數(shù)學算式，用另一個未知數(shù)替換原題中相同的未知數(shù)，從而順利地計算出算式的答案。在實際教學中經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)有的學生死記硬背換元法，遇到問題只知道套用學過的換元策略，不會去尋找新的換元方案，阻礙了學生的思維。所以，初中數(shù)學教師要指導學生抓住關(guān)鍵點進行設元，使問題中的隱蔽條件明顯化，讓每一次換元都能夠啟發(fā)學生的思維，把換元法的思想理解透徹，進而在考試時做到運用自如。

（二）未知向已知的換元

數(shù)學中的轉(zhuǎn)化比比皆是，為了化繁為簡，初中數(shù)學教師要指導學生將未知量轉(zhuǎn)化為已知量，熟練地運用等價代換，有助于學生更好地把握題意，找到熟悉的解題方向。當遇到難以解決的數(shù)學難題時，學生可以轉(zhuǎn)變思路，將其轉(zhuǎn)化成若干個自己學過的新題，這樣就可以輕松解答、活躍思維，同時也降低解題失誤的概率。當學生掌握了這種未知轉(zhuǎn)化為已知的方法，教師可以為學生提供系統(tǒng)化和層次化的訓練，夯實學生數(shù)學基礎，促使學生做到舉一反三、觸類旁通。

數(shù)學主要研究對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，學生在現(xiàn)實生活中遇到未知量和已知量關(guān)系錯綜復雜時可以考慮運用換元法進行求解，抓住“不變量”，根據(jù)對應關(guān)系找到解題的線索。學生在審題的時候需要找出能夠表示題目中的相等關(guān)系，也就是等量關(guān)系，將具體事例轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題。有的學生看到數(shù)學題目過長或者過于復雜就會出現(xiàn)抵觸心理，缺乏學習的毅力和耐心，這時初中數(shù)學教師要做好學生的心理疏導工作，多與學生交流，傾聽學生對換元法思想的認識，從而使學生掌握運用換元法的規(guī)律。

換元法并不是孤立存在的，有時候需要與數(shù)形結(jié)合、分類討論、配方法等結(jié)合起來，實現(xiàn)抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的具體形象的聯(lián)系，每次解題都能夠給學生帶來新鮮感，從而激發(fā)他們的求知欲和上進心。教師要為學生設計不同類型的數(shù)學習題訓練他們靈活換元的能力，使學生逐步樹立換元意識，并通過不懈努力最終掌握不同的換元技巧，優(yōu)化解題的效果。

（三）正向向逆向的換元

受到傳統(tǒng)觀念的影響，學生已經(jīng)習慣了運用固定的思維去解題，一旦遇到新的題型就無從入手，很難找到解決問題的辦法。此時，初中數(shù)學教師就可以提倡學生轉(zhuǎn)換思維方式，打破定式思維的束縛，學會運用逆向思維去解題，使學生豁然開朗，鍛煉思維的嚴謹性與周密性。尤其是在求取值范圍問題的時候，如果從正面難以找到突破口，就可以從相反的方向進行驗證，豐富學生的認識，增強思維的雙向性和靈活性。學生可以建立一個錯題本，將平時遇到的逆向換元的題型記錄下來，通過不斷積累和復習使自己的數(shù)學水平更上一層樓。另外，求函數(shù)值域的時候也可以運用換元法。值域是函數(shù)的三大要素之一，它是由函數(shù)的定義域及對應法則唯一確定的，因此學生要提高重視，在解題的過程中從多個方向進行思考，從而更好地挖掘題目中的隱含條件。

在新課程背景下，適時地進行逆向思維的訓練是十分必要的，不僅能加深學生對新概念的了解，對整體教材的把握，更有利于對學生思維的啟迪和疑難問題的解決。在代數(shù)訓練中可以滲透逆向思維和換元思想，常規(guī)的解法就是求出未知數(shù)的值，然后將其帶入未知式，最終求出答案。這種方式不但浪費時間，而且非常煩瑣，如果從反方向進行求解將會節(jié)省很多時間。在幾何證明題中可以滲透逆向思維和換元思想，在解題時需要注重題型的變化，打破思維限制和理解壁壘，理解它們的互逆關(guān)系，靈活地解決問題，強化學生解題的信心。

（四）數(shù)值向圖形的換元

在初中數(shù)學教學中經(jīng)常會遇到圖形題，這類題型有一定的難度，需要學生具備豐富的數(shù)學知識和熟練的解題技巧，在數(shù)值和圖形之間進行合理的轉(zhuǎn)化，從而使抽象的問題簡單化，掌握換元的精髓?！耙孕沃鷶?shù)”和“以數(shù)輔形”是常用的解題方法，初中數(shù)學教師要利用多媒體技術(shù)制作適合學生的電子課件，指導學生構(gòu)造圖形等輔助元素，改變題目的形式，有效提高數(shù)學成績和綜合素養(yǎng)。例如，在教學拋物線知識的過程中會涉及數(shù)形換元，教師可以給學生列舉數(shù)學真題或者歷史名題，加深學生的印象。當考試中遇到此類題時能夠巧妙換元，根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系很快找出位置條件，避免解題上的偏差。初中數(shù)學教師可以開展專題訓練，給學生帶來數(shù)值和圖形轉(zhuǎn)化的各類題型，引導學生把抽象的數(shù)學理論知識進行圖形化的處理。在這個過程中，學生要逐漸形成正確的解題觀念，提高自身的思維能力。

