高中數(shù)學(xué)解題中不等式的應(yīng)用

摘要：不等式是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，在解題中有著廣泛的應(yīng)用.為提高學(xué)生的應(yīng)用能力，教學(xué)中應(yīng)做好不等式基礎(chǔ)知識(shí)講解，使學(xué)生真正地理解，牢固地掌握不等式的相關(guān)性質(zhì)、結(jié)論等.同時(shí)，注重結(jié)合具體的習(xí)題為學(xué)生展示不等式在解題中的應(yīng)用，給其帶來(lái)良好的解題啟發(fā).

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);解題;不等式;應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）16-0053-04

收稿日期：2022-03-05

作者簡(jiǎn)介：徐天保（1985.6-），男，安徽省懷寧人，碩士，中學(xué)二級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

應(yīng)用不等式可解答高中數(shù)學(xué)中的求最值、比較大小、求取值范圍、證明結(jié)論等問題.常用的思路有：運(yùn)用基本不等式、運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性、運(yùn)用放縮法等.授課中除為學(xué)生講解相關(guān)理論，提高其應(yīng)用不等式解題的意識(shí)，還應(yīng)做好相關(guān)的應(yīng)用示范，使其積累相關(guān)的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn).

1 用于求最值

高中數(shù)學(xué)習(xí)題中的求最值無(wú)外乎求最大值、最小值，尤其遇到求單個(gè)參數(shù)的最值時(shí)通常分離參數(shù)，而后結(jié)合已知條件拼湊出基本不等式的形式，運(yùn)用基本不等式求解.運(yùn)用基本不等式求最值應(yīng)確保其滿足“一正二定三相等”，尤其不能生搬硬套，否則可能得出錯(cuò)誤結(jié)果.

例1已知x，y為正實(shí)數(shù)且滿足關(guān)系式x+y+3=xy，對(duì)任意的x，y均有（x+y）2-a（x+y）+6≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為.

該題不滿足運(yùn)用基本不等式的條件，此時(shí)需要運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行突破.

解析因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x，y滿足關(guān)系式

x+y+3=xy，xy≤（x+y2）2，

所以x+y+3≤（x+y2）2.

即（x+y）2-4（x+y）-12≥0.

解得x+y≥6或x+y≤-2（舍去）.

又因?yàn)椋▁+y）2-a（x+y）+6≥0恒成立，

所以a≤x+y+6x+y恒成立.

問題轉(zhuǎn)化為求x+y+6x+y的最小值.

令t=x+y（t≥6），則f（t）=t+6t.

由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，其在[6，+∞）上單調(diào)遞增，則f（t）min=7.

因此，a的最大值為7.

2 用于比較大小

運(yùn)用不等式比較大小主要有兩種思路：思路1，借助所學(xué)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行比較.思路2，構(gòu)造出新的函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究其在對(duì)應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性，而后比較大小.其中思路2難度較大，教學(xué)中應(yīng)注重為學(xué)生展示經(jīng)典的例題，使其掌握相關(guān)的解題技巧.

例2設(shè)a=3π，b=π3，c=33，則a，b，c的大小關(guān)系為（）.

A.b>a>cB.c>a>b

C.a>b>cD.b>c>a

觀察可知a和c，b和c可直接運(yùn)用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行比較.而比較a，b的大小，則需要構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析.

解析因?yàn)閮绾瘮?shù)y=x3在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而π>3，所以b>c.

又因?yàn)閥=3x在R上單調(diào)遞增，π>3，

所以a>c.

因?yàn)閍=3π，b=π3，等式兩邊均取對(duì)數(shù)得到lna=πl(wèi)n3，lnb=3lnπ.

令f（x）=lnxx，則f ′（x）=1-lnxx2.

則當(dāng)x>e時(shí)，f ′（x）<0，則f（x）單調(diào)遞減.

即f（3）>f（π）.

即ln33>lnππ.

即πl(wèi)n3>3lnπ，lna>lnb.

即a>b，所以a>b>c，故選C.

3 用于求取值范圍

求解參數(shù)取值范圍是高中數(shù)學(xué)中的重要題型.相關(guān)的習(xí)題情境復(fù)雜多變，解題思路靈活多樣，其中從不等式視角切入有時(shí)會(huì)取得意想不到的效果，因此，高中數(shù)學(xué)授課中應(yīng)做好該類題型的歸類，與學(xué)生一起總結(jié)相關(guān)的解題思路.

