2020年全國I卷理科數(shù)學(xué)第20題解法探究與推廣

許素娜

（1）求E的方程;

（2）證明：直線CD過定點.

該試題是以直線與橢圓為背景的定點問題，呈現(xiàn)方式常規(guī)但又不俗套，表述清楚，簡潔明了，給人一種平和中見親切、簡明中見關(guān)懷的感覺.作為壓軸題，不僅考查了基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法，同時注重解法的多樣性與靈活性，注重直線和圓錐曲線的綜合運算，突出了對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的考查，集中體現(xiàn)了邏輯推理、函數(shù)與方程思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)，是難得一見的好題.

評析 常規(guī)解法1和常規(guī)解法2，都是采用設(shè)而不求，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理，消參，最終求出直線過定點.思路較為簡單自然，也是高中解圓錐曲線常用的方法，也就是高中圓錐曲線問題的常規(guī)解法，學(xué)生容易接受，但最大的問題在于計算麻煩，花費時間過多，在高考有限的時間內(nèi)，很多考生是有想法，但不一定算出結(jié)果，對考生的計算能力有較高的要求.

評析解法3、4與解法1、2相比，加入了一些技巧，運算稍微簡化一些，可以稍微節(jié)約一些時間，但同樣需要較強的計算能力，這也告訴我們，在學(xué)習(xí)圓錐曲線知識時，除了提高運算的核心素養(yǎng)外，也要多思考，領(lǐng)會本質(zhì)內(nèi)容，靈活運用.

評析 解法5簡單明了，計算簡單，由此可見極點極線知識對于這類定值問題的探究具有非一般的作用.極點極線是圓錐曲線的一種基本概念，自極三點形牽連著圓錐曲線的許多性質(zhì)，作用非凡.它雖然沒在高中課本中直接明確提出，實際上上在教材和各類考試中經(jīng)常涉及到，以不同的形式隱藏在命題的條件和結(jié)論中.用極點極線的知識去分析和解決問題，往往會起到事半功倍的作用.

愛因斯坦說：“想象比知識更重要”.數(shù)學(xué)家波利亞也說過，“觀察可能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)，觀察將揭示某種規(guī)則，模式或定理”.解決了上面的高考題，我們并不滿足，就此停下我們探求的腳步.通過觀察、類比、聯(lián)想并證明，將對此題進行推廣，進而掌握一類問題的解決.

4 教學(xué)啟示

（1）在教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力.對于解法1和解法2，大部分學(xué)生雖然明白思路但望而卻步，解法3和解法4雖然稍微簡化了運算，但也有大量學(xué)生做不出，主要原因是數(shù)學(xué)運算不過關(guān)，因此在平時教學(xué)中教師應(yīng)注重數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng).數(shù)學(xué)運算主要表現(xiàn)為：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、求得運算結(jié)果等，通過數(shù)學(xué)運算促進數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的習(xí)慣，教師絕不能越俎代庖，思路代替不了運算，具有運算的核心素養(yǎng).

（2）在教學(xué)中應(yīng)重視知識的生成過程，注意對問題本質(zhì)的探究.以上可以看出，作為壓軸題，它所涉及的知識大都是多元的，面對多元的基礎(chǔ)知識及其相互聯(lián)系，靠死記硬背肯定不行.在平時的教學(xué)中，教師要重視知識的生成過程，幫助學(xué)生建立和領(lǐng)會知識體系的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生領(lǐng)略和體會主干知識的常見交會處，教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生對知識和問題的本質(zhì)進行研究的習(xí)慣.

（3）在教學(xué)中應(yīng)加強各年各省高考試卷的研究，這道題其實多次出現(xiàn)在各省的高考試卷中，例如2010年的江蘇卷，還有2006年的湖北理科卷，2011年四川文科卷等，因此教師應(yīng)該對各地各年的高考試卷進行研究，把握學(xué)習(xí)的方向，給予學(xué)生的備考方法上的指導(dǎo)，同時鼓勵學(xué)有余力的學(xué)生適當(dāng)加深課本內(nèi)容，使學(xué)習(xí)更有深度和廣度，例如，解法5利用極點極線思想能大大地減少運算，縮短時間，提高正確率.

（4）教師應(yīng)有意識地在傳授知識的同時，幫助學(xué)生揭示相關(guān)的學(xué)科思想方法，使他們在獲得知識的過程中同步地形成相應(yīng)學(xué)科的思想方法，并自覺地應(yīng)用這些思想方法來解決問題，

參考文獻

[1]蓋傳敏，一道高考試題的賞析及教學(xué)啟示[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)）， 2018（09）：35-36

[2]王興華，漫談圓錐曲線的極點與極線——兩高考試題的統(tǒng)一背景與解法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2006 （06）：15-17

[3]方亞斌，高考數(shù)學(xué)命題探秘[M]，杭州：浙江大學(xué)出版社，2019