淺議指向初中數(shù)學(xué)問題解決能力的教學(xué)設(shè)計——從一節(jié)數(shù)學(xué)課的磨課說起

高八民 西藏山南市乃東區(qū)中學(xué)

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》課程總目標(biāo)中明確提出，通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)能“體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學(xué)的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。這一基本理念在我區(qū)2021年初中學(xué)業(yè)水平考試規(guī)定中的命題要求中也做了明確規(guī)定：“考試命題要引導(dǎo)教師積極探索基于情境、問題導(dǎo)向、深度思維、高度參與的教育教學(xué)模式”。這就要求數(shù)學(xué)課堂教學(xué)在進行教學(xué)設(shè)計時不能僅僅考慮學(xué)生對知識本身的學(xué)習(xí)和理解，更要考慮到數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實情境和實際問題的聯(lián)系，把指向問題解決能力培養(yǎng)的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)建模等重要的核心素養(yǎng)融入到具體的教學(xué)設(shè)計中來，從現(xiàn)實問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決，從而促進數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。

近期有幸觀摩了一節(jié)“角平分線的性質(zhì)應(yīng)用之巧解面積問題”的數(shù)學(xué)公開課，系參加區(qū)域性優(yōu)質(zhì)課教學(xué)比賽的一次數(shù)學(xué)磨課，后來又得知授課教師在比賽中獲得了一等獎的好成績。當(dāng)然，之所以選擇這一課例作為載體進行深入分析的最主要原因是這堂課從教學(xué)導(dǎo)入、集體研學(xué)、應(yīng)用啟學(xué)和挑戰(zhàn)拓學(xué)等教學(xué)環(huán)節(jié)均能夠充分地體現(xiàn)授課教師關(guān)于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中問題解決能力培養(yǎng)的思路和設(shè)計。接下來文章將從問題解決的視角對這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計進行分析探討。

一、關(guān)注數(shù)學(xué)問題解決能力培養(yǎng)的教學(xué)導(dǎo)入

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)實際問題解決能力首先要讓學(xué)生能夠從生活中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，進而才可能達到分析和解決問題的目的，因此如何在教學(xué)導(dǎo)入的環(huán)節(jié)中，通過生活中的一件事或者一個具體的現(xiàn)實情境把問題引出來，從而讓學(xué)生把這一問題抽象為數(shù)學(xué)問題，并能夠聯(lián)系已有知識做出初步解決問題的判斷是關(guān)鍵。在這一點上有一個非智力因素也要引起重視，就是學(xué)生對實際問題的興趣，數(shù)學(xué)活動如果一開始不能夠激發(fā)學(xué)生的興趣和注意力，就很難調(diào)動學(xué)生主動探索的積極性，引發(fā)學(xué)生對于數(shù)學(xué)問題的思考。

課例中（圖1），教師從絕大多數(shù)學(xué)生熟悉的動畫片熊大熊二的趣事入手，闡述故事情節(jié)“熊大熊二家門口，有一大片呈三角形狀的森林，樹林里長滿了果子，熊大說‘熊二，俺們要在河邊找一個點，使得從俺們家到達這點所在的直線可以平分果園面積，俺倆一人一半’”，引出實際問題“熊二：熊大，你說的俺不懂，誰能幫幫我呀？”這一設(shè)計主要表達的設(shè)計意圖和理念是：一方面通過學(xué)生感興趣的動畫人物間的對話故事引出三角形平分面積的問題；另一方面通過這一問題讓學(xué)生回憶起已學(xué)過的“中線分三角形面積”這一知識點并產(chǎn)生對于這一原理的初步理解，當(dāng)然在老師的引導(dǎo)下，還可以歸納出一個結(jié)論：同高三角形的面積之比等于底邊之比。從問題解決能力培養(yǎng)的角度來看，這一環(huán)節(jié)設(shè)計之巧妙在于能夠通過動畫角色的對話以故事的形式融入接近現(xiàn)實生活的實際問題來引發(fā)學(xué)生思考，更重要的是這一問題導(dǎo)入簡化了把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的難度，使得學(xué)生容易實現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象，即“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”。

圖1

二、體現(xiàn)數(shù)學(xué)問題解決能力培養(yǎng)的活動探究

從數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展過程來看，數(shù)學(xué)每前進一步都離不開嚴(yán)密的邏輯推理，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就是要重點培養(yǎng)邏輯推理，課程標(biāo)準(zhǔn)也明確指出“學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等過程”，因此，在培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中設(shè)置活動探究環(huán)節(jié)必不可少。課例中第二個教學(xué)環(huán)節(jié)“集體研學(xué)”最初的設(shè)計是“在△ABC 中，P 為BC上任意一點，探究△ABP與△ACP的面積之比（用線段比表示）”和“在△ABC中，AP平分∠BAC與BC交于點P，探究△ABP 與△ACP 的面積之比”兩個問題，具體活動組織是學(xué)生獨立思考兩分鐘后寫出解答過程并進行同桌二人對學(xué)交流，教師巡視并邀請小老師上臺講解。在磨課后老師們更多地建議設(shè)計成“在△ABC 中，AP 平分∠BAC 與BC 交于點P，探究△ABP 與△ACP的面積之比（用線段比表示）”、“還可以怎么樣表示？”和“在△ABC 中，P 為BC 上任意一點，探究△ABP與△ACP的面積之比”三個問題，活動組織不變。