例3已知x>0，y>0，x+12y+xy=4，則xy+1x2y2+2xy+17的取值范圍為.

該題具有一定的技巧性，需要運(yùn)用不等式知識(shí)構(gòu)建新的不等關(guān)系，而后結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求出其最值.

解析因?yàn)閤>0，y>0，x+12y+xy=4，

故x+12y+xy≥212xy+xy=2·xy+xy.

即（xy）2+2·xy-4≤0.

解得0

即1

故xy+1x2y2+2xy+17=1xy+1+16xy+1.

令t=xy+1，則f（t）=t+16t.

由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知其在（1，3]上單調(diào)遞減，則f（t）∈[253，17）.

則原式的取值范圍為（117，325].

4 用于證明結(jié)論

高中數(shù)學(xué)證明類的習(xí)題一般具有較大的難度，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高.其中證明不等關(guān)系時(shí)需要結(jié)合所學(xué)的不等式知識(shí)進(jìn)行針對(duì)性的放縮.

例4在數(shù)列{an}中滿足a1=3，an+1=2an+2.設(shè)bn=nan+2，其前n項(xiàng)和為Sn，證明：對(duì)任意的n∈N*，15≤Sn<45.

該習(xí)題以數(shù)列為背景考查了構(gòu)造法、錯(cuò)位相減法、放縮法等知識(shí)，難度較大，尤其放縮時(shí)應(yīng)結(jié)合證明的結(jié)論，把握放縮的度.

解析因?yàn)閍n+1=2an+2，

所以an+1+2=2（an+2）.

而a1+2=5，所以{an+2}是以5為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.

an+2=5·2n-1，bn=n5×2n-1.

Sn=15（120+221+322+…+n2n-1），①

12Sn=15（12+222+323+…+n2n），②

①-②，得Sn=25（120+12+122+…+12n-1-n2n）

=25（1-12n1-12-n2n）

=45-15×n+22n-1<45.

又Sn+1-Sn=25（n+22n-n+32n+1）=25×n+12n+1>0，

則{Sn}單調(diào)遞增.

即Sn≥S1=15.

綜上對(duì)任意的n∈N*，15≤Sn<45.

5 用于解答新情境問題

新情境問題在高中數(shù)學(xué)測(cè)試以及高考中多有出現(xiàn)，能很好地考查學(xué)生遷移所學(xué)知識(shí)解決問題的能力.解答該類問題的關(guān)鍵在于對(duì)要求解的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化陌生為熟悉，尤其能夠根據(jù)題干描述構(gòu)建新的不等關(guān)系，運(yùn)用不等式以及函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行突破.

例5若兩個(gè)函數(shù)y=f（x）和y=g（x）對(duì)任意的x∈[a，b]都有|f（x）-g（x）|>2，則稱函數(shù)在[a，b]上是疏遠(yuǎn)的.

（1）已知命題“函數(shù)f（x）=x2+2x-1和g（x）=x-2在[0，1]上是疏遠(yuǎn)的”，試判斷該命題真假，若為真命題請(qǐng)予以證明，若為假命題請(qǐng)舉出反例;

（2）若函數(shù)f（x）=x2+2x-1和g（x）=x-2在[a，a+1]上是疏遠(yuǎn)的，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

（3）已知常數(shù)c>1，若函數(shù)F（x）=12（cx-c-x）與G（x）=cx在[1，2]上是疏遠(yuǎn)的，求實(shí)數(shù)c的取值范圍;

該習(xí)題創(chuàng)設(shè)的情境較為新穎，解題的關(guān)鍵在于吃透題意，并根據(jù)給出的新定義將問題轉(zhuǎn)化為在特定區(qū)間求不等式的問題.

解析對(duì)于問題（1）根據(jù)給出的新定義，可知要想滿足題意，則|f（x）-g（x）|>2在[0，1]上恒成立.即|x2+x+1|>2在[0，1]上恒成立.

因?yàn)閥=x2+x+1=（x+12）2+34在[0，1]單調(diào)遞增，ymin≥1，所以|x2+x+1|=x2+x+1≥1，其并不恒大于2.

