一類競爭模型解的長時間漸近行為

張順芹,朱雪格,劉曉薇

齊魯工業(yè)大學(山東省科學院)數(shù)學與統(tǒng)計學院,山東 濟南 250301

近年來,外來物種入侵逐漸成為人們熱議的話題,同樣也引起了許多數(shù)學家的關注,為此他們建立了競爭模型[1]從生物數(shù)學的角度進行了研究。隨著研究的深入,發(fā)現(xiàn)在有界的特定區(qū)域上建立的競爭模型具有一定的理論缺陷,因此數(shù)學家們引入了自由邊界來避開這些缺陷,自由邊界的生態(tài)背景可參考[2]。

目前帶自由邊界條件的競爭模型已經(jīng)有了廣泛的研究。例如,王明新和趙景服[3-4]考慮了帶Dirichlet和Neumann邊界條件的一維空間反應擴散競爭模型,證明了在強-弱、弱-強兩種情形下入侵物種擴張和消失二擇一性質成立,并且給出了物種擴張時自由邊界漸近擴張速度的一個估計。郭忠勝等[5]研究了帶Neumann邊界條件的強-弱情形,證明了兩個物種擴張時,存在一個臨界值,使得當其領地范圍大小高于該值時,優(yōu)勢競爭物種總是能夠成功擴張。杜一宏等[6]提出了具有Neumann邊界條件的高維空間反應擴散競爭模型來描述入侵物種的傳播,討論了強-弱、弱-強兩種情形,并給出了u發(fā)生擴張時擴張速度的一個粗略估計。

上述研究都是針對于Dirichlet和Neumann邊界條件,而關于Robin 邊界條件的研究卻極少,因為帶Robin邊界的競爭模型更符合某些實際情況中的物種傳播過程,具有理論意義和實際意義[7-9],所以本文我們主要考慮以下帶Robin自由邊界的Lotka-Volterra模型:

其中x=h(t)是待確定的移動邊界,h0,μ,di,ai,bi,ci(i=1,2)是給定的正常數(shù),初始函數(shù)u0,v0滿足

本文主要討論了u是劣勢競爭者的情形,即

1 初步結果

類似參考文獻[6]的方法,我們得到(H1)解的全局存在性,即:

引理1.1對于滿足(H2)的(u0,v0)和任意的α∈(0,1),存在一個T>0,L>0使得當u(a1-b1u-c1v)≤L(u+v),v(a2-b2u-c2v)≤L(u+v)時,對任意t>0,問題(H1)有唯一有界解:

(u,v,h)∈C(1+α)/2,1+α(DT)×C(1+α)/2,1+α(DT)×C1+α/2([0,T]);

且‖u‖C(1+α)/2,1+α(DT)+‖v‖C(1+α)/2,1+α(DT)+‖h‖C1+α/2([0,T])≤C,

其中DT:={(t,x)∈R2:t∈[0,T],x∈[0,h(t)]},C和T只取決于h0,α,‖u0‖C2([0,h0])和‖v0‖C2([0,h0])。

令(u,v,h)是(H1)的唯一有界解,則

利用引理1.2,易知下列定理成立。

引理1.3 問題(H1)有唯一的一致有界解(u,v,h),即在t>0上都有解,存在常數(shù)M1和M2使得

0

0

并且存在一個常數(shù)M3使得

0

而且(H1)沒有任何無界解。

2 解的長時間漸近行為

證明:當t>0,x∈[0,h(t)]時,由比較原理得u(t,x)≤u*(t),其中

是問題

的解

令v*是下列問題

現(xiàn)在(u,v)滿足

證明:首先根據(jù)比較原則

當t>0,0≤x<∞時,有v(t,x)≥δe(-b2M1-c2M2)t。

然后考慮下列問題:

根據(jù)比較原理u(t,x)≤z(t),v(t,x)≥w(t),t≥t1,0≤x≤∞。在假設條件

直接計算可得

在[T*,t]上積分得

因為(a1-b1u(t,x)-c1v(t,x))≤0,t≥T*,0≤x<∞,我們有

則h∞<∞。

定理2.2表明劣勢競爭者不可能深入到一個建立良好的本地物種棲息地,它在入侵的鋒線到達一定的有限限制位置之前就滅絕了。

定理2.3 如果(H3)成立,則對于所有的μ>0有h∞<∞。