通過前后兩個設(shè)計的對比，第一種設(shè)計意圖是在導(dǎo)入環(huán)節(jié)得出“同高三角形的面積之比等于底邊之比”這一結(jié)論的基礎(chǔ)之上直接展開應(yīng)用歸納出普遍性結(jié)論，再用來解釋對問題二的猜想和解釋。這一設(shè)計更側(cè)重于從認(rèn)知心理學(xué)出發(fā)，通過像操練肌肉一樣操練認(rèn)知從而達到神經(jīng)元結(jié)構(gòu)的固化，通過高度相似的數(shù)學(xué)問題和類比簡化數(shù)學(xué)推理，一定程度上使得探究活動更容易成功。第二種設(shè)計則主要是考慮到課題的主題是“角平分線的性質(zhì)應(yīng)用”，因此在導(dǎo)入環(huán)節(jié)得出“同高三角形的面積之比等于底邊之比”的結(jié)論之后，通過問題串讓學(xué)生拓展思維，主動探索得出面積的不同表達，通過同伴交流體會一題多解的解題思路，同時再由特殊到一般，探究的同時理解特殊條件下得出結(jié)論其適用范圍具有局限性。這一設(shè)計可以讓學(xué)生更好地經(jīng)歷“猜測-驗證-歸納”的活動過程，在激發(fā)探究熱情、促進合作交流方面也更加符合探究活動所要表達的意義，但從內(nèi)容上無疑更適合學(xué)生基礎(chǔ)較好的班級。

三、滲透數(shù)學(xué)問題解決能力培養(yǎng)的思想方法

學(xué)習(xí)不是簡單的知識存儲和輸入，更是一個知識加工和輸出的過程。在培養(yǎng)問題解決能力的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，必須滲透數(shù)學(xué)的方法和思想，比如由簡單到復(fù)雜、由特殊到一般、“猜想、驗證、歸納”、類比推理、分類討論、數(shù)學(xué)模型等。課例之所以能夠在優(yōu)質(zhì)課大賽中脫穎而出，筆者認(rèn)為主要表現(xiàn)在兩個方面：第一，教學(xué)案例通過由“特殊到一般”這一探究邏輯對中線和角平分線分三角形面積的情況引導(dǎo)學(xué)生探究，再推廣到一般情況下的普遍規(guī)律，啟發(fā)學(xué)生深刻理解角平分線的特殊性以及性質(zhì)運用的靈活性（見圖2）。第二，在“集體研學(xué)”環(huán)節(jié)之后的“挑戰(zhàn)升級”和“思維百變”兩個知識的深化拓展環(huán)節(jié)，課例設(shè)計了“角平分線分三角形情況下根據(jù)面積比求線段長”和“三角形三條角平分線分割三角形情況下，求大三角形面積”兩個問題，這兩個問題把方程思想、整體思想和轉(zhuǎn)化思想滲透到解決問題之中，用解題的經(jīng)驗告訴學(xué)生問題解決往往是多個知識點的整合應(yīng)用，除了基本知識、基本技能之外，基本的活動經(jīng)驗和基本數(shù)學(xué)思想也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所要領(lǐng)會的關(guān)鍵。

圖2

四、建構(gòu)數(shù)學(xué)問題解決能力培養(yǎng)的知識體系

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)生主動建構(gòu)知識的過程，教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在原有的知識經(jīng)驗中通過有意義的問題情境主動構(gòu)建新的知識經(jīng)驗，從而促進學(xué)生形成指引問題解決的知識體系和邏輯圖式。課例在“反思感悟”環(huán)節(jié)，從數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想三個方面讓學(xué)生展開反思總結(jié)、感悟收獲，同時突出角平分線作為研究問題的已知條件的特殊性以及對于問題解決思路拓展的靈活性，在這點上可以說基本上能夠引導(dǎo)學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體朝著“用數(shù)學(xué)的眼光觀察”、“用數(shù)學(xué)的思維思考”和“用數(shù)學(xué)的語言表達”三個要求邁進。

圖3

盡管老師們在談?wù)摂?shù)學(xué)教學(xué)的時候，都認(rèn)可課堂教學(xué)是一個動態(tài)生成的過程，也認(rèn)可教學(xué)生成是教學(xué)預(yù)設(shè)的必要補充，具有必然性。但也必須承認(rèn)成功的、高效的數(shù)學(xué)課堂離不開精心預(yù)設(shè)，它更應(yīng)成為動態(tài)生成的基礎(chǔ)和起點。培育學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決能力的教學(xué)設(shè)計更需要立足學(xué)生的學(xué)情和興趣，通過能夠激發(fā)學(xué)生興趣點和注意力的問題把學(xué)生引入數(shù)學(xué)的探究活動中來，運用數(shù)學(xué)的方法展開嚴(yán)密的邏輯推理，并總結(jié)數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗和思想，梳理形成自己的數(shù)學(xué)知識體系，這點上還有待更多地通過觀評課活動加以分析和反思。