如何正確運用方差分析
——嵌套設(shè)計定量資料一元方差分析與SAS實現(xiàn)

胡純嚴(yán) ，胡良平 ，2*

（1.軍事科學(xué)院研究生院，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學(xué)會聯(lián)合會臨床科研統(tǒng)計學(xué)專業(yè)委員會，北京 100029*通信作者：胡良平，E-mail：lphu927@163.com）

多因素設(shè)計有很多種，它們之間的主要區(qū)別在于以下7個方面：①因素的性質(zhì)、個數(shù)及水平數(shù)不盡相同；②全部因素的水平是否需要全面組合（每種組合被稱為一個“試驗點”）；③在各試驗點上是否進(jìn)行重復(fù)試驗；④是否存在某些因素的水平是固定的，另一些因素的水平是隨機(jī)選取的；⑤因素在施加時是否存在先后順序之分；⑥從客觀實際角度看，因素之間是否存在自然屬性上的嵌套關(guān)系；⑦各因素對定量結(jié)果的影響是否存在主次之分。具備最后兩點或其中之一的多因素設(shè)計類型被稱為嵌套設(shè)計。嵌套設(shè)計是一種實用的多因素設(shè)計方法，本文將詳細(xì)介紹該設(shè)計的主要特點、設(shè)計方法、定量資料一元方差分析的計算公式以及基于SAS軟件實現(xiàn)定量資料方差分析的方法。

1 基本概念

1.1 嵌套設(shè)計

嵌套設(shè)計也被稱為系統(tǒng)分組設(shè)計［1］?！扒短住庇袃煞N含義：其一，因素之間存在包含關(guān)系或嵌套關(guān)系；其二，因素對定量結(jié)果的影響有主次之分［2］。嵌套設(shè)計就是依據(jù)實際問題中因素之間的相互關(guān)系或各因素對結(jié)果的影響情況，以譜系圖的形式呈現(xiàn)出全部因素及其水平。例如，假定A、B、C這三個二水平因素之間存在包含關(guān)系，或者它們對結(jié)果的影響存在主次關(guān)系，可用結(jié)構(gòu)圖描述其關(guān)系。見圖1。因素A（兩個水平分別為A1和A2）為大組因素，因素B（兩個水平分別為B1和B2）為中組因素，因素C（兩個水平分別為C1和C2）為小組因素。

圖1 3個二水平因素的嵌套設(shè)計結(jié)構(gòu)圖Figure 1 Nested design structure diagram of three two-level factors

1.2 嵌套設(shè)計的主要特點

由圖1可知，嵌套設(shè)計近似一個2×2×2=23析因設(shè)計的架構(gòu)［1-2］，但它們之間卻存在諸多不同之處。嵌套設(shè)計的特點如下：①因素之間可能存在自然屬性上的相互包含或嵌套關(guān)系，而不是相互獨立的關(guān)系；或者受試對象具有分組再分組的條件，基于此，嵌套設(shè)計又稱為系統(tǒng)分組設(shè)計［3］。②因素之間可能在對定量結(jié)果的影響上存在主次關(guān)系，而不是平等關(guān)系。③位于大組因素各水平之下的中組因素和小組因素的水平個數(shù)可以保持不變，但也可以變化；甚至水平的具體取值也可改變（參見后文表4），通常，中組或小組因素的水平是從眾多水平中隨機(jī)選取的［4-5］。④由于中組因素的每個水平并非都會出現(xiàn)在大組因素的每個水平之下，同樣，小組因素的每個水平也并非都會出現(xiàn)在中組因素的每個水平之下，因此，在嚴(yán)格的嵌套設(shè)計中，各層級因素之間沒有交互作用［4］。

1.3 誤差的處理方法

針對嵌套設(shè)計的第二個和第三個特點，在對取自嵌套設(shè)計的定量資料進(jìn)行方差分析時，分析大組因素時需采用中組因素的均方作為誤差均方；分析中組因素時需采用小組因素的均方作為誤差均方；分析小組因素時需采用模型誤差均方作為誤差均方。

2 嵌套設(shè)計定量資料一元方差分析的計算公式

假設(shè)有一個三因素嵌套設(shè)計一元定量資料，試驗因素分別為A、B、C，其水平數(shù)分別為m、n、p。在每種試驗條件下進(jìn)行了r次獨立重復(fù)試驗，那么，總的受試對象數(shù)即為N=mnpr。三因素嵌套設(shè)計定量資料一元方差分析表見表1［4-5］。

表1 三因素嵌套設(shè)計一元定量資料的方差分析表Table 1 Analysis of variance table for the univariate quantitative data in three-factor nested design

表1中各統(tǒng)計量計算公式如下：

在以上各式中，i=1，2，…，m；j=1，2，…，n；k=1，2，…，p；l=1，2，…，r。

3 嵌套設(shè)計一元定量資料的實例與SAS實現(xiàn)