在新時期，換元法思想與初中數(shù)學的結(jié)合備受關(guān)注，成為當前初中數(shù)學教學的熱點話題。教師可以利用自習時間或者課后時間開展交流會，組織學生共同探討換元法解題的優(yōu)勢和注意事項，這不僅實現(xiàn)了知識的共享，而且還鍛煉了學生的系統(tǒng)性思維能力。當學生遇到較為復雜的數(shù)學題時，教師可以開展小組合作學習，發(fā)揮集體的力量，以便擊破難題，解出答案。然后，教師可以對小組表現(xiàn)進行綜合性評價，便于今后更好地開展小組合作，幫助學生樹立自信心。

（五）多元向一元的換元

在求解方程組的時候，體現(xiàn)較多的就是多元向一元的轉(zhuǎn)化。常見的就是將三元一次方程組變?yōu)槎淮畏匠探M，再變?yōu)橐辉淮畏匠?，從而使解題過程變得清晰明了。眾所周知，思想方法才是數(shù)學的精髓，是聯(lián)系各類數(shù)學知識的紐帶，初中數(shù)學教師要秉持新課改的精神，通過例題講解的方式呈現(xiàn)數(shù)學思路，消除學生的畏難情緒，強化理解運用能力。方程組的學習具有承前啟后的作用，為學習函數(shù)打下基礎，因此必須指導學生快速梳理有用的數(shù)學信息，優(yōu)化數(shù)學解題思維，逐步降低難度系數(shù)，巧妙解決方程問題，使換元法發(fā)揮出實踐價值。

初中數(shù)學教師還要引入一元一次與多元一次方程經(jīng)典題目，讓學生挖掘其中的關(guān)系和區(qū)別，再分析如何巧妙換元，使學生能夠輕松地接受、完善數(shù)學知識體系。教師還可以給學生分享一些奧數(shù)競賽題——如何通過換元巧妙求解多元不定方程組，讓學生思考不同的換元方法，以此激發(fā)學生的創(chuàng)新思維，使數(shù)學課堂產(chǎn)生強大的吸引力和凝聚力。

換元法降低了方程的難度，符合學生的理解范圍，確保計算變得更為簡便與快捷，進一步啟發(fā)學生的變通思維。分式方程屬于初中教學中的難點，許多學生在處理問題時表現(xiàn)出陌生感，在處理問題時難以靈活應對。為了讓學生更好地掌握分式方程的解題方法，教師要指導學生將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，提升數(shù)學實踐能力。在求解應用題的過程中，檢驗最終答案要從兩方面入手，一個是檢驗是否是分式方程的解，另一個是檢驗是否符合實際情況。

（六）空間向平面的換元

學生的空間思維和抽象思維還不成熟，在分析問題的時候容易出現(xiàn)漏洞，因此教師要善于運用換元法輔助教學，指導學生將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從而巧妙地替換未知量，確保立體幾何問題得到有效處理。初中數(shù)學教材中有多處體現(xiàn)空間和平面的轉(zhuǎn)化，教師要深入研究教材，總結(jié)轉(zhuǎn)化的形式和規(guī)律，逐步開發(fā)學生的空間觀念，實現(xiàn)科學簡化操作，增強數(shù)學綜合能力。

培養(yǎng)換元思維有助于豐富學生的思維方式，初中數(shù)學教師要通過信息技術(shù)給學生展示三維立體圖形的變換過程，充分考慮不同學生的感受，開發(fā)學生的換元思維及創(chuàng)新能力，有助于學生全方面發(fā)展。初中數(shù)學教師應該從實際學情入手，指導學生觀察幾何體的結(jié)構(gòu)特征，學會選擇合適的變量去換元，強化空間想象能力，有意識地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質(zhì)聯(lián)系，從而更好地學習數(shù)學。在日常教學中，有些學生已經(jīng)能夠?qū)⒖臻g問題轉(zhuǎn)化為平面問題，但是轉(zhuǎn)化之后卻不知道應該如何運算，最終仍然無法順利解答。這就需要學生發(fā)散思維，靈活運用三角函數(shù)法、均值不等式、坐標法、導數(shù)等等，找到解決問題的最終辦法。換元法思想有多維度、反復性的特征，要求學生多思考、多探究、多嘗試，學會“小題大做”和“大題小做”的解題方法，進行有深度的思考活動，達到深化理解、發(fā)展能力的目的。

三、結(jié)語

總而言之，換元法思想在初中數(shù)學教學中占據(jù)重要地位，能將數(shù)學知識簡單化，使學生更容易解決數(shù)學問題。初中數(shù)學教師要勇于創(chuàng)新，引導學生學習和運用換元法，樹立起基本的數(shù)學解題思路，并且不斷積累數(shù)學經(jīng)驗，逐步提高數(shù)學綜合能力。還要積極探索換元法的應用場景，更好地應對多樣化的數(shù)學問題，激發(fā)學生的解題興趣，為長遠發(fā)展奠定基礎。