核心素養(yǎng)背景下初中數(shù)學變式教學探究

王睿潔

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》指出：“為了培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力，教師在課堂教學中，要有意識地引導學生通過獨立思考、自主探索和合作交流等學習方式，使學生掌握數(shù)學的基本知識和基本技能?！弊兪浇虒W，通過有效問題串的形式帶領(lǐng)學生層層遞進，引發(fā)學生進行深度思考，揭示數(shù)學知識的發(fā)展過程和本質(zhì)，讓學生厘清知識脈絡(luò)，深入了解數(shù)學思維的變化過程，有助于學生數(shù)學知識體系的自我構(gòu)建，凸顯課堂教學的有效性。

二次函數(shù)綜合題是在學習其他簡單函數(shù)以及初中階段代數(shù)和幾何基礎(chǔ)上，同時與方程、不等式、特殊三角形、特殊平行四邊形、三角形的全等、相似或面積相等等知識有機結(jié)合，對學生綜合分析問題以及解決問題的能力要求較高。因此，在學習二次函數(shù)綜合題的時候，很多學生會產(chǎn)生畏難情緒，題目稍加改變就不知如何下手。本文通過對一道二次函數(shù)簡單習題進行變式教學，通過改變條件、改變問題、改變情景，一題多變，讓學生有更多的思考空間，有更多的機會挖掘和發(fā)現(xiàn)問題之間的聯(lián)系，更深入地發(fā)現(xiàn)應(yīng)用問題之間的區(qū)別、內(nèi)在聯(lián)系、解法的共性等，從而拓展學生的思維，達到減負提質(zhì)的目的。在變式教學中，讓學生學會解決問題的方法，并加以歸納、總結(jié)，形成技巧，學會用這些方法解決其他問題，培養(yǎng)學生知識、方法的遷移能力，激勵學生透過現(xiàn)象抓住本質(zhì)，以“不變”應(yīng)“萬變”，從“萬變”中探索“不變”。

題目：如圖1所示，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸直線x=2交x軸于點D，已知點A的坐標為（-1，0），點C的坐標為（0，5）。求該拋物線的解析式與頂點E的坐標。

筆者圍繞這道題目進行變式，從不同角度進行拓展和延伸，把分散的知識點串成一條線，總結(jié)出了七類題型。

一、二次函數(shù)與線段最值問題的綜合

變式1：在線段BC上有一點P，過點P作x軸的垂線與拋物線相交于點Q，當線段PQ長度最大時，求點的坐標。

變式2：在線段BC上有一點P，過點P作x軸的垂線與拋物線相交于點Q，當ΔBCQ面積最大時，求P點的坐標。

變式3：在線段BC上有一點P，過點P作x軸的垂線與拋物線相交于點Q，當點P運動到什么位置時，四邊形CDBQ的面積最大？求出四邊形CDBQ的最大面積及此時點的坐標。

第一類問題是以二次函數(shù)為背景，求線段最值的綜合題。變式2與變式3都可以轉(zhuǎn)化為變式1求解。只要建立我們熟悉的“鉛垂高，水平寬”模型，通過求二次函數(shù)以及直線BC的解析式，設(shè)出點P的坐標，表示出點Q的坐標，再利用二次函數(shù)求解線段的最值即可解決問題。其中，變式2里ΔBCQ面積最大可以看成是變式1里鉛垂高PQ長度最大；變式3四邊形CDBQ的面積可以看成是ΔBCQ和ΔBCD的面積之和，而ΔBCD的面積不變，也就轉(zhuǎn)化為變式2中ΔBCQ面積最大的問題。

二、二次函數(shù)與線段和、差最值存在性問題的綜合

變式4：在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使PA+ PC取到最小值？如果存在，求出P點坐標以及最小值；如果不存在，請說明理由。

變式5：在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使ΔCAP的周長取到最小值？如果存在，求出P點坐標以及最小值；如果不存在，請說明理由。

變式6：在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使|QB-QC|取到最大值？如果存在，求出Q點坐標以及最大值；如果不存在，請說明理由。

