基于彈性支承剛度因子的索力計(jì)算方法及影響研究

丁繼承

(長(zhǎng)沙理工大公路工程試驗(yàn)檢測(cè)中心, 湖南 長(zhǎng)沙 410014)

0 引言

大跨度橋梁橋型以懸索橋、斜拉橋和中承、下承式拱橋?yàn)橹?。而這些橋型的橋梁均以纜索作為其主要受力構(gòu)件(懸索橋主索和吊桿、斜拉橋拉索和拱橋吊桿等)。纜索作為整個(gè)大跨度橋梁的“生命索”，對(duì)纜索橋梁安全運(yùn)營(yíng)非常重要。因此，纜索索力的檢測(cè)對(duì)于保障纜索橋梁服役安全十分重要。目前，基于振動(dòng)法的纜索索力檢測(cè)方法在橋梁索力無(wú)損檢測(cè)中應(yīng)用最廣[1]。林立等[2]在固支邊界條件下，考慮抗彎剛度簡(jiǎn)化拉索頻率方程，該方法在固支邊界條件下具有較高精度。李胡生等[3]基于頻率分解的方法，建立了鉸支邊界條件下的纜索拉力計(jì)算公式，并分析了固有頻率、抗彎剛度和索力之間的關(guān)系。而實(shí)際的索結(jié)構(gòu)除考慮鉸支和固支的情況，還需考慮彈性邊界條件的情況。

本文針對(duì)彈性邊界條件下拉索索力計(jì)算問(wèn)題，基于索結(jié)構(gòu)線(xiàn)性振動(dòng)理論，考慮彈性支承因子，研究彈性邊界下的索力計(jì)算方法。通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)計(jì)算方法進(jìn)行驗(yàn)證，在此基礎(chǔ)上探討了彈性支承剛度因子、抗彎剛度與索力T的關(guān)系。

1 拉索頻率方程

拉索非齊次邊界振動(dòng)模型如圖1所示。先導(dǎo)出該模型的拉索頻率方程，并在此基礎(chǔ)上對(duì)模型的邊界條件做不同的簡(jiǎn)化，得到對(duì)應(yīng)的頻率方程。

圖1 非齊次邊界條件下的拉索模型

在圖1中，k1～k4為拉索彈性約束的支撐剛度，其中k1、k3對(duì)應(yīng)拉索兩端豎向彈性約束，k2、k4對(duì)應(yīng)拉索兩端轉(zhuǎn)動(dòng)彈性約束。該模型的邊界條件可以表示為：

(1)

根據(jù)拉索線(xiàn)性振動(dòng)理論，拉索振型方程[2]可以表示為：

Y(x)=Asin(αx)+Bcos(αx)+

Csinh(βx)+Dcosh(βx)

(2)

將式(2)代入(1)，可得：

(3)

式中：

因?yàn)槭?3)中A、B、C、D不能全為零，因此有:

|H|=0

(4)

實(shí)際的索結(jié)構(gòu)除考慮鉸支及固支的情況外，有時(shí)還需考慮彈性邊界條件的情況。原因如下： ①拉索振動(dòng)時(shí)，其錨具端部會(huì)承受部分彎矩，起彈性約束作用；②模態(tài)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：拉索的振型為鉸支與固支耦合形式，索的振動(dòng)中既有鉸支和弦的特征，又有固支的特征。

如圖1所示，當(dāng)k1、k3→+∞時(shí)，拉索兩端彈性嵌固，此時(shí)邊界條件可認(rèn)為是耦合了鉸支邊界條件和固支邊界條件。對(duì)于極端情況：當(dāng)拉索兩端轉(zhuǎn)動(dòng)彈性約束(k2=k4=0)時(shí)，邊界條件為鉸支；而當(dāng)拉索兩端轉(zhuǎn)動(dòng)彈性約束(k2、k4→+∞)時(shí)，邊界條件變?yōu)楣讨?；因此，用彈性邊界?lái)描述鉸支與固支的耦合是合適的，其頻率方程如下：

(5)

將式(5)寫(xiě)成多項(xiàng)式的形式為：

0

(6)

對(duì)于式(6)，若k2=k4=0，則方程可簡(jiǎn)化成鉸支邊界條件下的索力計(jì)算公式；若k2、k4→+∞，則方程可簡(jiǎn)化為固支邊界條件下的索力計(jì)算公式。這與理論模型邊界條件的轉(zhuǎn)化一致。因此，彈性邊界同時(shí)包含了鉸支與固支的情況，具有一定的普適性。

2 彈性邊界的索力計(jì)算

彈性邊界為鉸支邊界與固支邊界的耦合，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，一般來(lái)說(shuō)，式中支承剛度k2與k4相同，可將其統(tǒng)稱(chēng)為kr。因此,式(6)變?yōu)椋?/p>

(7)

式(7)中包含了雙曲函數(shù)因子cosh(βl)與sinh(βl)，經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，兩雙曲函數(shù)的值存在2個(gè)顯著特征： ① cosh(βl)與sinh(βl)的值非常大，至少比αβ大10個(gè)數(shù)量級(jí)以上；②cosh(βl)與sinh(βl)的值極為相近，可認(rèn)為兩者相等?；谝陨蟽牲c(diǎn)特征，將式(7)簡(jiǎn)化可得到：

(S2+2βS+2ζ2)tan(αl)-2αS-2γ2=0

(8)

(9)

與固支邊界頻率方程[2]成立的條件一樣，式(8)也必須滿(mǎn)足：

tan(αl)≥0

(10)

將式(8)代入式(9)可得:

(11)

