多自由度系統(tǒng)對簡諧激振力響應(yīng)的仿真分析

景帥 羅宇杰 曹宇博 趙梓旭 施佳晨

摘 要：實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中大多數(shù)均為多自由度體系，盡管其分析與二自由度系統(tǒng)振動分析并沒有本質(zhì)區(qū)別，但隨著自由度數(shù)量的增多，分析步驟也越來越繁瑣。計(jì)算機(jī)技術(shù)和有限元技術(shù)的快速發(fā)展，使許多大規(guī)模復(fù)雜結(jié)構(gòu)在任意激勵下的動態(tài)響應(yīng)求解也更加可行。本篇首先闡述了解決多自由度系統(tǒng)響應(yīng)問題的多種方式，介紹其優(yōu)缺點(diǎn)與適用性，最后對振型疊加法展開了重點(diǎn)研究并展示運(yùn)算流程?？紤]到矩陣法形式簡單運(yùn)算統(tǒng)一，故采用這一數(shù)學(xué)工具進(jìn)行求解，具體過程包括建立多自由度系統(tǒng)振動微分方程、確定固有頻率與主振型、引入主坐標(biāo)及正則坐標(biāo)以及確定系統(tǒng)響應(yīng)。MATLAB軟件的變量對象皆為矩陣且具有強(qiáng)大的算力并可直接輸出響應(yīng)曲線，因此使用該軟件進(jìn)行計(jì)算。

關(guān)鍵詞：簡諧激振力;振型疊加法;仿真

1 引言

一般來說工程中的實(shí)際問題所處理的機(jī)械系統(tǒng)均為多自由度振動系統(tǒng)，因?yàn)槠鋸?fù)雜性通常需要采用連續(xù)模型才能加以進(jìn)行描述，其所涉及的振動分析理論與偏微分方程理論也是十分復(fù)雜。很多情況下可經(jīng)過一定的抽象過程將其簡化為有限多個(gè)自由度系統(tǒng)來進(jìn)行研究。目前主流求解方法分為兩類即直接積分法與間接積分法，這兩類方法都有各自的優(yōu)勢以及局限性。因此對待以上問題需要采用有效的求解方法，兼顧效率與成本。下面介紹求解系統(tǒng)振動響應(yīng)的幾種方法及其各自的優(yōu)缺點(diǎn)和適用范圍。

1.1 直接積分法求解

直接積分法其基本原理是在一定時(shí)間范圍內(nèi)對系統(tǒng)所響應(yīng)的時(shí)間歷程進(jìn)行離散，將系統(tǒng)運(yùn)動微分方程分解為各離散時(shí)間的運(yùn)動微分方程，并確定在某個(gè)時(shí)間的運(yùn)動位置、速度和加速度的近似表達(dá)式，再將表達(dá)式代入系統(tǒng)運(yùn)動方程中，對相互耦合的系統(tǒng)振動方程進(jìn)行逐步積分求解。直接積分法原理簡單概念清晰，不需要對振動方程進(jìn)行簡化處理，只需輸入阻尼矩陣、質(zhì)量矩陣、剛度矩陣等參數(shù)即可進(jìn)行求解。該方法雖然操作簡單且精確度高，但是計(jì)算時(shí)間過長、效率過低且相比其他方法會占用大量的計(jì)算機(jī)資源，因此使用頻率并不高。

1.2 縮聚法求解

對復(fù)雜結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)進(jìn)行動響應(yīng)分析時(shí)，離散構(gòu)造的自由度數(shù)目多、運(yùn)算量過大。因此在確保一定計(jì)算精度的條件下，可以運(yùn)用縮減技術(shù)對模型進(jìn)行縮聚處理。該方法旨在通過適當(dāng)?shù)淖儞Q處理消除對系統(tǒng)整體振動響應(yīng)影響微弱的自由度，以此來達(dá)到降低自由度、簡化計(jì)算量、提高效率的目的?？s聚法求解的局限在于如何尋找對系統(tǒng)影響微弱的自由度，自由度選擇錯誤則會大大地影響分析求解的精度。