第二類問題是以二次函數(shù)為背景，求線段和、差最值存在性問題的綜合題。變式4利用拋物線的軸對稱性質(zhì)，找到A點的對稱點B點，PA+PC就轉(zhuǎn)化為PB+PC，當P、B、C三點共線時，由兩點之間線段最短可知PB+ PC取到最小值，即PA+PC取到最小值，最小值為線段BC，這就轉(zhuǎn)化為熟知的“將軍飲馬”問題。變式5由于AC是定值，所以變式5要使ΔCAP周長最小，只要PA+ PC最小，轉(zhuǎn)化為變式4中的問題，當然也可以利用三角形兩邊之和大于第三邊這一性質(zhì)來說明。為進一步熟悉三角形三邊關(guān)系，達到觸類旁通，增加了變式6兩條線段差的絕對值最大問題，由三角形兩邊之差小于第三邊這一性質(zhì)來說明。解法都是作其中一個定點關(guān)于對稱軸的對稱點來求解。

三、二次函數(shù)與特殊三角形存在性問題的綜合

變式7：在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使ΔPCB為等腰三角形？如果存在，求出P點的坐標；如果不存在，請說明理由。

變式8：在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使ΔQCB為直角三角形？如果存在，求出Q點的坐標；如果不存在，請說明理由。

從幾何的角度來看，等腰三角形存在性的基本模型是“兩圓一線”，直角三角形存在性的基本模型是“兩線一圓”，通過畫出不同的圖形進行分類討論，數(shù)形結(jié)合利用方程思想、解析幾何等知識求解。等腰三角形主要利用三線合一重要性質(zhì)、直角三角形主要利用兩條直線互相垂直k1·k2=-1以及構(gòu)造一線三垂直模型求解。從代數(shù)的角度來看，根據(jù)動點的特殊位置，設(shè)出動點坐標，利用兩點之間距離公式分別求出特殊三角形三條邊的長度，再根據(jù)題意進行分類求解即可。等腰三角形分別以誰為腰三種情況進行討論，即PB=PC、BP=BC、CB=CP；而直角三角形分別以誰為斜邊三種情況進行討論，即QB2+QC2=BC2、BC2+QC2=QB2、QB2+BC2=QC2。

第三類問題是以二次函數(shù)為背景，求特殊三角形存在性問題的綜合題。此類題型中可以抓住動點P出現(xiàn)在不同的位置，比如坐標軸上進行變式，達到異題同構(gòu)，提升歸納，從變中發(fā)現(xiàn)不變，總結(jié)解題規(guī)律。當然也可以延伸到矩形、菱形存在性問題，實質(zhì)上就是矩形先找到直角三角形存在，菱形先找到等腰三角形存在，再利用平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)，利用中點公式求解。

四、二次函數(shù)與平行四邊形存在性問題的綜合

變式9：在x軸上是否存在點M，對稱軸上是否存在點N，使得以點B、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出N點的坐標；如果不存在，請說明理由。

變式10：在x軸上是否存在點M，拋物線上是否存在點N，使得以點B、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出N點的坐標；如果不存在，請說明理由。

變式11：在y軸上是否存在點M，拋物線上是否存在點N，使得以點B、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出N點的坐標；如果不存在，請說明理由。

第四類問題是以二次函數(shù)為背景，求平行四邊形存在性問題的綜合題。此類題型中主要抓住動點M、N出現(xiàn)在不同的位置滿足不同的條件，可以是y軸，甚至也可以是平面上的任意一點。這幾個變式分別使動點出現(xiàn)在對稱軸及坐標軸上等不同位置，但是平行四邊形存在性問題不變，不論是幾何法還是代數(shù)法都還能繼續(xù)使用，經(jīng)過這幾個變式讓學生學會并掌握解決此類問題的通式通法。

五、二次函數(shù)與方程、不等式問題的綜合

變式12：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖1所示，若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c-t=0有實數(shù)根，求t的取值范圍。

變式13：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖1所示，若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c-t=0在-1

變式14：若二次函數(shù)的解析式為y1=ax2+bx+c的圖像如圖1所示，直線BC的解析式為y2=mx+n，請直接寫出當x滿足何值時，ax2+bx+c≤mx+n。

變式15：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如上圖所示，點Q（m，n）在該二次函數(shù)圖像上，若點Q到y(tǒng)軸的距離小于3，請根據(jù)圖像直接寫出n的取值范圍。