3.1 實例與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

3.1.1 試驗因素存在自然屬性上的嵌套關(guān)系

【例1】為研究蘿卜葉子中M物質(zhì)的含量，隨機(jī)采集3個蘿卜（A1、A2、A3），在每個蘿卜上隨機(jī)取幾片葉子（B1、B2、B3），蘿卜葉子中M物質(zhì)含量的測定結(jié)果見表2［2］。顯然，M物質(zhì)的含量，不僅取決于不同的葉子，更主要是與所取自的蘿卜有關(guān)，即不同蘿卜之間的變異大于同一個蘿卜上的葉子之間的變異。試分析不同蘿卜、不同葉片中的M物質(zhì)含量的均值之間差異是否有統(tǒng)計學(xué)意義。

表2 蘿卜葉子中M物質(zhì)含量的測定結(jié)果Table 2 Measurement results of the substance M in the radish leaves

【例2】某公司擬分批次從3個供應(yīng)商（S1、S2、S3）處購買某種原材料，已知該原材料的純度在不同批次之間的變異很大，并可能影響產(chǎn)品質(zhì)量。從每個供應(yīng)商處隨機(jī)分別抽取四批原材料，并在每批原材料中分別抽取三件測定其純度。設(shè)計格式和資料見表3［4］。表3中的數(shù)據(jù)Y是“純度值-93”的結(jié)果，目的是簡化手工計算的復(fù)雜程度。試分析不同供應(yīng)商、不同批次所對應(yīng)的原材料純度均值之間差異是否有統(tǒng)計學(xué)意義。

表3 原材料純度的測量結(jié)果（Y=純度值-93）Table 3 Measurement results of raw material purity（Y=purity value-93）

3.1.2 試驗因素對定量結(jié)果的影響存在主次之分

【例3】某項化合物的試驗研究涉及催化劑的種類和溫度（℃）。依據(jù)專業(yè)知識，催化劑對該化合物轉(zhuǎn)化率的影響大于溫度的影響，且不同催化劑條件下所對應(yīng)的溫度不完全相同。設(shè)計格式和資料見表4［2］。試分析不同催化劑（其水平分別為甲、乙、丙）、不同溫度（℃）（其水平分別為70、80、90；55、65、75；90、95、100）所對應(yīng)的轉(zhuǎn)化率均值之間的差別是否有統(tǒng)計學(xué)意義。

表4 某化合物在不同催化劑和不同溫度下的轉(zhuǎn)化率Table 4 Conversion rate of a compound under different catalysts and temperatures

3.1.3 嵌套設(shè)計與析因設(shè)計并存的設(shè)計

【例4】在印刷電路板上手動插入電子元件，以提高組裝操作的速度。研究者設(shè)計了3種裝配夾具（F1、F2、F3）和2個不同的工作場所（L1、L2）。從每個工作場所隨機(jī)抽取4位操作者（O1、O2、O3、O4），他們對每個裝配夾具重復(fù)操作兩次。試驗結(jié)果為裝配時間（秒）。設(shè)計格式和資料見表5［4］。試分析3種夾具、2個工作場所、4位操作者所對應(yīng)的裝配時間均值之間差異是否有統(tǒng)計學(xué)意義。

表5 不同操作者在不同工作場所裝配夾具所用的時間Table 5 Time spent by different operators assembling fixtures in different workplaces

3.2 用SAS實現(xiàn)方差分析

3.2.1 對例1的分析與解答

【分析與解答】所需要的SAS程序如下：

【SAS程序說明】數(shù)據(jù)中的“.”代表缺失數(shù)據(jù)。

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

由第一部分輸出結(jié)果可知，不同葉片的M物質(zhì)含量的均值之間差異有統(tǒng)計學(xué)意義（F=10.52，P=0.001 3）。

由第二部分輸出結(jié)果可知，3個蘿卜的葉子中M物質(zhì)含量的均值之間差異有統(tǒng)計學(xué)意義（F=8.52，P=0.036 1）。值得注意的是，分析因素A（即大組因素）時，應(yīng)采用因素B（即中組因素）的均方作為誤差均方［6］。

【結(jié)論】不同蘿卜的葉子中M物質(zhì)含量差異有統(tǒng)計學(xué)意義，且同一個蘿卜上不同葉片中的M物質(zhì)含量差異也有統(tǒng)計學(xué)意義。

3.2.2 對例2的分析與解答

【分析與解答】所需要的SAS程序如下：

【SAS程序說明】第一個過程步調(diào)用GLM過程進(jìn)行嵌套設(shè)計定量資料一元方差分析，需要用“TEST語句”為大組因素指定誤差項［“b（s）”的含義是因素b嵌套在因素s之下］；而第三個過程步調(diào)用NESTED過程，只需將大組因素寫在“class語句”中的第一位，將中組因素寫在“class語句”中的第二位。