1.3 振型疊加法求解

振型疊加法采用模態(tài)變換對原自由度系統(tǒng)的運(yùn)動方程解耦得到非耦合的n個(gè)單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動方程。模態(tài)變換以求解廣義特征值問題為代價(jià)，對系統(tǒng)固有特性沒有影響，通過對n個(gè)單自由度系統(tǒng)運(yùn)動方程積分，對比聯(lián)立方程組的直接積分更加節(jié)省時(shí)間。振型疊加法只適用于線性、時(shí)不變系統(tǒng)。對于激勵的高頻成分很微弱或者系統(tǒng)的高頻振動沒有激發(fā)出來等情況，系統(tǒng)的響應(yīng)中只有較低的幾階振型分量，因此使用振型疊加法可以大幅度簡化計(jì)算量。

2 多自由度振動系統(tǒng)仿真模型的建立

多自由度振動系統(tǒng)的動力學(xué)模型如圖一所示。

4 仿真分析

如果給定多自由度系統(tǒng)（如圖1所示且不記阻尼）的參數(shù)以及簡諧激振力函數(shù)表達(dá)式，就可以利用下列程序得出系統(tǒng)的響應(yīng)。設(shè) ， ，振動位移為 、 和 ，并在質(zhì)量 上作用激振力 ，其中 。

程序代碼如下：

clc;clear;

n=3;m1=1;m2=1;m3=1;k1=10000;k2=10000;k3=10000;k4=10000;

t=0：0.001：0.049;F1=0;F2=0;F3=10;F=[F1;F2;F3];p=125; f=F.*sin（p*t）;

M=[m1 0 0;0 m2 0;0 0 m3];

K=[k1+k2 -k2 0;-k2 k2+k3 -k3; 0 -k3 k3];D=inv（M）*K;[A lam]=eig（D）;

for i=1：n w（i）=sqrt（lam（i，i））; end w;

AF=[0 0 0;A;0 0 0];z=[0 0 0 0 0];plot（AF） hold on

ylabel（{'主振型振幅'}）;xlabel（{'距固定點(diǎn)距離'}）;plot（z）

for i=1：n Mzhu（i）=A（：，（i））'*M*A（：，（i））; end Mzhu;

for i=1：n Azhu（：，i）=A（：，（i））.*（Mzhu（i））^（-1/2）; end Azhu; Fzhu=Azhu'*F

for i=1：n Xzhu（i）=Fzhu（i）/（（w（i））^2-125^2） end

Xzhu; X0=Azhu*Xzhu'; X=X0.*sin（p*t）;

subplot（411），plot（t（1：50），f） ，grid;subplot（412），plot（t（1：50），X（1，：）） ，grid

subplot（413），plot（t（1：50），X（2，：）） ，grid;subplot（414），plot（t（1：50），X（3，：）） ，grid

運(yùn)行程序后各階主振型如圖2所示，各階響應(yīng)曲線如圖3所示。

由于激振力的頻率與系統(tǒng)二階固有頻率（ ）相似，因此在系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中，第二階主振型占據(jù)主導(dǎo)地位，此時(shí)系統(tǒng)近似于二階共振狀態(tài)。

5 結(jié)束語

當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)或外界激勵發(fā)生變化時(shí)，只需在程序中修改相關(guān)參數(shù)即可得到響應(yīng)，依靠MATLAB軟件進(jìn)行計(jì)算處理，過程簡潔直觀。

參考文獻(xiàn)：

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[2]康厚軍，叢云躍，郭鐵丁.《結(jié)構(gòu)動力學(xué)》中多頻激勵多自由度系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的新方法[J].動力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2021，19（02）：91-98.

作者簡介：

景帥：（2000.12-），男（漢族），籍貫：遼寧省葫蘆島市，學(xué)歷：本科 ，單位：沈陽航空航天大學(xué)，職稱：學(xué)生;研究方向：飛行器動力工程。