基于譜分析模型的GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)特性分析

馬 旺 王志遠(yuǎn) 譚開文

(61365部隊(duì))

從衛(wèi)星自主導(dǎo)航的先驗(yàn)信息供應(yīng)、精密動(dòng)態(tài)實(shí)時(shí)單點(diǎn)定位需求、鐘差參數(shù)優(yōu)化等角度來看，衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)的鐘差預(yù)報(bào)(星載原子鐘)作用極為明顯[1]。近年來，各國理論界紛紛強(qiáng)化衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)技術(shù)探索，諸如基于灰色系統(tǒng)模型、二次多項(xiàng)式(Quadratic Polynomial，QP)模型、時(shí)間序列模型、線性模型、卡爾曼濾波模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[1-5]等類型各異的衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)模型陸續(xù)被提出并予以驗(yàn)證。這些模型在進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)時(shí)各有特點(diǎn)[6]，而應(yīng)用最為普遍的鐘差預(yù)報(bào)模型為QP模型，其優(yōu)勢包括參數(shù)涵義清晰和建模簡單等。GPS的導(dǎo)航電文鐘差預(yù)報(bào)也是采用該模型。但從預(yù)報(bào)實(shí)踐來看，GPS衛(wèi)星鐘差的周期特征被二次多項(xiàng)式模型忽略，而導(dǎo)致該模型鐘差預(yù)報(bào)精度較低。頻譜分析是一種將復(fù)雜信號(hào)分解為較簡單信號(hào)的技術(shù)。許多物理信號(hào)均可以表示為許多不同頻率簡單信號(hào)的和，找出一個(gè)信號(hào)在不同頻率下的信息(如振幅、功率、強(qiáng)度或相位等)的做法即為頻譜分析。為提高衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)精度，本文以衛(wèi)星鐘差周期特征為切入點(diǎn)，借鑒頻譜分析方法，結(jié)合QP模型給出了一種鐘差預(yù)報(bào)的譜分析(Spectrum Analysis，SA)模型，并使用GPS衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)驗(yàn)證，根據(jù)驗(yàn)證結(jié)果進(jìn)行GPS衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)特性分析。

1 衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)的譜分析模型

星載原子鐘是導(dǎo)航衛(wèi)星上的一種基本設(shè)備，通常有銫鐘(Cs.clock)、銣鐘(Rb.clock)兩類。因QP模型同時(shí)具備用于衛(wèi)星鐘時(shí)頻域穩(wěn)定性描述的3種參數(shù)(頻漂、頻率、相位)，可大體表現(xiàn)出星載原子鐘的物理屬性。另外，從實(shí)踐角度來看，衛(wèi)星鐘周期性波動(dòng)特征不應(yīng)被忽視，只有高度重視，才能更加準(zhǔn)確清晰地體現(xiàn)出星載原子鐘的特征[7]。如果時(shí)間序列存在周期性波動(dòng)特征，一般需要數(shù)據(jù)序列的顯著周期項(xiàng)通過頻譜分析法檢索出來，這樣數(shù)據(jù)建模精度才能有效提升，預(yù)報(bào)準(zhǔn)確性也能不斷提高。GPS衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)譜分析模型[8]為

(1)

式中：Li為ti時(shí)刻衛(wèi)星鐘差；t0為參考時(shí)刻；ti為歷元時(shí)刻；a0為參考時(shí)刻t0鐘差；a1為參考時(shí)刻t0鐘速；a2為參考時(shí)刻t0鐘漂；p為主要周期函數(shù)的個(gè)數(shù)，基于頻譜分析策略確定，大小由功率譜確定；Ak為對應(yīng)周期項(xiàng)振幅；fk為對應(yīng)周期項(xiàng)頻率，基于頻譜分析策略確定；φk為對應(yīng)周期項(xiàng)相位；k=1,2,3，…，p；Δi為觀測誤差。

從式(1)可以看出，鐘差預(yù)報(bào)的SA模型由QP部分和1組周期函數(shù)組成。具體實(shí)現(xiàn)過程：基于QP模型擬合已知鐘差數(shù)據(jù)，獲得擬合殘差；將擬合殘差從時(shí)域向頻域變換，在變換過程中，擬合殘差會(huì)進(jìn)行數(shù)個(gè)簡單的正(余)弦信號(hào)分解、疊加，這些正(余)弦信號(hào)存在頻率差異，其功率譜就能說明不同正(余)弦信號(hào)的頻率。原始信號(hào)中頻率信號(hào)功能與功率譜之間具有正相關(guān)性，p與fk通?；谧畲蠊β首V量級來確定。在確定了p、fk的條件下進(jìn)行模型參數(shù)估計(jì)。為了便于求解，設(shè)：

(2)

進(jìn)而得到(1)式的線性形式：

(3)

其矩陣表達(dá)式為

L=AX+Δ

(4)