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

由第一個過程步（GLM過程）的第1部分輸出結(jié)果可知，4批原材料的純度之間差異有統(tǒng)計學(xué)意義（F=2.94，P=0.016 7）。

由第一個過程步（GLM過程）的第2部分輸出結(jié)果可知，3個供應(yīng)商提供的原材料的純度之間差異無統(tǒng)計學(xué)意義（F=0.97，P=0.415 8）。

由第三個過程步（NESTED過程步）輸出結(jié)果可知，3個供應(yīng)商提供的原材料的純度之間差異無統(tǒng)計學(xué)意義（F=0.97，P=0.415 8），4批原材料的純度之間差異有統(tǒng)計學(xué)意義（F=2.94，P=0.016 7）。

【說明】采用GLM過程計算時，需要通過“TEST語句”為大組因素和中組因素分別指定誤差項，因此，解讀輸出結(jié)果時需謹(jǐn)慎；而采用NESTED過程計算時，可直接輸出所需要的正確結(jié)果。

【結(jié)論】原材料的批次不同，產(chǎn)品純度存在差異；但3個供應(yīng)商提供的原材料的純度比較接近。

3.2.3 對例3的分析與解答

【分析與解答】所需要的SAS程序如下：

【SAS程序說明】在以上SAS程序中，因素B的3個水平分別用1、2、3表示，而在表4中，因素B的水平值隨著因素A的水平改變而改變。若嚴(yán)格按表4中因素的真實水平呈現(xiàn)，SAS程序如下：

后面的內(nèi)容與前一段SAS程序相同，此處從略。

上面兩段SAS程序輸出結(jié)果完全相同。

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

由第一部分輸出結(jié)果可知，在不同溫度條件下，化合物轉(zhuǎn)化率的均值之間差異有統(tǒng)計學(xué)意義（F=12.15，P=0.000 7）。

由第二部分輸出結(jié)果可知，在三種催化劑條件下，化合物轉(zhuǎn)化率均值之間差異有統(tǒng)計學(xué)意義（F=14.63，P=0.004 9）。

【結(jié)論】化合物轉(zhuǎn)化率均值會隨著催化劑的改變而變化，也會隨溫度的改變而變化。具體地說，在甲催化劑條件下，轉(zhuǎn)化率普遍較高，并且當(dāng)溫度居中（80℃）時，轉(zhuǎn)化率最高；在乙催化劑條件下，轉(zhuǎn)化率普遍較低，并且溫度最高（75℃）時，轉(zhuǎn)化率最低。

3.2.4 對例4的分析與解答

【分析與解答】所需要的SAS程序如下：

【SAS程序說明】“O（L）”的含義是因素O嵌套在因素L之下；第一個“TEST語句”的含義是用“F*O（L）”作為誤差項分析“因素F”和“交互作用F*L”；第二個“TEST語句”的含義是用“O（L）”作為誤差項分析“因素L”。

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

由輸出結(jié)果可知，操作者O（L）對試驗結(jié)果的影響具有統(tǒng)計學(xué)意義（F=5.14，P=0.001 6）；交互作用F*O（L）對試驗結(jié)果的影響具有統(tǒng)計學(xué)意義（F=2.35，P=0.030 0）；因素F（即夾具種類）對試驗結(jié)果的影響具有統(tǒng)計學(xué)意義（F=7.55，P=0.007 6）；因素L（即工作場所）對試驗結(jié)果的影響無統(tǒng)計學(xué)意義（F=0.34，P=0.580 7）。

【結(jié)論】3種夾具對應(yīng)的試驗結(jié)果均值之間差異有統(tǒng)計學(xué)意義，2個工作場所對應(yīng)的試驗結(jié)果均值之間差異無統(tǒng)計學(xué)意義，4位操作者對應(yīng)的試驗結(jié)果均值之間差異有統(tǒng)計學(xué)意義。

4 討論與小結(jié)

4.1 討論

對于嵌套設(shè)計而言，從因素分層角度來看，受試對象可以按多個因素進(jìn)行逐層分組；從組間變異度角度來看，大組因素水平組之間的變異大于中組因素水平組之間的變異，中組因素水平組之間的變異大于小組因素水平組之間的變異。

嵌套設(shè)計中一個值得關(guān)注的情形是：位于中層或底層因素的水平個數(shù)以及水平的具體取值是可變的，有時是隨機(jī)選取的。因此，嵌套設(shè)計定量資料的方差分析方法屬于混合效應(yīng)線性模型；若所有因素都是隨機(jī)效應(yīng)因素，則需要采用方差分量模型分析［4，6］。

4.2 小結(jié)

本文介紹了嵌套設(shè)計的基本概念和設(shè)計特點，總結(jié)出3類嵌套設(shè)計：試驗因素存在自然屬性上的嵌套關(guān)系、試驗因素對定量結(jié)果的影響存在主次之分以及嵌套設(shè)計與析因設(shè)計并存的設(shè)計。基于4個實例，借助SAS軟件實現(xiàn)了嵌套設(shè)計定量資料一元方差分析，并對SAS輸出結(jié)果作出詳細(xì)解讀。