第五類問題是以二次函數(shù)為背景，主要是用函數(shù)的思想來解決方程、不等式問題的綜合題。變式12～變式14，無論是方程還是不等式，我們只需要將其看成是兩個函數(shù)，利用函數(shù)的圖像與性質(zhì)求解即可。變式12中將方程ax2+bx+c-t=0變形為ax2+bx+c=t，看成y1=ax2+bx+c與y2=t，把一元二次方程有實數(shù)根轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)有交點這一問題求解；變式13是在變式12的基礎(chǔ)上，只是二次函數(shù)y1不是整個拋物線，而是在-1

六、二次函數(shù)與三角形相似存在性的綜合

變式16：在線段BC上有一動點P，過點P作PF⊥x于點F，交拋物線于點Q，連接QC，是否存在點Q，使得ΔPQC和ΔPFB相似？若存在，求出點P坐標；若不存在，說明理由。

變式17：在線段BC上有一動點P，是否存在點P，使得ΔPOC和ΔABC相似？若存在，求出點P坐標；若不存在，說明理由。

這兩個變式歸納了相似三角形存在性的兩種基本情況，首先找到一組對應(yīng)的點，再選擇一組角對應(yīng)相等或者把對應(yīng)角夾住的對應(yīng)邊成比例來進行分類、討論、求解。

七、二次函數(shù)與三角形面積問題的綜合

變式18：在拋物線上是否存在一點P，使得SΔPAB=SΔABC？如果存在，求出P點的坐標；如果不存在，請說明理由。

變式19：在拋物線上是否存在一點P，使得SΔEBC=SΔPBC？如果存在，求出P點的坐標；如果不存在，請說明理由。

變式20：在拋物線上是否存在一點P，使得2SΔEBC=SΔPBC？如果存在，求出P點的坐標；如果不存在，請說明理由。

第七類問題是以二次函數(shù)為背景，圍繞三角形面積的綜合題。三角形面積相關(guān)的問題通?？梢岳米髌叫芯€法，同底等高面積相等求解，要注意平行于底邊的平行線有上下兩條。變式18比較容易就能發(fā)現(xiàn)相同的底是AB，因此只要滿足P點到底AB的距離等于C點到AB的距離，即P點縱坐標為±5，代入求解即可。而變式19由于底不在水平線上，因此本題求解有較大的難度，這里介紹兩種解法，一種就是利用平行線法求解，利用兩條直線互相平行k1=k2這一性質(zhì)求出過點E的關(guān)于直線BC平行的直線，再求出該平行線與拋物線的交點即可，再根據(jù)對稱性，利用一組平行線之間軸交點距離相等求出另一條平行線，同樣的方法求出該平行線與拋物線的交點即可。另一種可以用“鉛垂高，水平寬”模型求解，注意動點的位置來進行分類討論，為了體現(xiàn)通式通法，變式20改變了面積之前的比例系數(shù)，方法不變。

至此，通過改變條件、改變問題、改變情景，把一道二次函數(shù)習題進行了20次的變式，從多層次的維度考查了二次函數(shù)與其他相關(guān)數(shù)學知識相結(jié)合的各種綜合題的運用。通過本題的變式教學，讓學生體會到二次函數(shù)在初中數(shù)學中的重要地位，也讓學生享受并掌握到這么多綜合題的解題技巧與解題方法，構(gòu)建二次函數(shù)的知識脈絡(luò)，樹立學習二次函數(shù)綜合題的信心，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

變式教學可以提高課堂教學效率，減輕學生學習的負擔。教學中通過一個問題解決一類問題，有效地擴充課堂教學容量，從而真正達到減負提質(zhì)的目的。

作為教師，我們不僅要有良好的變式意識，還要遵循變式教學的一般規(guī)律，會用嫻熟的變式方法，合理安排適合變式教學的教學內(nèi)容。如果教師能夠把握變式教學的正確方法和尺度，在數(shù)學教學中恰當?shù)厥褂米兪浇虒W，就能夠有效地幫助學生從“題海戰(zhàn)役”中解放出來，建立清晰的知識體系，掌握各種解題方法與解題技巧，對培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，將起到非常積極的作用，這也是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)背景下教師需要深度思考的地方。