式中：L為由n維已知鐘差數(shù)據(jù)構(gòu)成的觀測向量；Δ為n維誤差向量；X為2p+3維待估參數(shù)向量，X=[a0a1a2b1c1… …bkck… …bpcp]T；A為n×(2p+3)維系數(shù)矩陣。

根據(jù)最小二乘原理，可得參數(shù)X的估值：

(5)

根據(jù)求得參數(shù)使用以下譜分析模型進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)。

(6)

式中：An+j為系數(shù)矩陣。

2 預(yù)報(bào)試驗(yàn)及其結(jié)果分析

2.1 預(yù)報(bào)試驗(yàn)

試驗(yàn)數(shù)據(jù)采用基于GPS衛(wèi)星定位系統(tǒng)900 s采樣間隔的最終精密鐘差數(shù)據(jù)(2013年6月27日—9月14日，共計(jì)80 d)，BLOCK ⅡF銣鐘、BLOCK ⅡF銫鐘、BLOCK ⅡR和BLOCK ⅡR-M銣鐘、BLOCK ⅡA銣鐘、BLOCK ⅡA銫鐘均為選定時(shí)段星載原子鐘。預(yù)報(bào)試驗(yàn)是基于這80 d時(shí)間段中一顆衛(wèi)星的完整數(shù)據(jù)進(jìn)行的，其中PRN01、PRN10、PRN22、PRN24、PRN29、PRN32為本試驗(yàn)預(yù)報(bào)的 6顆衛(wèi)星。

預(yù)報(bào)測試參數(shù)確定：統(tǒng)計(jì)量為極差(Range)與均方根誤差 (Root Mean Square，RMS)，參考真值為IGS(International GNSS Service)精密鐘差值。均方根誤差求解方程：

(7)

基于2013年7月3日1 d的鐘差數(shù)據(jù)分別擬合并建立QP模型和SA模型，進(jìn)行12 h、24 h、1周、半個(gè)月、1個(gè)月和2個(gè)月的鐘差預(yù)報(bào)，其中，12 h和24 h預(yù)報(bào)是短期預(yù)報(bào)，1周和半個(gè)月預(yù)報(bào)是中期預(yù)報(bào)，1個(gè)月和2個(gè)月預(yù)報(bào)是長期預(yù)報(bào)。

2.2 試驗(yàn)結(jié)果分析

首先，以PRN01衛(wèi)星的建模分析過程為例來說明SA模型的實(shí)現(xiàn)過程。圖1是PRN01衛(wèi)星使用QP模型對已知建模鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合后的擬合殘差圖和殘差能量頻譜圖。

圖1 PRN01衛(wèi)星二次多項(xiàng)式擬合后的殘差和去噪后擬合殘差的譜分析圖

分析能量頻譜圖，幅值較大點(diǎn)如果出現(xiàn)在3個(gè)不同部位，那么周期函數(shù)(譜分析模型中)就能順利確定。因此可得PRN01衛(wèi)星的參數(shù)，即p= 3，f1= 2.314 8×10-5HZ，f2= 4.659 6×10-5HZ，f3= 5.787×10-5HZ。同理，可確定剩余衛(wèi)星相應(yīng)的參數(shù)?？紤]文章的篇幅，本文只給出PRN01衛(wèi)星使用QP模型和SA模型進(jìn)行1 d鐘差預(yù)報(bào)的預(yù)報(bào)結(jié)果和預(yù)報(bào)誤差圖(圖2)，基于QP模型和SA模型得到的6顆衛(wèi)星的鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果統(tǒng)計(jì)見表1。需要說明的是，從圖2可以看出，使用QP模型和SA模型進(jìn)行1 d 鐘差預(yù)報(bào)的預(yù)報(bào)結(jié)果與IGS發(fā)布的值符合性很好。

根據(jù)圖2和表1的預(yù)報(bào)結(jié)果，對譜分析模型與QP模型的鐘差預(yù)報(bào)特征進(jìn)行分析。

圖2 QP模型和SA模型的預(yù)報(bào)結(jié)果與預(yù)報(bào)誤差

首先，對于短期預(yù)報(bào)(24小時(shí)內(nèi))，QP模型在擬合事后鐘差數(shù)據(jù)前提下可以反映鐘差變化規(guī)律，預(yù)報(bào)結(jié)果較準(zhǔn)確，精度可達(dá)到亞納秒級；從預(yù)報(bào)穩(wěn)定性來看，銫鐘最多有幾十納秒，而銣鐘則最多只有數(shù)納秒。對于中長期預(yù)報(bào)，預(yù)報(bào)結(jié)果偏差與預(yù)報(bào)時(shí)間增加具有正相關(guān)性，時(shí)間越長，偏差越明顯，模型預(yù)報(bào)結(jié)果的穩(wěn)定性和精度無論是銫鐘還是銣鐘都迅速降低。