因此，是假命題.例如當(dāng)x=0時(shí)，|x2+x+1|=1<2.

問題（2）將問題轉(zhuǎn)化為|x2+x+1|>2在[a，a+1]上恒成立，因?yàn)閥=x2+x+1，Δ<0，所以問題轉(zhuǎn)化為x2+x-1>0在[a，a+1]上恒成立.

令y=0，解得其兩根分別為x1=-1-52，x2=-1+52，要想滿足題意應(yīng)有a+1<-1-52或a>-1+52，解得a<-3-52或a>-1+52.

問題（3）問題轉(zhuǎn)化為|F（x）-G（x）|>2在[1，2]上恒成立，整理得到

|-12（cx+c-x）|=|12（cx+c-x）|>2.

因?yàn)閏x>0，c-x>0，所以12（cx+c-x）>2.

即cx+c-x>4.

令H（x）=cx+c-x，取1≤x11，所以cx1-cx2<0，cx1·cx2>1.

所以1-1cx1·cx2<0，H（x1）-H（x2）<0，函數(shù)H（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，所以H（x）>H（1）=c+1c>4，解得c>2+3或c<2-3.

所以c的取值范圍為（2+3，+∞）.6 用于解決實(shí)際問題不等式在解決實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用.運(yùn)用不等式解答實(shí)際問題時(shí)應(yīng)注重充分吃透題意，通過認(rèn)真審題把握相關(guān)參數(shù)之間的邏輯關(guān)系，構(gòu)建對(duì)應(yīng)的不等關(guān)系.

例6某企業(yè)研發(fā)部原有100人，年人均投入a（a>0）萬(wàn)元，現(xiàn)將研發(fā)部人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員有x名（45≤x≤75），調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加4x%，技術(shù)人員的年人均投入為a（m-2x25）萬(wàn)元.

（1）要使調(diào)整后的研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前的100人的年總投入，調(diào)整后的技術(shù)人員最多有多少人？

（2）是否存在實(shí)數(shù)m，同時(shí)滿足：技術(shù)人員的年人均投入始終不減少;調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入始終不低于調(diào)整后技術(shù)人員的年總投入？若存在求出m的值，若不存在，說明理由.

該題來(lái)源于生活.要想正確作答需要認(rèn)真審題，從題干中抽象出相關(guān)參數(shù)的不等關(guān)系，運(yùn)用不等式性質(zhì)進(jìn)行求解.

解析（1）根據(jù)題意可知，調(diào)整后研發(fā)人員有（100-x）人，年人均投入[1+（4x）%）]a.

由題意可知（100-x）[1+（4x）%）]a≥100a，解得0≤x≤75.

又因?yàn)?5≤x≤75，所以調(diào)整后的技術(shù)人員最多有75人.

（2）因技術(shù)人員人均投入不減少，則有a（m-2x25）≥a，解得m≥2x25+1.

同時(shí)，研發(fā)人員的年總投入始終不低于調(diào)整后技術(shù)人員的年總投入，則由（100-x）[1+（4x）%）]a≥ax（m-2x25），解得m≤100x+x25+3.

綜上可得2x25+1≤m≤100x+x25+3.

因?yàn)?00x+x25+3≥2100x·x25+3=7，當(dāng)且僅當(dāng)x=50時(shí)取等號(hào)，所以m≤7.

又因?yàn)?5≤x≤75，x∈N+，當(dāng)x=75時(shí)，2x25+1取得最大值7，所以m≥7.

綜上可得存在這樣的m滿足題意，此時(shí)m=7.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中為使學(xué)生認(rèn)識(shí)到不等式的重要作用，掌握運(yùn)用不等式解答相關(guān)習(xí)題的思路與技巧，應(yīng)注重與學(xué)生一起推導(dǎo)不等式的相關(guān)性質(zhì)與結(jié)論.同時(shí)，優(yōu)選經(jīng)典習(xí)題，在課堂上為學(xué)生展示具體的解題過程，并鼓勵(lì)學(xué)生做好聽課的總結(jié)，更好地加深印象，牢固地掌握所學(xué).

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[責(zé)任編輯：李璟]