將式(11)中α、β、ζ與S所包含的抗彎剛度設(shè)為EI0，并將其作為已知參數(shù)，將索力T作為變量，而等號(hào)左邊的EI作為索力T的函數(shù)，頻率ω取拉索基頻，則式(11)變?yōu)椋?/p>

(12)

定義一彈性支承剛度因子K：

K=lgkr

(13)

則

kr=10K

(14)

因此，本文通過(guò)式(12)及逆過(guò)程求解索力T。

3 索力計(jì)算方法驗(yàn)證

設(shè)計(jì)拉索振動(dòng)實(shí)驗(yàn)，其中，拉索長(zhǎng)l=3.0 m，線(xiàn)密度m=0.238 6 kg /m，實(shí)際拉力TSJ=2 940 N。拉索振動(dòng)波形及頻譜如圖2所示。前14階頻率值如表1所示。

圖2 3.0 m拉索模型振動(dòng)波形及頻譜圖

表1 3.0 m拉索模型振動(dòng)頻率階次頻率 / Hz頻率差 / Hz測(cè)點(diǎn)幅值 / mV118.768 800.802 14237.547 518.668 83.593 33357.156 119.619 55.488 22475.826 818.758 810.555 4594.595 618.758 88.633 416113.35318.758 85.364 067132.12218.758 83.084 28153.16321.0311.021 19173.43320.280 34.264 6810195.18521.761 87.024 6111217.72822.543 56.118 2512240.98123.264 33.066 7413265.75624.765 81.357 3314290.53124.794 81.278 64

當(dāng)EI0=2.42 N·m2時(shí)，可算得對(duì)應(yīng)于不同支承剛度因子K的一組索力值，如表2所示，式(12)所描述的EI與T的關(guān)系曲線(xiàn)如圖3所示。

表2 不同支承剛度下的索力值KTA/N索力誤差rA/%tan αl |ATB/N索力誤差rB/%tan αl |B-∞3 0232.821×1033 0232.821×10313 0112.416.3×1033 0142.524.8×10322 9610.713.3×1033 0282.99-2.5×10332 917-0.785.7×1023 1115.82-4.5×10242 909-1.056.1×10231336.56-5.6×10252 908-1.096.2×1023 1366.67-5.70×102+∞2 908-1.096.2×1023 1366.67-5.70×102

圖3 彈性邊界條件下的索力計(jì)算結(jié)果

當(dāng)K→-∞即kr→0時(shí)，拉索變?yōu)殂q支邊界，直接使用鉸支邊界條件下的索力計(jì)算公式算得索力值TJZ=3 023 N，該計(jì)算結(jié)果符合表2結(jié)果。

由表2可知，索力計(jì)算值隨支承剛度因子K增大而減小。但K超過(guò)5時(shí)，索力的計(jì)算值幾乎不再變化。此時(shí)，該索力計(jì)算值與在固定邊界條件下計(jì)算得到的索力值相等。由此可得，本文試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛷椥灾С幸蜃覭≥5時(shí)，可將其看作固支邊界。當(dāng)K非常小時(shí)，索力計(jì)算值TA、TB都能夠滿(mǎn)足式(10)，但此時(shí)TA和TB幾乎相等。所以，對(duì)于彈性邊界條件下的索力計(jì)算，只需關(guān)注TA即可。

4 參數(shù)影響分析

對(duì)于彈性邊界，索力與拉索抗彎剛度以及彈性支承剛度有關(guān)。因此，仍以上述拉索實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑槔?，設(shè)定區(qū)間K∈(0， 5]，EI∈(0， 10]，可繪出索力T與彈性支承剛度因子K、抗彎剛度EI的三維關(guān)系曲面，如圖4所示。

圖4 T與K、EI的三維關(guān)系曲面

當(dāng)K=0，1，2，3，4，5時(shí)，索力T與抗彎剛度EI的關(guān)系曲線(xiàn)如圖5所示；當(dāng)EI→0及EI=2，4，6，8，10時(shí)，索力T與彈性支承剛度因子K的關(guān)系曲線(xiàn)如圖6所示。

圖5 T與EI的關(guān)系曲線(xiàn)

圖6 T與K的關(guān)系曲線(xiàn)

根據(jù)圖4～6可以得出結(jié)論：在確定的頻率下，隨著抗彎剛度EI增大，索力T減??；在確定的頻率下，隨著彈性支承因子K的增大，索力T同樣減??；當(dāng)K∈(1， 3.5)時(shí)，索力T變化較大，而K在該區(qū)間之外時(shí)，索力變化不大。彈性支承剛度因子K越大，索力T受抗彎剛度EI的影響越顯著；抗彎剛度EI越大，索力T受彈性支承因子K的影響越顯著。

5 結(jié)論

實(shí)際的索結(jié)構(gòu)除考慮鉸支及固支的情況，還需考慮彈性邊界條件的情況。針對(duì)彈性邊界條件下拉索索力計(jì)算問(wèn)題，考慮彈性支承因子，給出了考慮彈性邊界的索力求解方法。通過(guò)試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)計(jì)算方法進(jìn)行驗(yàn)證，探討了彈性支承剛度因子、抗彎剛度與索力T的關(guān)系。研究結(jié)果表明：

1) 本文所提出的索力求解方法具有較高精度，索力誤差rA在3%以?xún)?nèi)。

2) 在確定頻率下，隨著抗彎剛度EI增大，索力T減小；在確定頻率下，隨著彈性支承因子K增大，索力T同樣減??；

3) 當(dāng)K∈(1， 3.5)時(shí)，索力T變化較大；當(dāng)K在該區(qū)間之外時(shí)，索力變化不大。彈性支承剛度因子K越大，索力T受抗彎剛度EI的影響越顯著；抗彎剛度EI越大，索力T受彈性支承因子K的影響越顯著。