其次，SA模型的鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果通常會(huì)優(yōu)于QP模型的鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果，主要是因?yàn)镾A模型可以高效擬合星載原子鐘周期項(xiàng)，從而在一定程度上提高了預(yù)報(bào)結(jié)果的穩(wěn)定性和精度。但是從長期預(yù)報(bào)實(shí)踐來看，如果延長預(yù)報(bào)的時(shí)間，受到二次多項(xiàng)式主項(xiàng)的影響，譜分析模型的預(yù)報(bào)偏差會(huì)明顯加大。

最后，根據(jù)表1的統(tǒng)計(jì)結(jié)果(各星末列)，SA模型、QP模型在鐘差預(yù)報(bào)環(huán)節(jié)，如采用的星載原子鐘種類不一樣，鐘差預(yù)報(bào)結(jié)果的穩(wěn)定性和精度也會(huì)不同。

本研究只是對GPS系統(tǒng)的鐘差預(yù)報(bào)特性進(jìn)行了分析，下一步還可分析SA模型在北斗導(dǎo)航系統(tǒng)等其他衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)鐘差預(yù)報(bào)的特性。

表1 QP模型和SA模型的預(yù)報(bào)結(jié)果單位:nsTab.1 Prediction Results of QP model and SA Model 衛(wèi)星類型統(tǒng)計(jì)量預(yù)報(bào)0.5 d預(yù)報(bào)1 d預(yù)報(bào)7 d預(yù)報(bào)15 d預(yù)報(bào)30 d預(yù)報(bào)60 d平均值QP模型PRN01(ⅡF Rb)PRN10(ⅡA Cs)PRN22(ⅡR Rb)PRN24(ⅡF Cs)PRN29(ⅡR-M Rb)PRN32(ⅡA Rb)平均值RMS0.1420.22308.725039.044277.4561 837.746360.555Range0.4800.75119.387089.026733.8484 483.904887.906RMS3.1074.330112.712562.7532 328.2619 295.9132 051.179Range7.75012.050267.9851291.6295 230.2162 0788.2074 599.639RMS3.19307.105198.851787.8902 715.12110 099.9252 302.013Range5.16613.603433.8511 650.9495 917.43422 261.7225 047.120RMS7.86518.051370.0261 622.8956 303.94524 859.6045 530.398Range12.95135.261815.9583 573.47614 029.55055 396.61512 310.635RMS0.65001.546024.40570.605102.434214.58669.037Range1.36503.149049.915112.589167.356371.259117.605RMS2.04105.327145.675631.0212 441.2549 487.5852 118.816Range3.43810.257315.3831 399.5625 402.48421 045.9664 696.181RMS2.83306.098143.400619.0352 361.4129 299.2272 072.001Range5.19312.517317.0801 352.8725 246.81520 724.6124 609.848SA模型PRN01(ⅡF Rb)PRN10(ⅡA Cs)PRN22(ⅡR Rb)PRN24(ⅡF Cs)PRN29(ⅡR-M Rb)PRN32(ⅡA Rb)平均值RMS0.1870.1812.60912.881178.6031 442.339272.800Range0.2300.3206.31131.503509.0583 595.898690.553RMS4.7773.481216.8481 003.2004 024.59315 950.9753 533.979Range9.5769.576486.0412 253.5148 985.10335 600.7927 890.767RMS1.7664.783152.619597.7531 991.4677 277.8721 671.043Range3.74510.340335.6701 235.1224 316.72515 985.3073 647.818RMS7.22616.716340.9021 501.1535 837.36323 033.4795 122.807Range12.28432.516752.9333 305.80912 995.40351 331.66011 405.101RMS1.1561.84051.641251.2301 137.4384 618.9701 010.379Range2.2423.450114.375591.9582 562.26110 375.7722 275.010RMS2.1803.04331.088107.036385.4401 573.179350.327Range3.6574.63263.993219.556859.0603 570.501786.900RMS2.8825.007132.618578.8762 259.1518 982.8021 993.556Range5.28910.139293.2191 272.9115 037.93620 076.6564 449.358

3 結(jié) 語

從系統(tǒng)時(shí)間同步保持、鐘差參數(shù)優(yōu)勢化等實(shí)踐來看，衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)的功能突出。為了提升衛(wèi)星鐘差預(yù)報(bào)精度，以滿足實(shí)際應(yīng)用需求，本文以衛(wèi)星鐘差周期特征為切入點(diǎn)，基于頻譜分析方法和鐘差QP模型提出了一種鐘差預(yù)報(bào)的譜分析模型，并采用GPS衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)試驗(yàn)。最后，以試驗(yàn)數(shù)據(jù)為參考依據(jù)進(jìn)一步分析了譜分析模型與QP模型的鐘差預(yù)報(bào)特征。結(jié)果表明，對于短期預(yù)報(bào)，譜分析模型的預(yù)報(bào)精度和穩(wěn)定性優(yōu)于QP模型；從長期預(yù)報(bào)實(shí)踐看，譜分析模型的預(yù)報(bào)偏差會(huì)明顯加大。另外，使用不同種類星載原子鐘，兩種模型的預(yù)報(bào)結(jié)果和穩(wěn)定性也會(huì)不同。